泛函分析第2章 度量空间与赋范线性空间.doc

1、第二章 度量空间与赋范线性空间第 2 章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是 维欧几里得空间n的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它nR研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。2.1 度量空间的基本概念2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间 上的函数，在研究函数的分析性R质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了 上现有的距离函数 ，即对d。度量是上述距离的一般化：用抽象集合 代替实数集，yxdRyx),(

2、, X并在 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。X【定义 2.1】 设 是一个非空集合， ： 是一个定义在直),(,0X积 上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 ；yxyxXy0,(),(,（2） 对称性 )（3） 三角不等式 ；),(,(,(, yzxyzyx则称 是 中两个元素 与 的距离（或度量） 。此时，称 按 成为),(yxX X),(一个度量空间（或距离空间） ，记为 。),(X注： 中的非空子集 ，按照 中的距离 显然也构成一个度量空间，A),(称为 的子空间。当不致引起混淆时， 可简记为 ,并且常称 中的元X,X素为点。例 2.1 离散的距离空间设 是任

3、意非空集合，对 中任意两点 令X,xy1 (,)0xy显然，这样定义的 满足距离的全部条件，我们称 是离散的距离),(,)X空间。这种距离是最粗的。它只能区分 中任意两个元素是否相同，不能区分X元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。应用泛函分析( 第二版)例 2.2 维欧几里得空间 表示 维向量 的全体组成的集nnR12,nxx合，也表示 个实数 组成的数组 的全体形成的集合。对12,nx 12,n， ，定义12,nx ,nyy（2.1）121(,)()iixx下面来证 满足度量定义中的条件（1）（3） 。),(由式（2.1）不难验证 满足条件（1） ，

4、 （2） 。为证满足条件（3） ，需利),(用 时的离散型 Minkowski 不等式（见 1.5 节） 。2p取 ，则有1,nzzR 11 22112211(,)()()()()(),ni iii inni ii ixyxyxzyzzxy因此， 是一距离空间。 称为 维欧氏空间。nR()nR注：若在 中规定11(,)maxiinyy（2.1）则 也是距离空间（读者自己验证）1(,)nR例 2.3 所有数列组成的集合 ，对 定义S,nnabS1(,)2ni n（2.2）那么 是 上的度量。式（2.2）通常称为 Frchet 组合。(,)S显然满足度量条件（1）（2） ，我们来证也满足条件（3）

5、 。事实上，对及 由于函数 是单调增函数，因此由,nc()(0)1x第二章 度量空间与赋范线性空间nnnabcb得 11nnnnnabacbc 在上市不等式两边同乘 再求和，便得2n(,)(,)(,)因此 是距离空间。(,)S例 2.4 连续函数空间 对 定义,Cab,fgCab（2.3）()mx()att则 是 上的一个度量。(,)fg,ab显然满足度量条件（1）（2） 。对另一连续函数 由,hCab()()() maxax()=(,)(,),tbthftgfhgtf b所以 (,)(,)(,)fgfhg例 2.5 函数类 （参见 1.6 节）,对 定义)1pLE,()pfLE（2.4）1(

6、,)()pEfgftgdt则 是 上的一个度量， 是度量空间。(,)fg()pL,pL由 1,0()()0pEfftgdt根据 Lebesgue 积分的性质有 。反之，若 ， 则ftae()ftgae。所以， 满足度量定义 2.1 中条件（1） ；条件（2）显然满足；(,)0fg(,)fg对另一函数 ，根据 1.6 节 Minkowski 不等式有phLE应用泛函分析( 第二版)(,) (,)(,)pppfgffhgfhg即 满足度量定义条件（3） ，所以 是 上的一个度量，, ,pLE是度量空间。()pLE例 2.6 是本性有界可测函数的全体，即 上除某个零测度外，在,ab ,ab它的补集上

