1、椭圆及其标准方程一、知识点分析椭圆的定义和标准方程，是整个解析几何圆锥曲线部分的重要基础知识，在天津的高考中占用重要的地位。这一节课是在圆及其标准方程的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，同时也为双曲线和抛物线的学习打下基础。二、教学过程1. 认识椭圆1）引入问题：卫星运行的轨迹是什么形状？周围有哪些类似椭圆的东西？学生思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹（集合）呢？2）实验探究：固定一条细绳的两端，用笔尖将细绳拉紧并运动，在纸上你得到了怎样的图形（如图 1）？思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？定 点 1 定 点 2细 线轨 迹 笔 尖图 1 笔尖绘制示意图椭圆定义：平面
2、内与两个定点 、 距离的和等于常数（大于 ）的点F2 21F的轨迹叫椭圆。两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。2. 椭圆的方程1）类比探究：以圆为例介绍建立曲线方程的方法：a）求曲线方程的一般步骤是什么？b）建立坐标系的一般原则有哪些？注：求曲线方程的一般步骤建系设点、写出点集、列出方程、化简方程；建系的一般原则为：使已知点的坐标和曲线的方程尽可能简单，即原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上或图形的对称轴上，充分利用图形的对称性。2）推导方程：如图已知焦点为 、 的椭圆，且 ，对椭圆上任1F212Fc一点 M，有 ，尝试推导椭圆的方程。12Faa）建系设点思考：怎样建立坐
3、标系，才能使求出的椭圆方程最为简单？Myx0F1 F2 MyxF2F10图 2 焦点在 x 轴上的椭圆 图 3 焦点在 y 轴上的椭圆 （注：图 2 与图 3 为两种常用的坐标系。 ）先以图 2 的坐标系为例，进行椭圆方程的推导。以两定点 F1、 F2 的连线为 x 轴，以线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立坐标系如图 2 所示。设 M (x，y)为椭圆上任意一点，| F1F2 |=2c(c0) ，则有 F1（c、0） 、F 2 (c、 0)，又设 M 与 F1、M 与 F2 的距离的和等于常数 2a(a0)。（注：因为正确选取坐标系是解析几何解题的基本技巧之一，应着重培养学生这方面的
4、能力。 ）b）写出点集：利用两点间的距离公式，然后根据椭圆的定义可以列出：。12PFac）列出方程： 。22()()xcyxcya（注：到此为止，椭圆的方程已求出，只需简化。 ）d）化简方程：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式，只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式的化简问题。引导学生化简到 ，指出：此方程形式还不够2222()()acxyac简捷，还有变形的必
5、要。先简化 。令 则方程变为22,0),0(22b，联想到直线截距式方程，两边同时除以 得2bxayb 2a，便得到了椭圆的标准方程。此时椭圆的焦点在 轴上， 21(0) x、 ，这里 。1(,0)Fc1(,)c22abc接下来，引导学生对图 3 所示的坐标系进行椭圆方程的推导。此时椭圆的焦点在 y 轴上，焦点是 、 ，可推导出方程1(0,)F1(,)21(0)xyabb综上，我们所得的两个方程 和 都2(0)xyab2()是椭圆的标准方程。 （注：椭圆是不是只有这两种方程？）3. 椭圆的几何性质通过观察椭圆的图形与方程，可以得出下列性质：1）对称性：关于 x 轴对称， y 轴对称，关于原点中
6、心对称。2）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定；3）范围：焦点在 x 轴上-axa -byb；焦点在 y 轴上-bx-b -aya；4）椭圆标准方程中三个参数 关系： ；,abc22abc(0)5）离心率 e=c/a: 离心率范围：0 e1。离心率越大越接近于圆，越小则椭圆就越扁。 （注：当 e=0 时，曲线变为了？当 e=1 时，曲线变为了？）4. 课后习题1）设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上的2:1xyCab(0)12,FPC点， ， ，则 的离心率为（ ）21PF123FC2）已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 C 的(1,0)2方程是（ ）3）已知椭圆
7、 的左焦点为 ， 与过原点的直线相2:1()xyabF交于 两点，连接 若 ，则 的离心率,AB,.AFB40,6,cos5ABC_.e4）已知椭圆 的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交2:1()xyCab于 A,B 两点,连接 AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cosABF= ,则 C 的离心率为 ( )455）已知动点 M(x,y)到直线 l:x=4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. (1) 求动点 M 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m 的斜率. 三、总结通过本节课，应使得学生掌握以下方面的知识：1）掌握椭圆的定义与其标准方程（包括方程的推导） ；2）掌握椭圆的几何性质；3）会运用椭圆的性质来解决椭圆的相关问题。刘 波2017.9.8
