1、1高一数学同步练习必修 4 第一章三角函数的图象及性质一、 三角函数的图象与性质A.基础梳理1 “五点法”描图(1)ysin x 的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,0)， ，(，0)， ，(2 ，0) (2，1) (32， 1)(2)ycos x 的图象在0,2上的五个关键点的坐标为(0,1)， ，(，1)， ，(2 ，1) (2，0) (32，0)2三角函数的图象和性质函数性质 ysin x ycos x ytan x定义域 R R x|xk ，k Z2图象值域 1,1 1,1 R对称性对称轴： xk (kZ )2对称中心：(k，0)( kZ)对称轴：xk(k Z )对称中心：(k
2、2，0k Z)无对称轴对称中心： (kZ )(k2，0)周期 2 2 单调性单调增区间Error!，2kError!(kZ )；单调减区间Error!，2k Error!(kZ)单调增区间2k，2k (kZ)；单调减区间2k，2k(kZ)单调增区间Error!，k Error!(kZ)2奇偶性 奇 偶 奇B.方法与要点1、两条性质(1)周期性函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为 ，y tan(x)的最小正周期为 .2| |(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x，而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式2、三种方法求三角函数值域(最值)
3、的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；(2)形式复杂的函数应化为 yAsin(x )k 的形式逐步分析 x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把 sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题C.双基自测1函数 ycos ，x R( ) (x 3)A是奇函数 B是偶函数C既不是奇函数也不是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2函数 ytan 的定义域为( ) (4 x)A.Error! B.Error!C.Error! D.Error! 3已知 k4，则函数 的最小值是( )1(coscos2xkxy(A) 1 (B) 1 (
4、C) 2k1 (D) 2k14ysin 的图象的一个对称中心是( ) (x 4)A(，0) B. C. D.( 34，0) (32，0) (2，0)5函数 f(x)cos 的最小正周期为_(2x 6)D.考点解析考点一 三角函数的定义域与值域【例 11】(1)求函数 ylg sin 2x 的定义域 9 x2(2)求函数 ycos 2xsin x 的最大(|x| 4) 值与最小值3(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值 )常见到以下几种类型的题目： ，设 化为一次函数 在闭区间 上的最值求之；sinyaxbsintx
5、yatb1,t形如 yasin xbcos x c 的三角函数化为 yAsin(x )k 的形式，再求最值(值域) ；形如 yasin 2xbsin x c 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) ；形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值) 【训练 1】 （1）求函数 y 的定义域sin x cos x（2） （辽宁卷）已知函数 ,则 的值域是11()sinco)sinco22fxxx()f(A) (B) (C) (D) 1,2,(3) （广东卷）当 时,函数
6、 的最小值是 ( )04x2cos()inixfxA. 4 B. C.2 D. 1214考点二 三角函数的奇偶性与周期性【例 21】判断下列函数的奇偶性及周期性，若具有周期性，则求出其周期.（1） （2） （3） （4）xfsin)(xfsin)(xxfcoslg)(2 )2sin(3)(xf求三角函数的最小正周期的一般方法：先化为 ，在由公式 求之；)sin(xAy2T由周期函数的定义： 求得)(xff 一般地， 或 的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半)si(xycosy4【例 22】设 有 函 数 和 ， 若 它 们 的 最 小 正 周3sinkxaf tan,03xbkx期 的 和
7、为 ， 且 ， ， 求 和 的 解 析 式 。32f 14f fx【例 23】已知函数 12()logsin()4fxx（1）求它的定义域，值域；（2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性【训练 2】1、定义在 R 上的函数 既是偶函数又是周期函数，若 的最小正周期是 ，且当 时，)(xf )(xf2,0x，则 的值为 xfsin)(35A. B. C. D. 21232、函数 的最小正周期是 sinxyA B C 2 D 43、函数 的部分图象是xcos4、给定性质：最小正周期为 ，图象关于直线 对称，则下列四个函数中，同时具有性质3x的是 （ ）A B C D