7、是有界的可测函数全体。对 定义,fgL（2.5） 0, ,(,)infsup()varsup()mEtabEtbfgftiftg则 是 上的一个度量， 是度量空间。,fLL由式（2.5）显然可知， 满足度量条件（1）（2） 。现证 满足(,)fg (,)fg度量条件（3） ，对 及 存在 且,fhab012,Eab使120,mE11,sup()(,)2tabEtfthfg从而有 121212 121 2, , ,(,)sup() ()s()sup() up()tabEttabEtaEt tbfgfthtgftht()(,)fhg令 得 。所以 是 上的一个度量，0(,),fg(,)f,Lab是

8、度量空间。(,Lab2.1.2 距离空间中点列的收敛性非空集合 引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。X【定义 2.2】设 是一个度量空间， 称点列 收敛于,(12,)nxX nx第二章 度量空间与赋范线性空间，是指 叫做点列 的极限，记作 或x(,)0(),nxxnxlimnx。n度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。【定理 2.1】 度量空间 中的收敛点列 的极限是唯一的，且若(,)Xnx收敛于 则 的任意子列 也收敛于 。nx,Xnxkx证明：首先证明定理的第一部分。设 都是 的极限，则对,ynx有,N(,)(,)(,)nnxyxy令 有 必然有 因此 这说

9、明n(,)0,0,nnx,0,xy最多有一个极限。x其次证明定理的第二部分。设 收敛于 ，于是 ，存在自然nxX数 ，当 时， 。由于 ，从而当 时，也有Nn(,)nxkNkn故 收敛于 。证毕。(,),kxk下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。例 2.7 空间中点列 按度量式（2.1）收敛于nR(0)()()12,mmnxx(0)(0)(0)12,nx的充分必要条件是对每个 有 ，即按坐标收敛。,(in()()miix证明： 对 ，由于1)i12()(0)()(0)()01 ,nmmmiikkxxx因此，当 时，一定有 ，()()()()ii 。()(0)miix由于应用泛函分析( 第

10、二版)12()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)121nmmmmmkk nxxxxx所以，对 ，当 时 。证,i()()ii()()毕。同样我们也可以证明 中点列 按距离式（2.1）收敛于 的充要条nRnx(0)x件是对于每个 ，有 。,(1)i()(0)mii例 2.8 空间中点列 按式（2.3）度量收敛于 的充分必Cabnf 0,fCab要条件是 在 上一致收敛于 。nf,0证明： 由 知对 当 时，0()(),nf,Nn即对任意 当 时， 所以 在0max(),ntbfttabn0(),ftnf上一致收敛于 。,0f若 在 上一致收敛于 ，则对 当 时，对于nf,ab0f,N

11、n恒有 从而,t0(),tf0max()ntbft即 。证毕。0(,)nf若 按式（2.4）定义度量，则 就构成 的子空间，令Cab,Ca,pLab1()() ,(1,2)nnnxtttnb由勒贝格控制收敛定理， 在 中收敛于 显然n,pLab)0,xt但 不一致收敛于 。,nxCax()xt例 2.7，例 2.8 表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。习题 2.11对 ，定义 是 上的距离吗？若是，给出证,xyR2(,),()xy

12、xyR明，若不是，为什么？第二章 度量空间与赋范线性空间2对 ，规定 证明 是距离空间。,xyR(,),xy(,)R3把所有收敛数列的集合记为 ，对 定义c,(12,)iixycxy证明 是距离空间。(,)sup,iiNxyy(,)4设 是度量空间，在 中若 。证明：XX,()nnxy。(,)(,)nxyx5设 及 ，证明点列()()()12,1,2)mmn 12,nxS 收敛于 的充分必要条件是 依坐标收敛于 ，即对每个自然数()xx()m(),)mii2.2 度量空间中的开、闭集与连续映射在第 1 章中,我们对 空间中的点集进行了详细讨论,介绍了开集、闭集等nR一系列概念，为了更深入研究度

13、量空间中集合的内在结构，本节我们将把这些概念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相似。2.2.1 度量空间中的开、闭集【定义 2.3】 设 是度量空间， ， 是一个正数，点集X0xXr0|(,)x称为以 为中心、以 为半径的开球，或 的 邻域，记为 或rX0xr0xr0()rBx；点集 称为以 为中心、以 为半径的闭球，记0(,)rBx0|(,),xX为 或 。r0,rx中的点列 收敛于 ，用邻域的术语来说，就是：对于 的任意邻Xnx x域 ，存在自然数 ，使当 时， 。(,)BxNn(,)nxB例 2.9 设 是离散距离空间， ，则 ， ，0X001x0(,2)

