1、2012-08-06 1数学与统计学院从有限维空间到无穷维空间Move Towards Infinite Dimensional SpacesStarting from Finite Dimensional Spaces报告人：彭济根电子信箱：个人主页：http:/2012-08-06内容提要 引言 一维实空间 有限维空间 无穷维空间 距离空间 实例展示2012-08-06关键词：有限维，无限维，空间-一、引言null维数 ：是指用以 “表征 ”（唯一表示）对象的最少参数的个数。称一个对象是n 维的，如果它可由且仅由 n个有序参数表征。null空间：是指赋予一定结构的集合。数学上的结构一般可分
2、为三大类：拓扑结构、代数结构、序结构。其中null 拓扑结构（广义几何）是通过定义元素之间的 “邻近方式 ”而构建的。相关的基本概念是开集、极限、连续等；null 代数结构是通过定义集合元素间的运算而构建的。例如，加法运算、数乘运算、乘法运算等；null 序结构是通过定义元素间的某种 “传递 ”关系而构建的。2012-08-06null 有限维空间：如果存在某个常数 n，使得空间中每个点都可以由至多 n个有序参数表征，则称该空间为有限维空间。这样的最小 n称为空间的维数，同时，该空间称为 n 维空间。null 无穷维空间：非有限维空间。值得注意的是，空间的维数与被用来表征的参数的选择紧密相关。
3、例如，一个平面若以复数来表征，它是 1维的，而若以实数来表征，它是 2维的。一般地，一个以复数表征的 n维空间，在实数表征下是2n维的。一、引言2012-08-06熟知，当一个空间具有（或被赋以）线性结构时（即，定义有加法和数乘运算，且满足 8条运算定律，此时该空间称为线性空间），空间的维数可以通过确定最大无关向量集来定义。若最大无关向量集是有限集，则空间中每个点都可以唯一地表示为无关向量的线性组合，因而每个元素都可以这个线性组合的系数来表征。因此，由定义知，这个空间的维数就是最大无关向量集中向量的个数。线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开
4、。一、引言2012-08-061维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，线性1维，线性P.P(经度，纬度 )P.P(x,y,z)2维，非线性2维，非线性3维，线性3维，线性一、引言2012-08-06h设。易见，Pn中的每个元素都可用 n 元有序组 （a1, a2, ,an）表征。因此， Pn是 n 限空间。h设 。 易见， Sm中的每个元素都可以用 m+1 元有序组 （ b0,b1, b2, , bm）表征。因此， Sm是 m+1 维空间。h设 C0,1表示所有在区间 0,1上连续的函数全体。该集合中的元素不可能由有限个参数组来表征。因此，它是无穷维的。nn0P:Rkkkkax
5、a= = m0Ssin:R,Rmkkkbkxb x= = 一、引言2012-08-06从定义形式看，空间结构与空间维数是两个独立的概念。但在实际问题中，空间结构往往是通过空间的表征参数组来定义的。自然地，空间的维数越高，其表征的参数就越多，因此，随着维数的增大，空间结构性质就越复杂。一、引言问题1：随着维数的增加，特别是 “达到 ”无穷维时，空间结构性质将呈现出怎样的变化？2012-08-06值得指出的是，数学的许多领域处理的往往不是空间本身的性质，而是空间中的变换（或称算子），因此周知，实数是集三大数学结构于一体的最基本的空间，是数学研究的本体。为此，我们就从实数这个1维空间开始，在分析框架
6、内，围绕 空间的拓扑性质及其空间变换性质 而展开讨论。一、引言问题 2: 随着维数的增加，特别是在无穷维空间中，空间变换将呈现出怎样的复杂性？2012-08-061. 序列的极限：2. 函数（映射）的极限：二、一维实空间: 实数基本概念基本概念一一2012-08-063. 映射（函数）的连续性：4. 聚点、闭集、开集等二、一维实空间: 实数极限存在的判别准则：1. 单调增上有界序列必有极限；2. 序列收敛当且仅当它是 Cauchy列（或基本列）。3. 映射的极限定义中， 代替。定积分定义中的收敛性不能用序列的收敛性来刻画！2012-08-061. 线性 ：实数空间是线性的。2. 完备性：前面有
7、关序列收敛的第二个判定准则表明，实数是完备的。即，每个 Cauchy列都有极限。3. 可分性：第三个判别准则表明，实数是可分的（事实上它以有理数集这个可数集为稠密子集）。4. 致密性（列紧性）：任何有界序列必有收敛子列。5. 紧性 ：有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖。6. 区间套性质：单调减的闭区间族 an, bn的交集非空。二、一维实空间: 实数实数的基本性质实数的基本性质二二致密性定理、有限覆盖定理以及闭区间套定理三者等价。致密性定理、有限覆盖定理以及闭区间套定理三者等价。2012-08-061. 线性函数的表征：映射F( x)为线性的，当且仅当存在常数 a 使 F(x)=ax。2.
