1、1 广东省深圳市南山区2018届高三数学上学期期末教学质量监测试题 文 注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟 1答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。 2选择题用2B铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上，并将答题卡交回。 参考公式：锥体的体积公式 1 3 V Sh ，其中S为锥体的底面积， h 为锥体的高. 一组数据 1 2 , , , n x x x 的标准差 2 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) n s x x x x x x n ，其中 x 表示这组数据的平均数 第卷（选择题共60分） 一
2、、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1. 集合 0 4 1 / x x x A ， ln 1 B x x ，则 A A B B A B A C A B A D以上都不对 2. 设 i 为虚数单位，则复数 3 4i i = A 4 3i B 4 3i C i D i 3. 若 p 是真命题， q 是假命题，则 A p q 是真命题 B p q 是假命题 C p 是真命题 D q 是真命题 4在 ABC 中，若 1 5, ,sin 4 3 b B A ，则 a A 3 2 5 B 3 3 5 C 3 3 D 5 3 3 5下列函数为偶函
3、数的是 A sin y x B ln y x x C x y e D ln y x 2 6. 函数y=sin(2x+ 3 )cos(x 6 )+cos(2x+ 3 )sin( 6 x)的图象的一条对称轴方程是 Ax= 4 Bx= 2 Cx= Dx= 2 3 7某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们 的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从 丙车间的产品中抽取了3件，则n=. A9B10 C12 D13 8设m、n 是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则以下结论正确的是 A若m，n，则mn B若m，m，
4、则 C若mn，m，则n D若m，则m 9如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为 A 4 3 B 6 1 C 12 11 D 24 25 10设 , x y 满足约束条件 ，则 6 + 4 + x y 的取值范围是 A B C D 11已知F 1 （3，0）、F 2 （3，0）是椭圆 n y m x 2 2 =1的两个焦点，P是椭圆上的点，当F 1 PF 2 = 3 2 时，F 1 PF 2 的面积最大，则有 Am=12，n=3 Bm=24，n=6 Cm=6，n= 2 3 Dm=12，n=6 12设函数 ( ) f x 的定义域为 D ，若满足条件：存在 , a b D ，使 ( ) f
5、x 在 , a b 上的值域为 , 2 2 a b ，则称 ( ) f x 为“倍缩函数”若函数 ( ) ln f x x t 为“倍缩函数”，则实数 t 的取值 2 0 2 3 0 0 x y x y x y 3 3, 7 3,1 4,1 ( , 3 1, ) 3 范围是 A（，ln21） B（，ln21 C（1ln2，+） D1ln2，+） 第卷（非选择题共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22第23题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。 13已知向量 (1,2), (1,0), (4, 3) a b
6、 c 若 为实数， ( ) a b c ，则 = 14若 3 2 1 3 f x x ax x 在 , 不是单调函数，则 a 的范围是 15如图所示，三个直角三角形是一个体积为20cm 3 的 几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积 （单位：cm 2 ）等于 16已知函数 sin cos sin f x x x x ， x R ，则 ) (x f 的最小值是 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17（本小题满分12分） 已知等比数列 n a 的各项为正数，且 2 3 2 6 3 2 9 , 2 9 a a a a a . （1）求 n a 的通项公式； （2）设 3 1 3
7、2 3 log log . log n n b a a a ，求证数列 1 n b 的前 n 项和 n S 2 18（本小题满分12分） 2017年 6月深圳地铁总公司对深圳地铁1号线30个站的工作人员的服务态度进行了满意度调 查，其中世界之窗、白石洲、高新园、深大、桃园、大新6个站的得分情况如下： 地铁站 世界之窗 白石州 高新园 深大 桃园 大新 满意度得分 70 76 72 70 72 x 已知6个站的平均得分为75分. 1 , 3 , 54 （1）求大新站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差； （2）从表中前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率
