1、2018 届普通高校招生全国卷 I（A）信息卷 高三数学（文）（三）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 （ ）06Mx23xNMNA. B. C. D. ,6,5,0,5【答案】A【解析】 因为 ， ，06x23|5xx所以 ，故选 A.|MN2已知 为虚数单位，则 （ ）i2018iA. 1 B. C. D. 2【答案】B【解析】 由题意 ，故选 B.20182ii13函数 的最小正周期是（ ）23sinicosfxxA. B. C. D. 4【答案】C【解析】 因为 21cos233sinicos3inxfxx，3sin2coi6所以其最小正周期为 ，故选 C.2Tw4求“方程 的解”有如
2、下解题思路：设函数 ，23logl0x23loglfxx则函数 在 上单调递增，且 ，所以原方程有唯一解 .类比上f,10f1述解题思路，方程 的解集为（ ）514xA. B. C. D. 12,3【答案】D【解析】 设 ，则 在 为单调递增函数，51fxxfxR又 ，所以原方程 的解集为 ，故选 D.5324f 51345中国古代数学著作算法统宗 中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地” ，请
3、问从第几天开始，走的路程少于 20 里（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】 由题意，记每天走的路程为 是公比为 的等比数列，na12又由 ，解得 ，所以 ，6162378aS19192nna则 ，34451924,2aa即从第 天开始，走的路程少于 里，故选 C.506已知圆锥 的底面半径为 2，高为 4，若区域 表示圆锥 及其内部，区域 表OMON示圆锥 内到底面的距离小于等于 1 的点组成的集合，若向区域 中随机投一点，则所投的点落入区域 中的概率为（ ）NA. B. C. D. 127637【答案】D【解析】 因为圆锥 的底面半径为 ，高为 ，O2r4h所以圆锥
4、 的体积为 ，211633Vh因为区域 表示圆锥 内到底面的距离小于等于 1 的点组成的集合，N所以区域 表示圆锥 的底面半径为 ，高为 ，则 ，r413所以 ，即 ，解得 ，rh24r2所以圆锥 的体积为 ，O213934Vrh则 ，6974OV圆 台 圆 锥 圆 锥根据体积比的几何概型，得所投的点落入区域 中的概率为N，故选 D.37126OP圆 锥圆 台 圆 锥7函数 的部分图象大致是（ ）sinsixyA. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为 ， sin sinsisin122x xxf yf所以函数 是定义在 上的偶函数，排除 A、B 项；sinsixyR又 ，排除 C，si
5、2sin152f综上，函数 大致的图象应为 D 项，故选 D.isinxy8一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A. B. 5 C. D. 6229【答案】C【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥 ，如图所示，PABCD其中侧棱 平面 ，PD,3,4ABC则 ,222245,5,39所以该几何体的最长的棱的长度为 ，故选 C.99在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ABC, ,abcsin12BC，则角 （ ）213cos2abCA. B. C. D. 或632【答案】B【解析】 因为 ，所以由正弦定理，得 ，即 ，sin12BC12bcb由 ，得 ，23coab
6、A23ossaBa显然 ，所以 ，s0等式两边同时除以 ，得 ，cB21bc将 代入得 ，2cb23a由余弦定理得 ，222 231os3acabCbb 又因为 ，所以 ，故选 B.0,310已知抛物线 的焦点为 ，准线 与 轴交于点 ，点 在抛物20ypxFlxAP线上，点 到准线 的距离为 ，点 关于准线 的对称点为点 ， 交 轴于点PldOBy，若 ， ，则实数 的值是（ ）MBa23MaA. B. C. D. 3412【答案】D【解析】 由抛物线的定义，得 ， 因为 ，所以 ，PFd23Od23MPF又因为点 关于准线 的对称点为 ，所以 ，所以 ，OlB/MPFBO即 ，所以 ，故选
7、 D.32BPM32a11已知不等式组 表示的平面区域为 ，若 是整数，且平面区域20,4 ,xymMm内的整点 恰有 3 个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点） ，则 的值是M,xy（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】 根据题意可知 ，又 是整数，0m所以当 时，平面区域 为 ，此时平面区域内 内只有整点1M20,4 ,1xyM，共 个，不符合题意；0,2当 时，平面区域 为 ，此时平面区域内 内只有整点mM20,4 ,xyM，共 个，符合题意；0,1,203当 时，平面区域 为 ，此时平面区域内 内只有整点3mM20,4 ,3xyM， ，共 个，不符合题意；0,
8、1,20,105依次类推，当 时，平面区域 内的整点一定大于 个，否不符合题意，33综上，整数 的值为 ，故选 B.m点睛：本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域的整点问题，其中解答中涉及到二元一次不等式组所表示的平面区域，以及简单的归纳推理的应用，对于线性规划问题通常有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用.12已知函数 的导函数为 ，且满足 ， fxfx321fxaxb，若函数 恒成立，则实数 的取值范围为（ 24fx 6ln2）A. B.
