1、Chapter9 目标规划 ( Goal programming ),1.目标规划问题及其数学模型 2.目标规划的图解法 3.目标规划应用举例 4.用管理运筹学软件2.0求解目标规划的注意事项,本章主要内容：,1.目标规划问题及其数学模型,问题的提出：目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。由于现代化企业内专业分工越来越细，组织机构日益复杂，为了统一协调企业各部门围绕一个整体的目标工作，产生了目标管理这种先进的管理技术。目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定
2、目标或从总体上离规定目标的差距为最小。,例1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。,问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最大？,解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：,其最优解为x14，x22，z14元,但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： 力求使利润指标不低于12元； 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比例； C和D为贵重设备，严格禁止超时使用； 设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求充分利用，又尽可能不加班。,要考虑上述多方面的目标，需要
3、借助目标规划的方法。,线性规划模型存在的局限性：1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题中并非所有约束都需要严格满足。2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目标和约束可以相互转化。3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解就可以。,目标规划怎样解决上述线性规划模型建模中的局限性？,1）设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异,偏差变量用下列符号表示：,d+超出目标的偏差，称正偏差变量 d-未达到目标的偏差，称负偏差变量,正负偏差变量两者必有一个
4、为0。当实际值超出目标值时： d+0, d-=0;当实际值未达到目标值时： d+=0, d-0;当实际值同目标值恰好一致时： d+=0, d-=0; 故恒有d+d-=0,2）统一处理目标和约束,对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划中的约束条件。如C和D设备的使用限制。,对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过目标约束来表达。,（1）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为：x1=x2。由于这个比例允许有偏差， 当x1x2时，出现负偏差d-，即： x1+d- =x2或x1x2+d- =0 当x1x2时，出现正偏差d+，即： x1-d+ =x2或x1x
5、2-d+ =0,正负偏差不可能同时出现，故总有： x1x2+d-d+ =0,若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d-0,用目标约束可表为:,若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望d0,用目标约束可表为:,若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d0,也不希望d-0用目标约束可表为:,(3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，目标约束表示为：,(2）力求使利润指标不低于12元，目标约束表示为：,(4)设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，目标约束表示为：,由上可知，目标规划的目标函数只能是minZ = f（ d +，d - ） 其基本形式有三种：（1） 要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽
6、可能地小minZ = f（ d + d - ）（2） 要求不超过目标值，即允许达不到目标值，即正偏差变量要尽可能地小minZ = f（ d +）（3） 要求超过目标值，即超过量不限，但必须是即负偏差变量要尽可能地小minZ = f（ d -）,3)目标的优先级与权系数,在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低可分别通过优先因子P1,P2,表示。对于同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字(权系数可以根据具体情况而定)，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。,现假定：,第1优先级P1企业
7、利润；第2优先级P2甲乙产品的产量保持1:1的比例第3优先级P3设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性比设备B大三倍。,上述目标规划模型可以表示为：,达成函数,目标约束,其中：gk为第k个目标约束的预期目标值， 和 为pl 优先因子对应各目标的权系数。,绝对约束,目标规划数学模型的一般形式,用目标规划求解问题的过程：,明确问题，列出目标的优先级和权系数,构造目标规划模型,求出满意解,满意否？,分析各项目标完成情况,据此制定出决策方案,N,Y,2.目标规划的图解法,适用两个变量的目标规划问题，但其操作简单，原理一目了然。同时，也有助于理解一般目标规划的求解原理和过程。,图解法解题步骤：,
