1、逻辑学第五讲 命题的自然推理,大连理工大学系统工程研究所夏昊翔,命题的自然推理,自然推理是一种判定推理是否有效的方法，并且主要是证明的方法。自然推理是对应于公理化形式系统的形式系统。自然推理的基本思想：确定一些推理规则，这些规则具有保真性。即依据这些规则，从真前提只会推出真结论。因此，从所要判定的推理的前提出发，如果依据这些推理规则，能形式地推出预期的结论，这就说明该推理有效。,自然推理的主要特征在于强调应用推理规则的重要性。,自然推理系统P,自然推理系统P由下述3部分组成:1. 字母表(1) 命题变项符号: p,q,r, pi,qi,ri,(2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号
2、: ( ), ,2. 合式公式3. 推理规则,合式公式,合式公式的递归定义：,1.定义： 单个命题变元是个合式公式。 若A是合式公式，则A是合式公式。 若A和B是合式公式，则(AB)，(AB)，(AB)和(A B)都是合式公式。 当且仅当有限次地应用，所得到的含有命题变元、联结词和括号的符号串是合式公式。注意这个定义是递归的。(1)是递归的基础，由(1)开始，使用(2)(3)规则，可以得到任意的合式公式。,推理规则,推理规则（1） 前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提。 （2） 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为后继证明的前提。 （3） 置换规则：在证明的任何步骤
3、上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又一个公式。,推理规则,（4）假言推理规则 AB A B（5）附加规则 A AB（6）化简规则 AB A,（4）若今天下雪,则将去滑雪。今天下雪，所以去滑雪。（5）现在气温在冰点以下。因此，要么现在气温在冰点以下，要么现在下雨。（6）现在气温在冰点以下并且正在下雨。因此，现在气温在冰点以下。,推理规则,（7）拒取式规则 AB B A（8）假言三段论规则 AB BC AC（9）析取三段论规则 AB B A,自然推理系统的定义,（10）构造性二难推理规则 AB CD AC BD （11）破坏性二难推理规则 AB CD BD AC（1
4、2） 合取引入规则 A B AB,在自然推理系统P中构造证明,P中构造证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规则，推出结论。构造形式结构A1A2Ak B 的推理的书写方法：前提： A1,A2,Ak 结论： B证明方法：直接证明法 附加前提法归谬法（或称反证法）,直接证明法,假设前件为真，推出后件也为真,依据：充分条件假言命题（蕴涵式）的真值定义。,直接证明法例题,例 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：前提：pq, rq ,rs 结论：ps pq 前提引入 pq 置换 rq 前提引入 qr 置换 pr 假言三段论 rs 前提引入 ps 假言三段论,直接证明法直接利用条件构造一系列命题，得
5、出结论,例题,例2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明：前提：p（qr）, pq 结论： rs p（qr） 前提引入 pq 前提引入 p 化简 q 化简 qr 假言推理 r 假言推理 rs 附加 rs置换,一个公安人员审查一件盗窃案，已知的事实如下： A或B盗窃了x；若A盗窃了x，则作案时间不能发生在午夜前；若B证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭；若B证词不正确，则作案时间发生在午夜前；午夜时屋里灯光灭了。B盗窃了x。,设 P：A盗窃了x；Q：B盗窃了x； R：作案时间发生在午夜前；S：B证词正确； T：在午夜时屋里灯光未灭。 则上述命题可符号化为：PQ，PR，ST，SR，T Q,PQ，PR，
6、ST，SR，T Q ？,采用直接证明方法（1） T前提引入（2） ST前提引入（3） S(1)，(2)拒取式（4） SR前提引入（5） R(3),(4)假言推理（6） PR前提引入（7） P(5),(6)拒取式（8） PQ前提引入（9） Q(7),(8)析取三段论,分析：令P：马会飞；Q：羊吃草； R：母鸡是飞鸟； S：烤熟的鸭子还会跑。符号化上述语句为：=PQR，RS，S，G=Q。证明G。,如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟；如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑；烤熟的鸭子不会跑。所以羊不吃草。,证明,S 前提引入RS 前提引入R ,拒取式PQR 前提引入(PQ) ,拒取式PQ 置换Q 化
7、简,=PQR，RS，S，G=Q。 证明G,附加前提证明法,在自然推理系统P中构造下面推理的证明。如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影；小赵不去看电影或小张去看电影；小王去看电影。所以，当小赵去看电影时，小李也去看电影。构造证明：（1）将简单命题符号化： 设 p:小张去看电影。 q:小王去看电影。 r:小李去看电影。 s:小赵去看电影。,把结论中的前件作为前提的附加条件，证明结论中的后件。前提：p 结论： qr 转化为： 前提： pq ,结论：r,例题,（2）形式结构：前提：(pq)r,sp,q 结论：sr （3）证明：用附加前提证明法 s 附加前提引入 sp 前提引入 p 析取三段论 (p
