1、1新课标下初中数学建模的常见类型汕头市澄海溪南中学 陈耀盛全日制义务教育数学课程标准对数学建模提出了明确要求，标准强调“从学生以有的经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解析与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力。情感态度与价值观等方面得到进步和发展。 ”强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。也能增强学生应用数学的意识，提高分析问题，解决实际问题的能力。2007 年全国各地的中考试题考查学生建模思想和意识的题目有许多，现分类举例说明。一、建立“方程（组） ”模型现实生活中广泛存在着数量之间的相等关系， “方程（组）
2、”模型是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，它可以帮助人们从数量关系的角度更正确、清晰的认识、描述和把握现实世界。诸如纳税问题、分期付款、打折销售、增长率、储蓄利息、工程问题、行程问题、浓度配比等问题，常可以抽象成“方程（组） ”模型，通过列方程（组）加以解决例 1（2007 年深圳市中考试题）A、B 两地相距 18 公里，甲工程队要在A、B 两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在 A、B 两地间铺设一条输油管道。已知甲工程队每周比乙工程队少铺设 1 公里，甲工程对提前 3 周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？解：设甲工程队每周铺设管道 x 公里，则乙
3、工程队每周铺设管道（x1）公里。依题意得： 318x解得 x1=2， x 2=32经检验 x1=2，x 2=3 都是原方程的根。但 x2=3 不符合题意，舍去。x1=3答：甲工程队每周铺设管道 2 公里，则乙工程队每周铺设管道 3 公里。二、建立“不等式（组） ”模型现实生活建立中同样也广泛存在着数量之间的不等关系。诸如统筹安排、市场营销、生产决策、核定价格范围等问题，可以通过给出的一些数据进行分析，将实际问题转化成相应的不等式问题，利用不等式的有关性质加以解决。例 2 （2007 年茂名市中考试题）某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共 100 只，付款总额不得超过 11815 元
4、。已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，试解答下列问题：品名 厂家批发价(元/只)商场零价（元/只）篮球 130 160排球 100 120（1）该采购员最多可购进篮球多少只？（2）若该商场能把这 100 只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于 2580 元，则采购员至少要购篮球多少只？该商场最多可盈利多少元？解：（1）该采购员最多可购进篮球只，则排球为（100x）只，依题意得：130x100（100x）11815解得 x60.5x 是正整数，x60答：购进篮球和排球共 100 只时，该采购员最多可购进篮球 60 只。3（2）该采购员至少要购进篮球只，则排球为（100x）只，依题
5、意得：30x20（100x）2580解得 x58由表中可知篮球的利润大于排球的利润，因此这 100 只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多，即篮球 60 只，此时排球平均每天销售 40 只，商场可盈利（160130）60（120100）40=1800800=2600（元）答：采购员至少要购进篮球 58 只，该商场最多可盈利 2600 元。三、建立“函数”模型函数反映了事物间的广泛联系，揭示了现实世界众多的数量关系及运动规律。现实生活中，诸如最大获利、用料价造、最佳投资、最小成本、方案最优化问题，常可建立函数模型求解。例 3 （2007 年贵州贵阳市中考试题）某水果批发商销售每箱进价为 40 元的
6、苹果，物价部门规定每箱售价不得高于 55 元，市场调查发现，若每箱以 50元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元，平均每天少销售 3 箱。（1）求平均每天销售量 y（箱）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式。（2）求该批发商平均每天的销售利润 w（元）与销售价 x（元/箱）之间的函数关系式。（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）y=903（x50） 化简，得 y=3x240（2）w=（x40） （3x240）=3x 2360x9600（3）w=3x 2360x96004= 3（x60） 21125a=30 抛物线开口向下当 x=60