14、X应用泛函分析( 第二版)， 。0(,1)BxX001(,)2x例 2.10 设 ， 是 的子空间，则 ，,2,3XXR(2,3),B(2,),3， ， 。1(01)B(,)0,12B设 是 的子集， 是 中的一个定点，则 与 的关系只能有如下三种AX0xX0xA情况：（1）在 “附近”全是 的点；0A（2）在 “附近”根本没有 的点；x（3）在 “附近”既有 的点，又有不属于 的点。0 A根据以上情况，我们给出如下定义：【定义 2.4】 设 是距离空间， ， ，如果存在 的邻域XX0x0x0(,)Bx，则称 是 的内点；如果 是 的内点，则称 是 的外点；如果A00xA0xA既非 的内点，有

15、非 的外点，即 的任何邻域内既有属于 的点，也有不0xA属于 的点，则称 为 的界点或边界点；如果 的任意邻域 都含有0x0x0(,)Bxr中的点，即 ， 则称 是 的聚点。0Ax(,)Br0)xA注： 的聚点不一定是 的内点，还可能是 的界点；其次， 的内点必属于A，但 的聚点则可以属于 ，也可以不属于 。由此可知 的界点不是聚点，便是孤立点。中的点，对 来说可分为内点、界点、外点或聚点、孤立点、外点三种。X例 2.11 若 为离散距离空间， ，则 中均为内点且为 的孤立点，XAA中的点均为 的外点。A【定义 2.5】 设 是距离空间， ，如果 中每一点都是 的内点，XGG则称 是开集。G例

16、 2.12 任何开球 是开集。0()rBx证明：设 ，则 ，令 ，那么 ，rx,r10(,)rx10()rrBx事实上，若 ，则 ，由于1()ry1()xy第二章 度量空间与赋范线性空间0010(,)(,)(,)(,)yxxrxr所以 。rB【定理 2.2】 设 是度量空间， 中开集有如下性质：XX（1）空间 及空集 是开集；（2）任意多个开集的并是开集；（3）有限多个开集的交是开集。证明： 性质（1） 、 （2）显而易见，现证性质（3） 。设 是 中的有限个开集，即2,nGX121niGG对 ，及一切 ，有 ，由于 是开集，所以存在 ，使x()inixi 0ir，取 ，则对 ，有 ，可见(,

17、)iiBr12m,rrn(,)iiBx，所以 是 的内点，有 的任意性知， 是开集。证毕。1,niixGxxG注：任意多个开集的交不一定是开集，例如 ，1(0,)(,2)nRn， 并不是 的开集。1ni(0,1R对于度量空间 的子集 ， 的聚点全体记为 ，称为 的导集，集合XAA称为 的闭包。A例 2.13 设 ，则 ， 。1,2Rn01,2n【定义 2.6】 设 是距离空间， 是 的子集，如果 的每一个聚点属于X，则称 为闭集。显然， 为闭集的充要条件是 。AA【定理 2.3】 （开集与闭集的对偶性） 设 是距离空间， ，若 是AX的开集，则 是 的闭集；若 是 中的闭集，则 是开集。XX证

18、明：设 为开集， 是 的聚点，则 的任一邻域都有不属于xx的点，这样 不可能是 的内点，从而 ，即 ，由于 的任意性，xx知 是闭集。反之，设 为闭集， ，若 不是 的内点，则AAxXA的任意邻域 至少有一个点属于 的点，而且异于 ，这样 是 的聚点，x(,)B A从而 ，和假设矛盾。证毕。正是由于开集和闭集有这样的对偶关系，我们常将闭集看成是由开集派生应用泛函分析( 第二版)出来的一个概念。由定理 2.1 与定理 2.2 得闭集的性质：【定理 2.4】 设 是距离空间， 中的闭集具有如下性质：XX（1） 及 是闭集；（2）任意多个闭集的交是闭集；（3）有限多个闭集的并是闭集。注：任意多个闭集

