1、矩 阵 论 电 子 教 程,Department of Mathematics, College of Sciences,哈尔滨工程大学理学院应用数学系,矩 阵 分 析,第 六 章,一,矩阵级数的定义由 中的矩阵序列 构成的无穷和称为矩阵级数，记为 ，,二,矩阵级数的收敛和发散,若由矩阵级数的部分和构成的矩阵序列 收敛，且有极限S,不收敛的矩阵 级数称之为发散的,定义1.,中的矩阵级数收敛相当于F上的 个级数都收敛,判断矩阵级数 的敛散性,例1. 已知矩阵序列 的通项为,定理1.,n,解答 考察上述矩阵级数的部分和,矩阵级数收敛，且其和为,三.矩阵级数的绝对收敛,定义2. 设: ,矩阵级数 若
2、对某一个矩阵范数满足:,由矩阵范数的等价性知,矩阵的绝对收敛 与矩阵范数的选择无关,是收敛的,则称矩阵级数 绝对收敛,必要性：,矩阵级数 绝对收敛的充要条件是每个数值,定理2.,设,级数 都收敛,即 绝对收敛.,证明：先给出矩阵范数,由正项级数的比较判别法，可知 个数值级数,从而矩阵级数 绝对收敛。,n,收敛，,充分性：,由正项级数的比较判别法， 可知级数 收敛。,4，若矩阵级数 收敛（或绝对收敛），则矩阵级数 也收敛（或绝对收敛），并且有:,1，,2，,3，绝对收敛的矩阵级数必收敛，并且任意调换其项的顺序所得的矩阵级数仍收敛，且其和不变.,5，若 与 均绝对收敛，则它们按项 相乘所得的矩阵级
3、数,证明：只证4.及5.,4.因 ，记 ，则,在此基础上考察级数 的部分和的极限,也绝对收敛，且其和为AB,由正项级数的比较判别法可知 绝对收敛,若 绝对收敛 收敛，由于,首先由命题的条件可知，级数 与均收敛。记,考察矩阵级数,的通项的范数,由正项级数的比较判别法可知，级数,绝对收敛, 记:,由矩阵范数的三角不等式及相容性,定义3：设 ，称形如：的矩阵级数为矩阵幂级数。,四,矩阵的幂级数,定理4：设幂级数 的收敛半径为 为 阶方阵若 ，则矩阵幂级数 绝对收敛；若 ，则 发散。,证明： 设 的Jordan标准形为,其中,于是,其中,所以,当 时，幂级数,都是绝对收敛的，故矩阵幂级数 绝对收敛。,当 时，幂级数 发散，所以 发散。,例2: 证明对任意的,矩阵幂级数:,绝对收敛.,并且:,所以,原矩阵幂级数绝对收敛,从而也是收敛的,我们知道,若矩阵级数 收敛,且收敛与矩阵S 则称S为级数 的和,记为:,下面规定几个收敛的矩阵级数的和:,且其和为：,定理5：设 矩阵幂级数,证明 绝对收敛性由定理4立即可以得到,下证,绝对收敛的充分必要条件是,由于 ,由定理知,所以,对 两端取极限:,即:,Good,Bye,
