1、中篇 弹性力学,第三章 弹性本构方程,3-1 应力应变关系的一般表达 3-2 各向异性线弹性体 3-3 各向同性线弹性体 3-4 弹性应变能与弹性应变余能,3-1 应力应变关系,从静力学的角度对应力进行了分析,从几何学的角度对应变进行了分析,平衡微分方程,几何方程和变形协调方程,上述方程适用于任意连续物体，包括弹性力学和塑性力学。 这些方程还不能解决弹塑性力学问题。,需要研究应力与应变之间的物理关系，即本构关系。对应的函数方程称为物理方程，或本构方程。,一、本构方程,材料的应力与应变关系需通过实验确定的。,本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学描述。,由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获
2、得应力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型，再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一定实验验证结果）,例如：材料单轴拉伸应力-应变曲线：,e,s,s,e,非线弹性,线弹性,塑形变形,塑形变形,由材料力学已知，Hooke定律可表示为：,单向拉压,纯剪切,E为拉压弹性模量；,横向与纵向变形关系,G为剪切弹性模量,为泊松比,二. 各向同性材料的广义Hooke定律（本构方程）,对复杂应力状态，在弹性力学假设条件下，应用叠加原理：,考虑x方向的正应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,产生的x方向应变：,叠加,同理：,剪应变：,物理方程：,说明： 1.方程表示了各向同性材料的应力与应变的关系
3、，称为广义Hooke定义。也称为本构关系或物理方程。 2.方程组在线弹性条件下成立。,三. 体积应变与体积弹性模量,令：,则：,令：,sm称为平均应力; q 称为体积应变,四. 物理方程的其他表示形式,物理方程：,用应变表示应力：,或：,各种弹性常数之间的关系,弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应变的函数（或应变是应力的函数）,6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。,3-2 线弹性体本构方程的一般表达式,当自变量(应变)很小时，式（）中的各表达式可用泰勒级数展开略去二阶及以上的高阶微量，则式（）中的第一式展开为：,表示应变分量为
4、零时的值，由基本假设，初始应力为零故,表示函数f1对应变分量的一阶偏导数在应变分量为零时的值，等于一个常数,故, 式（）可用一个线性方程组表示（线弹性体）,式（）是纯数学推导结果，实际上与虎克定律线性关系一致，是在弹性小变形条件下弹性体内任一点的应力与应变的一般关系式,式（）中的系数 称为弹性常数，共有个,由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力时，必产生同样的应变，反之亦然因此 为常数，其数值由弹性体材料的性质而定,式（）推导过程未引用各向同性假设，故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、二维各向同性体以及各向同性体等,式(3)可用简写为,称为弹性矩阵.,式（）可用矩阵表示,物体内的任一点,
5、沿各个方向的性能都不相同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极少见),三、. 弹性常数,1. 极端各向异性体:,由能量守恒定律和应变能理论可证明,弹性常数之间存在关系,即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个弹性常数也不是全部独立.,36个弹性常数减少到21个. 弹性矩阵是对称矩阵.,弹性矩阵为,极端各向异性体的特点:,(1) 当作用正应力 时, 不仅会产生正应变 , 还会引起剪应变 。,(2) 当作用剪应力时, 不仅会产生剪应变, 也会引起正应变。,2.正交各向异性体,如在均匀体内, 任意一点都存在着一个对称面, 在任意两个与此面对称的方向上, 材料的弹性性质都相同。 称为具有
6、一个弹性对称面的各向异性体。该对称面称为弹性对称面, 垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。,具有一个弹性对称面的各向异性体, 弹性常数有13个。单斜晶体(如正长石)具有这类弹性对称。,如果在物体内的任意一点有三个互相正交的弹性对称面, 这种物体称为正交各向异性体。如: 煤块、均匀的木材、叠层胶木、复合材料等,正交各向异性体有9个弹性常数。其弹性矩阵为,3.横观各向同性体,如物体内任意一点, 在平行于某一平面的所有各个方向都有相同的弹性性质, 这类正交异性体为横观各向同性体。如不同层次的土壤、复合板材等。,横观各向同性体只有五个弹性常数, 弹性矩阵为,物体内任意一点, 沿任何方向的弹性性
7、质都相同。,4.各向同性体,各向同性体只有两个独立的弹性常数, 弹性矩阵为:,可见:,比较:,3-3 弹性应变能,弹性体受外力作用后产生变形，外力在其作用位置的变形上做功。忽略速度、热交换和温度等因素，则外力所做的功全部转换为应变能储存在物体的内部。,变分法是研究泛函求极值的方法。弹性力学问题的变分法，也称为能量法，是和弹性体的应变能或应变余能密切相关的，是有限元法的基础。,单位体积中具有的应变能，称为应变能密度或比能。,一、一维状态,细长直杆，长度为L，横截面积为S，两端受拉力P作用。 产生的伸长量为DL，外力作的功为：,单位体积的应变能U0为：,单位体积的应变能U0代表应力-应变曲线中阴影部分的面积。,单位体积的应变余能U0为：,对线弹性材料，,三向应力状态下，六个应力分量和六个应变分量。由能量守恒原理，各应力分量的合力只在其对应的应变分量所引起的变形位移上做功。,一、三维状态,总的应变能为各应力分量对应的应变能之和，即：,令：,比较：,满足上式的弹性材料称为超弹性材料。特点：在任意加载-卸载循环下，材料不发生能量耗散。,本构方程能量形式,对线弹性材料，利用本构方程,应变余能U0为：,本章重点：,本构方程,应变能：,