19、的并不一定是闭集，例如 ， ，1,nF(3,4)n则 是 中闭集，但 ， 不是 中的闭集。nFR3(0,1)nF,R2.2.2 度量空间上的连续映射 【定义 2.7】 设 与 是两个度量空间， 是 到 的一个映射，(,)X1(,)YTXY，若对 ，存在 ，当 时，有 ，则称0xX000(,)x10(,)x在点 连续；若 在中每一点 都连续，则称 为 上的连续映射。TT度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间 时，映射就是度量空间上的函数。YR例 2.14 设 是距离空间， 是 上一定点，对 ，(,)X0xXxX是 到 上的连续映射（函数） 。0(),)fx事

20、实上，对 ，由下式,xy00|()|(,)(,)|(,)fyxyx即可证明是连续映射。【定理 2.5】 设 ， 是两个度量空间， ： ， ，则下列命XYTXY0题等价：（1） 在 点连续；T0x（2）对 ，存在 ，当 时，有 ；0(,)xB0(,)xBT（3）对于 中任意点列 ，若 ，则 。Xnnn证明： 显然；(1)2由于 ，对 存在自然数 ，当 时， 20()nx0N，即 ，因此 ，即 ；0(,)nx(,)nB(,)nTxB10(,)nTx第二章 度量空间与赋范线性空间反证法，若 在 点不连续，则存在 ，使对任意 ，存(3)1T0x00在 ，且 ，但 ，特别取 ， ，xX0(,)x10(,

21、)1n(,2)则有 ， ，但 ，这意味着 ，但nnnx0x0Tx不成立，矛盾。证毕。()下面定理是通过开集与闭集来刻画连续映射的。【定理 2.6】 设 ， 是两个度量空间， ： 是一个映射，则下述XYTXY命题等价：（1） 是连续映射；T（2）对于 中任何开集 ， 是 中的开集；G1()（3）对于 中任何闭集 ， 是 中的闭集。YFTX证明：命题 设 ，则 。因 是 中开集，所以(1)210()x0xGY存在 ，使 ，由 在点 连续，所以对于上述 ，存在00,BTxG0 0，当 时，有 ，即 ，故()(,)xBT0(,)(,)BTxxG。所以 是 的内点，由 的任意性， 是开集。0(,)x10

22、1 1命题 对 ，及 ，取 ，那么 是 中(2)xX00(,)Gx()X开集，而 ，所以存在 ，使得 ，即10xTGB1T,这说明 在 点连续。由 的任意性知， 在 的0(,)()BxT0x0xT每一点都连续。命题 对于任何闭集 ， 的余集 是开集。根据映射像也原(2)3FYcF像的性质有 。11()ccTF命题 对于任何开集 ， 是闭集，同样 。()Gc11()()ccTG证毕。注：关于映射的性质 留作习题。11()()ccTA下面介绍一个十分有用的特殊映射同胚映射。【定义 2.8】 设 ， 是两个距离空间， 是 上的一一映射，XYTXY应用泛函分析( 第二版)是 的逆映射，若 及 都是连续

23、映射，则称 是 到 上的同胚映射；1TT1TXY若从 到 上存在某一同胚映射，则称 与 是同胚的。XYXY例 2.15 是 到 上的同胚映射， 与 是同胚arctnyxR(,)2R(,)2的。由于两个同胚的距离空间点之间一一对应，所有邻域也是一一对应的，而且连续概念只依赖于邻域的概念，因此，在只讨论与连续性有关问题时，可以把两个距离空间看成一个。习题 2.21.证明闭球是闭集。2.设 是距离空间， ， 表示全体内点构成的集合，称为 的内部，XAX0 A证明 是开集。0A3.设 是距离空间， ，证明 是闭集的充要条件是对于任意，若 ，则 。nx0()nx0x4.证明从离散距离空间 到任意距离空间