7、 时，w 有最大值，又 x60，w 随 x 的增大而增大，当 x=55 时，w 的最大值为 1125 元，当每箱苹果的销售价为 55 元时，可以获得最大利润 1125 元的最大利润四、建立“几何”模型几何与人类生活和实际密切相关，诸如测量、航海、建筑、工程定位、道路拱桥设计等涉及一定图形的性质时，常需建立“几何模型，把实际问题转化为几何问题加以解决例 4 （2007 年广西壮族自治区南宁市中考试题）如图点 P 表示广场上的一盏照明灯。（1）请你在图中画出小敏在照明灯 P 照射下的影子（用线段表示） ；（2）若小丽到灯柱 MO 的距离为 1.5米，小丽目测照明灯 P 的仰角为 55，她的目高 Q
8、B 为 1.6 米，试求照明灯 P到地面的距离；结果精确到 0.1 米；参考数据：tan55 1.428，sin550.819，cos550.574。解：（1）如图，线段 AC 是小敏的影子。（2）过点 Q 作 QEMO 于 E，过点QM PA O 4.5 米 B小敏 灯柱 小丽55QE DFM PC A O 4.5 米 B小敏 灯柱 小丽555P 作 PFAB 于 F，交 EQ 于点 D，则 PFEQ。在 RtPDQ 中，PQD=55，DQ=EQED=4.51.5=3（米） 。tan55= DQPD=3 tan554.3（米）DF=QB=1.6 米PF=PDDF=4.31.6=5.9（米）
9、。答：照明灯到地面的距离为 5.9 米。五、建立“统计”模型统计知识在自然科学、经济、人文、管理、工程技术等众多领域有着越来越多的应用。诸如公司招聘、人口统计、各类投标选举等问题，常要将实际问题转化为“统计”模型，利用有关统计知识加以解决。例 5 （2007 年后湖北省荆州市中考试题）为了了解全市今年 8 万名初中毕业生的体育升学考试成绩状况（满分为 30 分，得分均是整数） ，从中随机抽取了部分学生的体育生学考试成绩制成下面频数分布直方图（尚不完整） ，已知第一小组的频率为 0.12。回答下列问题：（1）在这个问题中，总体是 ，样本容量为 。（2）第四小组的频率为 ，请补全频数分布直方图。（
10、3）被抽取的样本的中位数落在第 小组内。频数(人)1801206015.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 分数(分)6（4）若成绩在 24 分以上的为“优秀” ，请估计今年全市初中毕业生的体育升学考试成绩为“优秀”的人数。解：（1）8 万名初中毕业生的体育升学考试 成绩， =500。12.06（2）0.26，补图如图所示。（3）三（4）由样本知优秀率为 100=28 5013估计 8 万名初中毕业生的体育升学成绩优秀的人数为2880000=22400（人） 。六、建立“概率”模型概率在社会生活及科学领域中用途非常广泛，诸如游戏公平问题、彩票中奖问题、预测球队胜负等问题，常可
11、建立概率模型求解。例 6 （2007 年辽宁省中考试题）四张质地相同的卡片如图所示。将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上。频数(人)1801206015.5 18.5 21.5 24.5 27.5 30.5 分数(分)游戏规则:随机抽取一张卡片,记下数字放回,洗匀后再取一张,将抽取的第一张、第二张卡片上的数字分别作为十位数字和个位数字，若组成的二位数不超过 32，则小贝胜，反之则小晶胜.2 6327（1） 求随机抽取一张卡片，恰好得到数字 2 的概率（2） 小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图。你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法说明理由。若认为不公平，请你修改法则，使游戏
12、变得公平。解：（1）P（抽到 2）= 14（2） 根据题意可列表2 2 3 62 22 22 23 262 22 22 23 263 32 32 33 366 62 62 63 66画树状图如下：从表（或树状图）中可以看出所有可能的结果共有 16 种，符号条件的有 10 种，P（两位数不超过 32）= =，游戏不公平。调整规则如下。2 2 3 6 2 2 3 62 2 3 62 2 3 62222第一次抛第二次抛8方法一：将游戏规则中的 32 换成 2631（包括 26 和 31）之间的任何一个数都能使游戏公平。方法二：游戏规则改为抽到的两位数中，不超过 32 的得 3 分，抽到的两位数超过 32 的得 5 分。方法三：游戏规则改为组成的两位数中，若个位数字是 2，则小贝胜，反之小晶胜。