9、 C. D. 6ln3,5ln,l,4ln2,【答案】C【解析】 由 ，则 ，321fxaxb2fxab又由 ，可得 的对称轴为 ，可知24 f3，3a所以 ，321fxxb由 ，可得 ，6ln3216ln2xbx可得 ，即 ，32lbx设 ，1gx则 ，229182368933xxx 可知函数 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减，g0,6,可知 ，故实数 的取值范围为 ，故选 C.maxlnb6ln,点睛：本题主要考查利用导数求解不等式的恒成立问题求得，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切
10、线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值 (极值)，解决函数的恒成立与有解问题二、填空题13已知向量 在向量 方向上的投影为 ，则1,2a3,bm10_m【答案】1【解析】 由题意可得 ，解得 或221,3,1099abm 1（舍去）2713所以 .m14执行如图所示的程序框图，若输入的 值为 1，则输出的 值为_ aa【答案】1【解析】 执行如图所示的程序框图，可得：第一次循环： ；第二次循环： ；1,2ak2,ak第三次循环： ；第四次循环： ； 313依次类推， 的取值以 为周期变化，故第 次循环： ；071,207k第 次循
11、环： ；第 次循环： ，20182,18ak29,9a此时不满足判断掉件，输出 .15已知正四棱锥 内接于半径为 的球 中（且球心 在该棱锥内部） ，PABCD4O底面 的边长为 2，则点 到平面 的距离是_ ABPB【答案】 817【解析】 如图所示，连接 与 交于点 ，显然球心 在正四棱锥ACDO的高 上，PCDO因为球 的半径为 ，所以 ，9494P又因为底面 的边长为 ，所以 ， ,AB22B12BD在 中，由勾股定理得，所以 ,OD 229744OD所以 ，974P在 中，由勾股定理得 ，B22 3PBCP 设点 到平面 的距离为 ，则由 ，AChAPBACV得 ，解得 .21132
12、423817h点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及四棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）找到球心，利用球的性质，借助勾股定理求解球的相关基本量，作出计算.16若双曲线 上存在一点 满足以 为边长的正三角形210,xyabPO的内切圆的面积等于 （其中 为坐标原点， 为双曲线的半焦距） ，则双曲线的236cOc离心率
13、的取值范围是_【答案】 ,【解析】 由题意以 为边长的正三角形内切圆的半径为P，0113tan3226rOPO所以内切圆的面积为 ，22SrP又 为双曲线上一点，从而 ，所以 ，a221Sa又以 为边长的正三角形的内切圆的面积等于 ，所以 ，OP36c21得 ，即 ，所以双曲线的离心率的取值范围是 .3cae ,点睛：本题考查了双曲线的几何性质离心率的取值范围，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 ，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 的,accea,abc齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于 的方程(不等式
14、) ，解方程(不等式)，即可得 ( 的取值范围)e三、解答题17已知 是等差数列， 是等比数列，且 ， ， ， nanb21a29b130a.325b（1）求数列 ， 的通项公式；nanb（2）记 ，求数列 的前 项和.cc【答案】(1)见解析;(2) .13294nnS【解析】试题分析：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，nadnbq根据题设条件，列出方程，求得公差 和公比 ，即可求解数列的通项公式；dq（2）由（1）知， ，利用乘公比错位相减法，即可求解数列13nncb的前 项和为 .ncS试题解析：（1）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，nadnbq因为等比数
15、列的各项都不为 0， ，13a所以 .10则公差 .21da所以等差数列 的通项公式为 .n 10nad1nn所以 .3因为 ，所以 ，25ab325b解得 .37则公比 .239qb故等比数列 的通项公式为 .n 2293nnbq（2）由（1）知， ，1nca设数列 的前 项和为 ，nS则 ，23031S 123nn，234n 1由，得 2 1nnn 21133nn1192nn，13n故 .1294nnS18如图，在三棱锥 中， ， ， 底面 ，以PADE42APADE为直径的圆经过点 .AD（1）求证： 平面 ；（2）若 ，过直线 作三棱锥 的截面 交 于点 ，60DEFP且 ，求截面 分三棱锥 所成的两部分的体积之比.45FEF【答案】(1)见解析;(2) .2【解析】试题分析：（1）由题意得 ，再根据因为 底面 ，求得AEDAPDE，即可利用线面垂直的判定定理，证得 平面 .APDE（2）根据题意得 是 的角平分线，得到截面 分三棱锥 所成AFPF的两部分，即可求解两部分的体积比.试题解析：（1）因为以 为直径的圆经过点 ，所以 .因为 底面 ， 平面 ，PDEADE所以 .A又因为 ，所以 平面 .（2）若 ，则 .60DAE1cos6042AD因为 ，又 ，45FPE所以 ，即 是 的角平分线.