24、 的映射 ： 是连续映射。XYTXY5.设 是一度量空间， ，证明 是 上的连续函数。X0x0(),)fx6.设 是度量空间， 是一个非空闭集，对 ，记作Finf(,):xyy，证明：对任意 ，集合 是开集。F(,)x0r:(,)xXFr7.设 与 是度量空间 中的闭集，且 ，证明存在开集 ,12X121G，使 , ,且 。2G2FG128.设 是度量空间， ，若 ，证明对任意 ，集XA0xA0是无限集。0(,)ABx9.设 是度量空间， ,证明：,BX（1）若 ，则 ；A（2） ；（3） ；B第二章 度量空间与赋范线性空间（4） ，并举例说明等号未必成立。AB10.设 是度量空间，证明：X（

25、1） 中每个非空闭集必为可列个开集的交；（2） 中每个非空开集必为可列个闭集的并。11.设 ， 是两个非空集合。 ： 是一个映射， ，证明：YTXYAX。11()()ccTA2.3 度量空间中的可分性、完备性与，列紧性2.3.1 度量空间中的可分性有理数集在实数集中的稠密性，实数集的完备性及有界数列必有收敛子列是数学分析的理论源泉。本节将把实数空间这几个重要性质推广到一般的距离空间中。【定义 2.9】 设 是一度量空间， 与 都是 的子集，若 ，则称XABXBA在 中稠密 。AB由定义 2.9 及 2.2 节有关定义、定理易证如下定理。【定理 2.7】 设 是度量空间， ， ，则如下说法等价：

26、（1） 在 中稠密；（2）对 ， ，存在 ，使 ；x0yA(,)xy（3） ，有 ；(,)xAB（4）对 ，存在点列 ，使 。xn()nx例 2.16 有理数在实数中稠密，有理数也在无理数中稠密。注：稠密概念在数学分析中学中是很有用的，当考察距离空间是否具有某种性质时，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通过极限过程得出 上相应X的结论。【定义 2.10】 称度量空间 是可分的，是指存在 中一可列集 ，使XA在 中稠密。AX例 2.17 欧氏空间是 可分的。nR证明： 取 是有理数 ，则 是可列集。对12(,):iArr(1)in及 ，记 ，取有理数 满足 ，令nxR012,nxxi |ixrn

27、，则 ，由于12(,)nara应用泛函分析( 第二版)2211(,)()nnii ixaxr所以 在 中稠密。AnR例 2.18 连续函数空间 是可分的。,Cb证明：设 为系数是有理数的多项式组成的集合， 为可数集。对任一连A续函数 ，由 Weierstrass 定理对 上任一连续函数 ，必存在一f,Cab,af列多项式 ， 在 上一致收敛于 。则对()nPx,(12,)n(npxb()x，0存在多项式 且满足 ,取多项式()np(,)ma|()|:,2nnffxab，满足 ,于是0A00,x|:,px0()pf(,，从 而在 中稠密。)np)nfA,Cab例 2.19 是可分的度量空间。,(

28、1)pLab证明：由勒贝格积分的绝对连续性可证 上的有界可测函数全体,中稠密，例 2.18 中的集合 在 中稠密，所以 是可,MabACab,(1)pLab分的。下面举一个不可分度量空间的例子。例 2.19 有界数列空间 ，在 上定义度量ll，1(,)sup|iiab(,)iiabl则 在度量 下是不可分的。l证明：用反证法，若 是可分的，则存在可列稠密集 。取 的一个子集l Al或 ， 与区间 可以通过二进制小数建立如下:0iBa1(,2)iB0,1对应： ，该对应是一一映射，因此 是不可数集。以 中的所有2.i点为中心， 为半径的开球 满足 。因此3(,)3aA(,)3aAl。由于 可数，

29、 不可数，所以至少存在 中两个不同点 落1(,)aABABB,第二章 度量空间与赋范线性空间入某个开球 。直接计算，显然 ，但01(,)3Ba(,)1，矛盾，故 不可数。12(,),3l2.3.2 度量空间中的完备性我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为 Cauchy列，因为数列收敛的充要条件是数列是 Cauchy 列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念度量空间的完备性。【定义 2.11】 度量空间 中的点列 称为 Cauchy 列，是指对任意 ，Xnx 0存在自然数 ，当 时，有 ；度量空间 称为完备的，是N,nm(,