8、 19（本小题满分12分） 如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这 两个三角形所在的平面互相垂直， 90 CBD BAC ， AB AC ， 30 BCD ，BC=6. （1）证明：平面ADC平面ADB； （2）求B到平面ADC的距离. 20. （本小题满分12分） 如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O， 且 0 BC AC ，|BC|2|AC| （1）求椭圆E的方程； （2）在椭圆E上是否存点Q，使得 2 2 2 |QB| |QA| ？ 若存在，有几个（不必求出Q点的坐标），若不存在，请说明理由 （3）过椭圆E上异于其顶点
9、的任一点P，作 2 2 4 3 O:x y A 的两条切线， 切点分别为M、N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明： 2 2 1 1 3m n 为定 值 21（本小题满分12分） 设 (4 )ln ( ) 3 1 x a x f x x ，曲线 ( ) y f x 在点 (1, (1) f 处的切线与直线 1 0 x y 垂直 （1）求 a 的值； （2）若对于任意的 1, ), ( ) ( 1) x f x m x 恒成立，求 m 的取值范围 22（本小题满分10分）选修4-4，坐标系与参数方程 C B D A5 已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为 4 16 2 2
10、x y =1，以O为极点，x轴的非负半轴为 极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 3 3 （1）求直线 l 的直角坐标方程； （2）设M（x，y）为椭圆C上任意一点，求| 3 2 x+y1|的最大值 23本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数 ( ) | |, f x x a a R （1）当 2 a 时，解不等式： ( ) 6 |2 5| f x x ； （2）若关于x的不等式f（x）4的解集为1，7，且两正数s和t满足 2s t a ，求证： 6 8 1 t s 6 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 C A D A D C 7 8
11、9 10 11 12 D C C D A C 12解：函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”， 且满足存在a，bD，使 f（x）在a，b上的值域是 ， ， f（x）在a，b上是增函数； ， 即 在（0，+）上有两根， 即y=t和g（x）= lnx在（0，+）有2个交点， g（x）= = ， 令g（x）0，解得：x2， 令g（x）0，解得：0x2， 故g（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增， 故g（x）g（2）=1ln2， 故t1ln2，故选C： 二、填空题 13. 2 1 ； 14. , 1 1 , 15. 77 16. 2 2 2 1 17. 解：（1）设数列N的公比为q， 9a 3 2
12、 =a 2 a 6 ，即9a 2 2 q 2 =a 2 a 2 q 4 ，解得q 2 =9 又q0，则 q=3，.2分 a 3 =2a 2 +9，即9a 1 =6a 1 +9，解得a 1 =3，4分 5分 （2）a 1 a 2 a n =3 1+2+3+n =3 ，6分7 C B D A b n =log 3 a 1 +log 3 a 2 +log 3 a n =log 3 （a 1 a 2 a n ）= ，8分 9分 212分 18. 解：（1）由题意，得 1 (70 76 72 70 72 ) 75 6 x ，解得 90 x . （2分） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 6 1
13、 1 ( ) ( ) ( ) (5 1 3 5 3 15 ) 7 6 6 s x x x x x x （5分） （2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有 （世界之窗，白石洲），（世界之窗，高新园）， （世界之窗，深大），（世界之窗，桃园），（白石洲，高新园），（白石洲，深大），（白石洲， 桃园），（高新园，深大），（高新园，桃园），（深大，桃园）共10种， （8分） 这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有白石洲. 设A表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则 A中的基本事件有4种， （10分） 则 4 2 ( ) 10 5 P A
14、 （12分） 19（本小题满分14分） （1）证明：因为 , , , ABC BCD BD BC ABC BCD BC BD BCD 面面面面面 ， 所以 BD ABC 面 . （2分） 又 AC ABC 面 ，所以 BD AC . （3分） 又 AB AC ，且 BD AB B ， 所以 AC ADB 面 . （4分） 又 AC ADC 面 ，所以 ADC ADB 面面 .（5分） （2）在 Rt BCD 中， 0 6, 30 BC BCD ，得 0 tan30 2 3 BD BC ， （6分） 在等腰 Rt ABC 中， 6 BC ，得 3 2 AB AC . （7分） 由（1）知 BD
15、ABC 面 ，所以 BD AB ， （8分） 在 ABD Rt 中， 2 3 AB ， 3 2 DB ，得 30 2 2 DB AB AD ，（9分）8 又 AC ADB 面 ，设 B 到面 ADC 的距离为 h ， 由 C ABD B ACD V V ， （10分） 得 1 1 1 1 ( ) ( ) 3 2 3 2 AB BD AC AC AD h ， （11分） 解得 6 5 5 h ，即B到平面 ADC的距离 5 5 6 . （12分） 20. 解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长 2 a ，则A(2，0)， 设椭圆E的方程为 1 4 2 2 2 b y x -1 分 由椭圆的对称性知|