8、q)r 前提引入 q 前提引入 pq 合取 r 假言推理,反证法,假设后件为假，推出前件也为假。,例如求证： P (PQ) Q证明:假设后件Q为F。1.如P为F，则前件P (PQ)为F2.如P为T，则(PQ)为F，所以 前件P (PQ)为假。 P (PQ) Q,例题,在自然推理系统P中构造下面推理的证明。如果小张守第一垒并且小李向B队投球，则A队将取胜；或者A队未取胜，或者A队获得联赛第一名；A队没有获得联赛的第一名；小张守第一垒。因此，小李没有向B队投球。 构造证明：（1）将简单命题符号化： 设 p:小张守第一垒。 q:小李向B队投球。 r:A队取胜。 s:A队获得联赛第一名。（2）形式结构
9、： 前提：(pq)r,rs,s ,p 结论：q,前提：(pq)r,rs,s ,p 结论：q（3）证明：用归谬法 q 结论的否定引入 rs 前提引入 s 前提引入 r 析取三段论 (pq)r 前提引人 (pq) 拒取式 pq 置换 p 前提引入 q 析取三段论 qq 合取 由于最后一步为矛盾式，所以推理正确。,等价公式,定义：给定两个命题公式A和B，设P1,P2, Pn为所有出现在A、B中的原子命题，若给P1,P2, Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，则称A和B是等价的，记AB。注：“”是关系符号，表示两个命题公式之间的关系，而“ ”是联结词符号，联结两个原子命题。等值定理：AB当且仅当A
10、 B是永真式。,置换规则建立在等价公式的基础上,等价公式对合律 PP交换律 PQQP PQQP 结合律 P(QR)(PQ)R P(QR)(PQ)R 分配律 P(QR)(PQ)(PR) P(QR)(PQ)(PR) 德-摩根定律 (PQ)PQ (PQ)PQ 幂等律 PPP PPP同一律 PFP PTP 零律 PTT PFF吸收律 P(PQ)P P(PQ)P互补律 PPT PPF PQ (PQ)(PQ),PQ PQPQ Q PP Q（PQ）（QP）P Q Q PP Q（PQ）（ P Q）,联结词化归公式,等值演算,下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所以，她 去游泳了。,设p:马芳下午去看电影
11、，q:马芳下午去游泳。 前提： pq，p 结论： q 推理的形式结构： (pq)p)q (pq)p)q (pq)p) q (pq)p) q (pp )(qp) q (qp) q 1,例子：证明：P（QR）PQR,证明： P(QR)P(QR) (化归) P(QR) (化归) (PQ)R (结合律) (PQ)R (德.摩根律) PQR (化归),重要的重言蕴涵式(1) PQP (2) PQQ(3) PPQ (4) QPQ(5) PPQ (6) QPQ(7) (PQ)P (8) (PQ)Q(9) P,Q PQ (10)P(PQ)Q(11) P(PQ)Q (12) Q(PQ)P(13) (PQ)(QR
12、)PR(14) (PQ)(PR)(QR)R(15) AB (AC)(BC)(16) AB (AC)(BC),这些重言蕴含式+前面说明的等价公式构成演绎命题推理逻辑演算的基础。,思考题,有五个具有五种不同颜色的房间； 每个房间里分别住着一个不同国籍的人； 每个人都在喝一种特定品牌的饮料，抽一特定品牌的香烟，养一特定的宠物； 没有任意两个人在抽相同品牌的香烟，或喝相同品牌的饮料，或养相同的宠物。 爱因斯坦给出了如下线索： 1英国人住在红色的房子里； 2瑞典人养狗作为宠物； 3丹麦人喝茶； 4绿房子紧挨着白房子，在白房子的左边； 5绿房子的主人喝咖啡； 6抽PallMall牌香烟的人养鸟； 7黄色房
13、子里的人抽Dunhill牌香烟；,8住在中间那个房子里的人喝牛奶； 9挪威人住在第一个房子里(最左边)； 10抽Blends香烟的人和养猫的人相邻； 11养马的人和抽Dunhill牌香烟的人相邻； 12抽BlueMaster牌香烟的人喝啤酒； 13德国人抽Prince牌香烟； 14挪威人和住蓝房子的人相邻； 15抽Blends香烟的人和喝矿泉水的人相邻； 爱因斯坦的问题是：谁在养鱼作为宠物?,1.确定房子排列,绿房子紧挨着白房子，在白房子的左边；挪威人住在第一个房子里(最左边)挪威人和住蓝房子的人相邻；,绿房子主人喝咖啡中间房子的主人喝牛奶,英国人住红房子,唯一可能的房子排列,现在的信息,除了
14、房子排列信息已经完全已知，关于饮料和国籍方面的确定信息最多，所以接下去推算饮料和国籍的可能情况。,茶5（酒1 水2）（酒2 水1）酒1BlueMaster 1（Dunhill 1 BlueMaster 1），矛盾水1Blends 2水1酒2BlueMaster 2茶5茶1丹麦人1与挪威人住第一个房间矛盾。所以, 只能是第二个房间的主人和茶所以，第二个房间的主人是丹麦人,矛盾,现在的信息,另外，由前面的推理，第一个房间主人不可能喝啤酒酒（与抽烟情况矛盾，所以只能是他喝矿泉水。所以，进而有：,现在国籍的排列只剩下两种情况，瑞典人住第四个房间，或者德国人住第四个房间。假设瑞典人住第四个房间。则德国人比如住第五个房间，于是第五个房间的主人抽Prince烟，于前面推定的“第五个房间主人抽BlueMaster”矛盾。因此，德国人住第四个房间，瑞典人住第五个房间。,鱼,