30、)mX指 中任何 Cauchy 列都是收敛的。X由定义易知 中的收敛点列是 Cauchy 列。 中的 Cauchy 列若有子列收敛，则 Cauchy 列也收敛。例 2.21 欧氏空间 是完备的。nR证明：设 是 中任一 Cauchy 列，则对 ，存在自然数 ，当()kx 0N时，有 ，于是，对每个坐标所形成的数列12,kN12(),k,()()()()12,1)kkki nxxxi12()()()|ii 这说明 是 Cauchy 列，因此，存在实数 ，满足 ，记()kix ix()kiix作 ，则 。这样有 。12,nnR()k例 2.22 空间 是完备的。,Cab证明：设 是 中任一 Cau

31、chy 列，则对 ，存在自然数 ，当nf 0N时，有 ，即对任意 ，必有 ，令,nmN(,)m,tab|()|nmft，有 ，则 一致收敛于 。而 ，所以0|nftnf0,ab，且 ，故 空间是完备的。0,fab(,)(),C例 2.23 空间是完备的。l应用泛函分析( 第二版)证明：设 是 中的 Cauchy 列，其中 ，则对mxl ()()()12,mmnx，存在自然数 ，当 时，下式成立0N,n()()(,)|supmnjjj对每个 ，也有 成立，这样对每个 存在 ，有j()()|njj jjR。令 ，则 且 。()mjj12,nxxl()kx事实上，在 中令 ，得到对一切 ，()()|

32、nmjjmN成立。()|mjj又因为 ，因而存在实数 ，使得对所有 ， 成立。这样就xlmkj()|mjk有 。这就证明了 ，由 ，可知()()|mjjjjxl()|jj对一切 ，下式成立N()(,)|supmjjjNx所以 ，因而 是完备的。(mxl注：不完备距离空间是存在的。例如有理数域就是不完备的，再如按 空间的距离构成的度量空间是不完备的。,Cab,pL(1)事实上， 是 的子空间。在 中取一点 ，如取 ，ab,p(,)abc2ab令 ()tn(),12,nxtctn则 0,2(),n atcxtttb且 ，由勒贝格控制收敛定理可以证明 收敛于 中|()|,)2nxttabnx,pLa

33、b的函数 ，因而 是 Cauchy 列，而 ，所以 是 中的0nx,nxCab,CCauchy 列，但 不可能对等于一个连续函数，故 不收敛于 中某个元，0 nx所以 作为 的子空间是不完备的。,Cab,pL第二章 度量空间与赋范线性空间从以上例子可以看出，同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。【定理 2.8】 度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空间是完备的。证明：设 是距离空间 的完备子空间，设 ，则存在SXxS， ，因为 是收敛的，所以它是 中一 Cauchy,nnxx()nn列，又因为 是完备的，所以 ，即 是闭的。xS设 是完备的距离空间， 是 的闭子空间，设

34、 是 中的 Cauchy 列，X nxS则必是 中的 Cauchy 列，因 完备，故 ，所以 ，而X()nxXx是闭的，故 ，这就证明了 是完备的。SxSS类似于空间 上的闭区间套定理 ，我们在距离空间中可得到闭球套定理。R【定理 2.9】 设 是度量空间， 是 中一列以(,)1,2)nnBxr X为中心，以 为半径的闭球，则 是完备的充要条件是若nxnrX且 ，则必有惟一点 。1(,2)B 0(n)1nxB证明： 对 ，由 ，知mNmnxB,(,)r由于 ，从而 ，因此， 是 中的基0()nr0()nmxnxX本列，由于 是完备的，所以必有 ，使 。X0X0()nx再在式 中令 ，由距离函数