8、连续函数在有界闭区间（闭集）上必取到极值。3. 连续函数在有界闭区间（闭集）上是一致连续的。4. 闭区间（闭集）在连续映射下的原像是闭集。5. 开区间上的凸函数一定连续。6. 可微函数是凸的当且仅当它的导函数是单调增的。二、一维实空间: 实数连续映射的性质连续映射的性质三三回想，函数 f 单调增当且仅当,对任意 x, y R, (f(x)-f(y)(x-y) 0。回想，函数 f 单调增当且仅当,对任意 , R, (f( )-f( )( - ) 。2012-08-06二、一维实空间: 实数线性系统的可解性线性系统的可解性四四1. 线性系统 的解为：2. 线性系统 零解稳定的必要条件是 a0。3.
9、 线性系统 零解渐近稳定（指数稳定）的充分必要条件是 a。表明: “模 ”与内积是相容的！2012-08-06进一步表明，内积是实数乘积的一种推广！进一步表明，内积是实数乘积的一种推广！null （一维情形）二项式展开式：null多维情形的二项式展开（平行四边形准则）：22 22 ,Rab a ab b ab=+ ，22 2n12 12=2,( , , , ), ( , , , ) Rnnab a ab baaa abbb b+= = LL，以上通过类比而引进的概念在很大程度上延续了实数的性质。例如，二项式展开可在形式上推广到多维情形：三、有限维实空间2012-08-061. 序列的极限：2.
10、 映射的极限：3. 映射（函数）的连续性：三、有限维实空间2012-08-06这基于 “内积是实数乘积的推广 ”。这给我们进一步认识“内积” 以深刻的启示。后面将看到，内积又是 “共轭内积 ”的一种特殊情形，因而，单调性可以进一步推广。这基于 内积是实数乘积的推广 。这给我们进一步认识内积 ”以深刻的启示。后面将看到，内积又是 共轭内积 的一种特殊情形，因而，单调性可以进一步推广。4. 函数 F: Rn Rm的可微性： 若每个分量函数 Fi对每个分量的偏导数存在，则称 F 可微，并称 m n 阶矩阵为 F 在 x处的导数，记为 F (x)。5. 函数 f: Rn Rn的单调 性 ： 若对任意
11、x, y Rn,则称 f 是单调的。nmjixxFxA=)()(0),()( yxyfxf三、有限维实空间2012-08-066. 开球、闭球、7. 领域、 内点、开集、闭集null x 称为集合 A的内点，若存在 r0, 使得 U(x,r)包含于 A。null 若 A的每个点都是其内点，则称 A为开集。null 开集的余集称为闭集。开集（闭集）的公理特征：1. 全空间 Rn和空集既是开集也是闭集；2. 任意多个开集 (闭集 )的并 (交 )仍是开集 (闭集 )；3. 有限多个开集(闭集)的交(并)仍是开集(闭集)。三、有限维实空间2012-08-06极限收敛准则极限收敛准则二二1. 单调增有
12、界序列必有极限；2. 任何 Cauchy列（或称基本列）必有极限；3. 映射的极限定义中， 可 用 代 替；4. Rm中的序列 xn 收敛当且仅当每个分量数列 xni 收敛，即，赋予 “大小 ”关系：a b 当且仅当 ai bi赋予 大小 关系： 当且仅当iimmnmnnnininnnxxxxxxxxxxmixxR),( ),(,lim ,2,1lim0020102100=其中三、有限维实空间也即，其中 ei为第 i个基向量。001, 2, , , , ,n nii iix xi mxexe= L序列 xn收敛 当且仅当，对任意 a, 数列 收敛。2012-08-061. 线性 ：加法运算数乘
