1、垂直于弦的直径,垂直于弦的直径,你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,探究,用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,驶向胜利的彼岸,圆是轴对称图形,驶向胜利的彼岸,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,动动脑筋,叠 合 法,1.在O中，若CD AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（ ）,练一练(1),2
2、.已知O的直径AB=10，弦CD AB，垂足为M，OM=3，则CD= .,3.在O中，CD AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则O的半径是 .,C,8,13,注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种辅助线的添法往往结合勾股定理计算。,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,（1）过圆心（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,推论（1）,（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧,（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧,（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对和
3、的另一条弧,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,注意,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,例1 如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,解：连结OA。过
4、O作OEAB，垂足为E，则OE3厘米，AEBE。AB8厘米 AE4厘米 在RtAOE中，根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米。,讲解,例：已知：在O中，AC,AB为互相垂直的两条相等的弦，OD AB,OE AC求证：四边形ADOE为正方形。,例1,例2 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：ACBD。,证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，ACBD,E,讲解,讲解,6.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？,证明：过O作OEAB，垂足为E，
5、 则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即 ACBD,5.在半径为30的O中，弦AB=36，则O到AB的距离是= 。,练一练(2),24mm,注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,学生练习,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD求证：ECDF,变式. 已知：如图，线段AB与O交于C、D两点，且OA=OB 求证：AC=BD ,证明圆中与弦有关的线段相等时, 常借助垂径定理,利用其平分弦的性质来解决问题.,例2.如图是一条排水管的截面。已知排水管的半径10cm，水面宽AB=12cm。求水的最大深度.,E,D,求圆中有关线段的长度时,常
6、借助垂径定理转化为直角三角形,从而利用勾股定理来解决问题.,B,A,O,驶向胜利的彼岸,挑战自我画一画,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,课堂小结,1.本节课我们主要学习了圆的轴对称性 和垂径定理,垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧,2.垂径定理的证明，是通过“实验观察猜想证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法,3.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题,课堂小结,1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或经过圆心的每一条直线。,3、在 O中，若 O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：,现在大家就来解决赵州桥主桥拱半径的问题如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O,半径为R。 经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交与点C，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高。,再见,