35、的连续性得到(2.6)0(,)(1,2)nxr因此 ，从而 。如果又有 中点 ，从而01,nxB 01nBX01nyB，令 ，即得 。所以(,),2nyr 0(,)lim(,)nyxx，即 中只有一点。0x1n设 是 中的基本列，由基本列定义知，对 存在X1(,2)k，当 时，有knN,km1(,)2nmkx应用泛函分析( 第二版)在 中作一列闭球 。当 时，由于X1,),2knBx 1(,)2knyBx11(,)()kkkn nkyx得知 2kx所以 1(,)(,),2kknnB另一方面， 的半径 ，则有惟一点1kx001(,)2knk从而 ，所以 。即 是完备的。(,)knx0(,)()n

36、xX一般的度量空间，如果不是完备的，应用起来往往很困难。例如，方程解的存在问题，在不完备的度量空间中解方程，即使近似解的序列时基本列，也不能保证这个序列有极限，从而也就不能保证方程在该解空间内有解，因此研究能否在任意度量空间中通过“添加”一些“点” ，使之成为完备化的距离空间是很有意义的。康托将有理数域完备化成实数域的方法为解决此问题提供了重要借鉴。用他的思想方法解决了度量空间的完备化问题。【定义 2.12】 设 ， 是两个度量空间，如果存在满影射(,)X1(,):TX，使得对一切 ，都有 ，则称 是 到 的等距映1,xy1(,)(,)TxyTX1射，称 与 是等距的。1注：等距影射一定是同胚

37、映射。显然，凡是等距的度量空间，由度量导出的性质全是一样的，因此，当只限于讨论与度量空间有关的性质时，对彼此等距的度量空间可以不加区分。【定理 2.10】 （度量空间的完备化定理）对于每个度量空间 ，必存在X一个完备的度量空间 ，使得 等距一个在 中稠密的子空间 ，如除去等0X0X距不计， 是惟一的。0由于这个定理证明冗长，且一般泛函分析教材均有证明过程，这里从略。例 2.24 有理数全体 按距离 所成度量空间是不完备的，Q1212(,)|rr它的完备化空间就是全体实数按距离 所成的距离空间；|xy是 上全体多项式函数，按度量 所成度量空,Pab, 12(,)ma|()|tbryt间是不完备的

38、，它的完备化空间是 ； 按 空间的度量,Cab,1pL第二章 度量空间与赋范线性空间构成的度量空间是不完备的，它的完备化空间是 。,pLab2.3.3 度量空间中的列紧性在实数集中，有界数列一定存在收敛子列，但这个结论不能推广到一般的度量空间中。例如，在 上的三角函数系,111,cos,in,cos,in,2tttt 是空间 中的一个有界集，但其中任意两个不同元素距离等于 ，不可2,L 2能存在收敛子列。因此，有必要引入下面的概念。【定义 2.13】 设 是度量空间， ，如果 中的每一点列都存在一XAX个子列收敛于 中某一点，则称 为列紧集；如果 中的每一点列都存在一个子列收敛于 中某一点，则

39、称 是紧集。A由此可见，一个集合是紧集则必是列紧集，但反之不然。例 2.25 ， ， ， ，但 。因此， 是R(0,1n1lim0nA列紧集，但不是紧集。由定义我们可以得出结论：列紧集的子集也是列紧集；有限个列紧集的并一定是列紧集；列紧的闭集一定是紧集。例 2.26 ， 是有界集，则 是列紧集。nXnAA证明： ，记 ，由 有界知存在 ，使()kx()()()()12,kkknxx 0M。对个数列 是有界的，对 有子列 收敛，()kix1Mi()i ()1kx1()kx仍是有界的，故又存在收敛子序列 ， 是 的子集。依次类推，1()2 2()k2得到自然数集的子列 ，使 都收敛，因此 在 中收

40、nk()()()12,nnnkxx ()nkxR敛，即 为列紧集。A根据定以来直接判断一个集合是否列紧往往比较困难，为了便于刻画和判断一个集合的列紧性，我们引入全有界集概念。【定义 2.14】 设 是度量空间， 是全有界的，如果对 ，存XAX0在 中有限个点 满足 。12,nx 1(,)niiBx【定理 2.11】 全有界集是有界的，且是可分的。证明：设 是度量空间， 是全有界的，则对 存在1，使 ，因此对一切 ，有 ，使12,nxA 1(,)niixxA()kn，所以()k应用泛函分析( 第二版)（ 是有限数）1(,)(,),)max(,1nkknknnxx M故 有界。A另一方面，若 全有