16、OC|OB| 又 0 BC AC ，|BC|2|AC| ACBC，|OC|AC| AOC为等腰直角三角形， 点C的坐标为(1，1)，点B的坐标为(1，1)，-3分 将C的坐标(1，1)代入椭圆方程得 3 4 2 b所求的椭圆E的方程为 1 4 3 4 2 2 y x -4分 （2）解法一：设在椭圆E上存在点Q，使得 2 2 2 |QB| |QA| ，设 0 0 Q(x ,y ) ，则 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 6 2 2 2 |QB| |QA| x y x y x y . 即点Q在直线 3 2 0 x y 上，- -6分 点Q即直线 3 2 0 x y 与椭圆
17、E的交点， 直线 3 2 0 x y 过点 2 0 3 ( , ) ，而点椭圆 2 0 3 ( , ) 在椭圆E的内部， 满足条件的点Q存在，且有两个-8 分 【解法二：设在椭圆E上存在点Q，使得 2 2 2 |QB| |QA| ，设 0 0 Q(x ,y ) ，则 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 2 6 2 2 2 |QB| |QA| x y x y x y . 即 0 0 3 2 0 x y ，-6 分 又点Q在椭圆E上， 2 2 0 0 3 4 0 x y ，- 由式得 0 0 2 3 y x 代入式并整理得： 2 0 0 7 9 2 0 x x ，-9 方程的根
18、判别式 81 56 25 0 ， 方程有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个-8分】 （3）解法一：设点 1 1 P(x ,y ) ，由M、N是 O A 的切点知， OM MP,ON NP , O、M、P、N四点在同一圆上，-9分 且圆的直径为OP,则圆心为 1 1 2 2 x y ( , ) ， 其方程为 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 4 x y x y (x ) ( y ) ，-10分 即 2 2 1 1 0 x y x x y y - 即点M、N满足方程，又点M、N都在 O A 上， M、N坐标也满足方程 2 2 4 3 O:x y A - -得直线MN的方程为
19、1 1 4 3 x x y y ，-11分 令 0 y , 得 1 4 3 m x ，令 0 x 得 1 4 3 n y ， 1 1 4 4 3 3 x ,y m n ，又点P在椭圆E上， 2 2 4 4 3 4 3 3 ( ) ( ) m n ，即 2 2 1 1 3 3 4 m n =定值.-12分 【解法二：设点 1 1 2 2 3 3 P(x ,y ),M(x ,y ),N(x ,y ), 则 2 2 1 PM OM x k , k y -9分 直线PM的方程为 2 2 2 2 x y y (x x ), y 化简得 2 2 4 3 x x y y , - 同理可得直线PN的方程为 3
20、 3 4 3 x x y y , -10分 把P点的坐标代入、得 1 2 1 2 1 3 1 3 4 3 4 3 x x y y x x y y 直线MN的方程为 1 1 4 3 x x y y ，- 11分10 令 0 y , 得 1 4 3 m x ，令 0 x 得 1 4 3 n y ， 1 1 4 4 3 3 x ,y m n ，又点P在椭圆E上， 2 2 4 4 3 4 3 3 ( ) ( ) m n ，即 2 2 1 1 3 3 4 m n =定值- -12分】 21. 解：（1）f（x）= .1分 由题设f（1）=1， ， a=0.3分 （2） ，x1，+），f（x）m（x1），
21、 即4lnxm（3x 2）.4分 设g（x）=4lnxm（3x 2），即x1，|+），g（x）0， g（x）= m（3+ ）= ，g（1）=44m .6分 若m0，g（x）0，g（x）g（1）=0， 这与题设g（x）0矛盾.7分 若m（0，1），当x（1， ），g（x）0，g（x）单调递增，g（x） g（1）=0，与题设矛盾.9分 若m1，当x（1，+），），g（x）0，g（x）单调递减，g（x）g（1）=0，即不 等式成立 .11分 综上所述，m1.12分 22.解：（1）根据题意，椭圆C的方程为 + =1， 则其参数方程为 ，（为参数）；.1分11 直线l的极坐标方程为sin（+ ）=3，
22、变形可得sincos +cossin =3，即 sin+ cos=3，.3分 将x=cos，y=sin代入可得 x+y6=0， 即直线l的普通方程为 x+y6=0；.5分 （2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cos，4sin），.6分 |2 x+y1|=|4 cos+4sin1|=|8sin（+ ）1|，.8分 分析可得，当sin（+ ）=1时，|2 x+y1|取得最大值9.10分 23.解：当a=2时，不等式：f（x）6|2x5|，可化为|x2|+|2x5|6.1分 x2.5时，不等式可化为x2+2x56，x ；.2分 2x2.5，不等式可化为x2+52x6，x；.3 分 x2，不等式可化为2x+52x6，x ，.4分 综上所述，不等式的解集为（ ；.5分 （）证明：不等式f（x）4的解集为a4，a+4=1，7，a=3，.7分 = （ ）（2s+t）= （10+ + ）6，当且仅当s= ，t=2时取等 号.10分