13、运算 。2. 完备性：每个 Cauchy列都有极限。3. 可分性：以分量为有理数的点集为稠密子集。4. 致密性（列紧性）：任何有界序列必有收敛子列。5. 紧性 ：有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖。6. 闭集套性质：单调减的闭集族的交集非空。Rn的基本性质n的基本性质三三),(:2 naaaa =),(:2211 nnbabababa +=+ 三、有限维实空间2012-08-061. 线性映射的表征：映射F: Rn Rm为线性的，当且仅当存在 m n 阶 矩阵 A 使 F(x)=Ax。2. 线性函数的表征：映射 f: Rn R为线性的，当且仅当存在a Rn使 f(x)=。（证明？）3. 连续
14、函数在有界闭集上必取到极值。4. 连续映射在有界闭集上是一致连续的。5. 闭集在连续映射下的原像是闭集。6. 开集上的凸函数一定连续。7. 可微函数是凸的当且仅当它的导函数是单调的。连续映射的性质连续映射的性质四四三、有限维实空间2012-08-061. 线性系统 的解为：其中2. 线性系统零解稳定的必要条件是，矩阵 A不能有特征值位于右半复平面。3. 线性系统零解渐近稳定（指数稳定）的充分必要条件是，矩阵 A的特征值全部位于左半复平面。线性系统的性质线性系统的性质五五0 ),()()( +=ttButAxtx0 ,)()0()(0)(+=tdrrBuexetxtrtAAt三、有限维实空间20
15、12-08-064. 单参数 n n 阶矩阵族 T(t)t0 是矩阵指数函数的充分必要条件是 : (1) T(0)=I， T(t+s)=T(t)T(s); (2) 对任意的x Rn,映射t T(t)x 在 0, )上连续 。三、有限维实空间不难证明，此时矩阵A由下面的极限所定义：这也表明，在有限维空间中，每个矩阵唯一地对应一个满足上述条件的矩阵族。后面我们将提到，这样的矩阵族称为算子半群。0()lim , RntTtx xAx xt+=2012-08-06对照一维实空间与多维空间，可以看出，在适当的拓扑结构下，一维实空间的许多拓扑性质在多维空间中得到保持。（事实上，由定义可以看出，Rn中的许多
16、问题可转化为一维实空间中的 n 个相关问题。如作为建立拓扑结构基础的极限问题， Rn中序列极限的存在性等同于 n个实数列的极限 “同步 ”存在性。在有限范畴内，个数的增加不会影响这种 “同步 ”的定性性质。但是，当个数 “达到 ”无穷多时，要取得 “同步 ”是一件非常困难的事情。由此可以预见，无穷维空间将呈现出非常复杂的拓扑性质）三、有限维实空间2012-08-06总体上讲，无穷维空间理论的形成与发展受到来自两个方面因素的推动：1. 数学内在因素19世纪至 20世纪初，对变分，弦的振动、积分方程、微分方程边值、函数逼近等以函数为基本处理单元 的问题的研究，使人们逐渐认识到研究以函数为元素的空间
17、理论的重要性。另外，公理化思潮也对无穷维空间理论的形成和发展起到了重要的促进作用。四、无穷维空间2012-08-062. 外部因素20世纪初的理论物理学（特别是量子力学理论）、航空航天、核理论与技术等学科领域的理论发展和技术进步，对无穷维空间理论的形成与发展提供了强有力的外部动力。事实上，即便是在当今的信息化时代，其它学科的发展仍然是无穷维空间理论发展的重要推手。（数据挖掘、机器学习、稀疏信息处理、大数据处理等，无不需要无穷维空间理论）四、无穷维空间2012-08-06例 1. 弹性系统的振动问题：已知系在A、 B两端的均匀弹性细线，在某种外力下被拉离平衡位置，形成曲线y (x)，那么松开外力后，细线在t 时刻后的形状如何？最终状态如何？四、无穷维空间ABxy(x)显然，这是一个以连续函数为处理单元的问题，因此，需要置于以连续函数为元素的空间中进行处理。