41、界，对 ，存在有限集An()()12,1,2)nnmBxx 使 ，令 ，则 是可列集。任取 ，存在某个()1,nmiiA1nBxA，使 ，且 ，说明 在 中稠密，故 可分。nk()nkxB()1,nkxB注：定理 2.11 逆命题不真。【定理 2.12】 如果 是度量空间 中的列紧集，则 是全有界集。AXA证明：若 不是全有界集，那么存在 ，使得 中任意有限个点为中心，0半径为 的球并不能盖住 。取 ，球 不能盖住 ，于是存在01x10(,)Bx且 即有 ，同样 也不能盖住 ，2xA210(,)Bx20(,)20(,)xA存在 且 ，既有 ， ，如此继33,x130(,)x3,续下去，得到 中

42、点列 满足 。可见点列 的任何子列n0()nmnnx均不能收敛，这与 是列紧集矛盾。A【定理 2.13】 如果 是完备的度量空间，则 是列紧集的充要条件是XA为全有界的。A证明：必要性由定理 2.12 即得。现证充分性：设 是全有界集， ，取 ，对nx1(,2)k存在以 中有限个点为中心，1 为半径的球的并盖住 ，所以必有某个球1 A中含有 的某子列，该子列记为 ；取 ，同样存在以 中有(,)Banx(1)nx2限个点为中心， 为半径的球盖住 ，所以必有某个球 含有子列2A1(,)Ba的子列，记为 ，如此进行下去，可得子列串为 ，其(1)nx()nx ()(2),nx中后一个是前一个的子列，且

43、 。从这一个子列串中重新选择一()1,)knkBa个子列 ，即将子列串排成下面的表，选取对角线元素而得()nx(1)x()2(1)3x()4第二章 度量空间与赋范线性空间(2)1x()(2)3x()4 ()1n()2()3n()4 我们来证明 是 Cauchy 列.事实上,对任意 ,取自然数 ，使()nx 0N，则对任何 ，有2N,mN，()nx()1,)mNBa所以 ()()()()2,nmnmx即 是 Cauchy 列。由 完备，可知 是收敛列，证得 为列紧集。()nxX()nA注：在完备的度量空间中，集的列紧性和全有界性是一致的；在一般的度量空间中，列紧性强于全有界性，全有界性强于有界性

44、；在 空间中三者是一nR致的。现在我们将古典分析中闭区间上连续函数的某些性质推广到度量空间的紧集上。【定理 2.14】 设 是度量空间 中的一个紧集， 是定义在 上的一个AXfA连续函数，那么 是有界的，且上下确界可达。f证明：先证 有界。若不然，则存在 ，使 ，由于 是nxAlim|()|nnfx紧的，有 子列 在 中收敛，即有 ，使 。由于 在点nxknA00k f连续，有 ，从而 ，这是不可能的。所以 在 上00()lim()kffx()fxA是有界的。记 ，由上确界定义，同样可以找到 中点列 ，满足supxA Aknx，由 紧性，存在子列 及 ，使 ，由1()nfxknx00()knx在点 连续，得 ，显然 ，于是 。同00()li()kkff()ffx理可证下确界可达。关于判断重要空间 中子集的列紧性有下述著名的 Arzela-Asccoli 定,Cab理。【定理 2.15】 集合 是列紧的充要条件是下面两个条件成立：,A应用泛函分析( 第二版)（1） 是一致有界的，即存在常数 ，使得每个 ，A0MfA：max|()|tbfM（2） 是等度连续的，即对 ，存在 ，使对任意 ，12,tab当 及 时， 成立。1|tfA12|()|ft该定理证明较为繁杂，这里从略。习题 2.31.设 ，对 ， ，问：0,12,3Xn