8、1. 将所有约束条件（包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量）的直线方程分别标示于坐标平面上。2. 确定系统约束的可行域。3. 在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向。4. 求满足最高优先等级目标的解5. 转到下一个优先等级的目标，再不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解6. 重复5，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止7. 确定最优解和满意解。,例2 用图解法求解下列目标规划问题,(a),(b),(c),(d ),x2,x1,(e),(f),d1-,d1+,d2+,d2-,d3-,d3+,d4-,d4+,满意解(3,3),0,4,6,8,
9、3,4,6,2,2,x1,x2,(a),(b),d1+,d1-,(c),d2-,d2+,(d),d3-,d3+,G,D,满意解是线段GD上任意点,其中G点X(2,4),D点X(10/3,10/3),0,5.5,10,5,5.6,11,2,4,10/3,10/3,5,10,7,例3,O,x1,x2,20,40,60,50,20,40,60,50,a,b,d1-,d1+,d2-,d2+,c,d,d3-,d3+,d4-,d4+,(24,26),满意解X=(24，26),例4,3.目标规划应用举例,例5 已知一个生产计划的线性规划模型如下，其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。,现有下列
10、目标：1. 要求总利润必须超过 2500 元；2. 考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过 60 件和 100 件；3. 由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。 试建立目标规划模型，并用图解法求解。,解：以产品 A,B 的单件利润比 2.5 :1 为权系数，模型如下：,0,x2,0,x1,14012010080604020,20 40 60 80 100,A,B,C,D,故:C(60 ,58.3)为所求的满意解。,(24,26),例6 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵守以下规定： (1) 不超过年工资总额60000元； (2) 每级的人数不超过定编规定的
11、人数； (3) ，级的升级面尽可能达到现有人数的20%，且无越级提升； (4) 级不足编制的人数可录用新职工，又级的职工中有10%要退休。有关资料汇总于下表中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。,解：设x1、x2、x3分别表示提升到、级和录用到级的新职工人数。对各目标确定的优先因子为： P1不超过年工资总额60000元； P2每级的人数不超过定编规定的人数； P3、级的升级面尽可能达到现有人数的20%。 先分别建立各目标约束。 年工资总额不超过60000元2000(10100.1+x1)+1500(12x1+x2)+1000(15x2+x3)+d1-d1+=60000 每级的人数不超过定编规定
12、的人数： 对级有 10(1 0.1)+x1+d2d2+=12 对级有 12 x1+x2+d3d3+=15 对级有 15 x2+x3+d4 d4+=15 ，级的升级面不大于现有人数的20%，但尽可能多提： 对级有 x1+d5 d5+=120.2 对级有 x2+d6 d6+=150.2目标函数：min z=P1d1+P2(d2+d3+d4+)+P3(d5+d6),以上目标规划可用单纯形法求解，得到多重解。将这些解汇总于下表，单位领导再按具体情况，从中选出执行方案。,例7 已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量和单位运价见下表。有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项目标，并规定其
13、相应的优先等级： P1B4是重点保证单位，必须全部满足其需要； P2A3向B1提供的产量不少于100； P3每个销地的供应量不小于其需要量的80%； P4所定调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10%； P5因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品往B4； P6给B1和B3的供应率要相同； P7力求总运费最省。试求满意的调运方案。,解 上作业法求得最小运费的调运方案见下表。这时得最小运费为2950元，再根据提出的各项目标的要求建立目标规划的模型。,供应约束 x11+x12+x13+x14300 x21+x22+x23+x24200 x31+x32+x33+x34400 需求约束： x11+x
14、21+x31+d1 d1+=200 x12+x22+x32+d2 d2+=100 x13+x23+x33+d3 d3+=450 x14+x24+x34+d4 d4+=250 A3向B1提供的产品量不少于100 x31+d5 d5+=100,每个销地的供应量不小于其需要量的80% x11+x21+x31+d6d6+=2000.8 x12+x22+x32+d7 d7+=1000.8 x13+x23+x33+d8 d8+=4500.8 x14+x24+x34+d9 d9+=2500.8 调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的10%,因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品运往B4 x24+d11d11+=0给B1和B3的供应率要相同 (x11+x21+x31)(200/450)(x13+x23+x33)+d12 d12+=0力求总运费最省目标函数为：,计算结果，得到满意调运方案如下所示：,即：总运费为3360元。,4.用管理运筹学软件2.0求解目标规划的注意事项,输入时要注意：1）决策变量的个数：不包括偏差变量的决策变量的个数2）优先级数：目标函数中共有的优先权等级个数3）目标约束个数： 含偏差变量的约束条件的个数4）绝对约束个数：不含偏差变量的约束条件的个数,