8、)62sin(xy )62sin(y|sinxy )62sin(xyx x x xO O O Oy y y yA B C D5考点三 三角函数的单调性【例 31】已知 ， 求 的单调递增区间)2sin()(xxf ,0)(xf【例 32】(2011 年高考安徽卷理科 9)已知函数 ，其中 为实数，若()sin2)fx对 恒成立，且 ，则 的单调递增区间是()6fxfxR()2fff（A） （B）,()3kkZ,()2kkZ（C） （D） 来源:2,()6,()（1）求三角函数的单调区间的一般方法是：首先化为 ；再解不等式：)sin(xAy（增函数区间）或 （减函数区间） （也可22kxk 23
9、2kxk先解 （增）或 ，然后再在区间端点前面加上周期的 倍）3x k（2）如果题目中还限制了自变量 的取值范围，还应在规定范围下求单调区间的子区间。【训练 3】1、 的单调减区间是（ ）sinyxA B5,6kk 52,6kkC D7, 7,2662、 （2011 年全国新课标卷）设函数 的最小正周期为 ，且)2,0)4sin(2)( （xxf ，则)(xffA. 在 单调递减 B. 在 单调递减f2,0)(xf43,C. 在 单调递增 D. 在 单调递增)(xf, )(f,考点四 三角函数的对称性【例 41】 (1)函数 ycos 图象的对称轴方程可能是( ) (2x 3)Ax Bx Cx
10、 Dx6 12 6 12(2)若 0 ，g(x )sin 是偶函数，则 的值为 _2 (2x 4 )（3） （全国卷文）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为3cos(2)yx4(,0)3(A) (B) (C) (D) 642【例 42】已知函数 ，若 ，则 与 的大小关系)2sin(3)(xxf 3)(af )65(af)12(af是A、 B、 0, - ）的图像如图所示，则 =_ .4、 （辽宁卷理）已知函数 =Acos( )()fx的图象如图所示， ，则 =23(0f（A） (B) (C) (D) 21 世纪教育网 2312考点二 函数 yAsin(x)的图象变换题型 1：给
11、定原函数 和变换过程求变换后的函数(xf【例 21】（1） （2009 全国卷理）若将函数 的图像向右平移 个单位长tan04yx6度后，与函数 的图像重合，则 的最小值为tan6yxA B. C. D. 16141312y1o-1243x12【例 21】（2）函数 y=cosx 的图象向左平移 个单位，横坐标缩小到原来的 ，纵坐标扩大到原来的3123 倍，所得的函数图象解析式为 ( ) (A) y=3cos( x+ ) (B) y=3cos(2x+ ) (C) y=3cos(2x+ ) (D) y= cos( x+ )123 336（3）若改为：“把函数 y=cosx 的图象先横坐标缩小到原
12、来的 ，再向左平移 个单位”其他不变呢？1给定原函数 和变换过程求变换后的函数时，)(xf左右平移变换：用 替换 ，得 ，其中，左移用“” ，右移用“” ；b)(bxf横坐标伸缩变换：用 替换 ，得 ；xaa纵坐标伸缩变换（即振幅变换）： ；)()(xAff注意先后顺序：若先平移再左右伸缩，则 ；)(bxfb 左 右 平 移 a左 右 伸 缩 )1(bxf若先左右伸缩再平移，则 baxf 左 右 平 移左 右 伸 缩 1)( 振幅变换无需考虑顺序（但须看其最大值与最小值是否关于 x 轴对称）【训练 21】（1）(2012 年高考浙江卷理科 4)把函数 ycos2x1 的图像上所有点的横坐标伸长
13、到原来的 2 倍(纵坐标不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图像是（2）先将函数 yf（x）的图象向右移 个单位，再将所得的图象作关于直线 x 的对称变换，得到64的函数图象，则 f（x）的解析式)3sin(y 是（ ）13A、 B、)32sin(xy )32sin(xyC、 D、 （3）把函数 y = sin(2x+ )的图象向右平移 个单位, 再将横坐标缩小为原来的 , 则其解析式为 .4821题型 2：给定变换前后函数求变换过程【例 22】（1） 其图象可以由 y=sinx 的图象经过怎样的变换得到?)23sin()xxf【例 22】（2） （天津卷）
14、要得到函数 的图象，只需将函数 的图象xycos )42sin(xy上所有的点的（C）(A)横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ,再向左平行移动 个单位长度218(B)横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度4(C)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动 个单位长度(D)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动 个单位长度8给定变换前后函数求变换过程，一般用待定系数法，即设左右平移了 个单位及横坐标伸长或b缩短到原来的 倍（1）若仅有初相位 不同而 相同，则只作平移变化；例如：把 经过怎样的变化得到 )32sin(xy的图象？解
15、：设左右平移了 ，则函数变为)42sin(xy b )32(sin bxb ， ，解得 ，向右平移 )42sin(3xb4324747（2）若仅有频率 不同而初相位 相同；则只作周期变化。例如：把 经过怎样的变化 )3si(y得到 的图象？解：设横坐标伸长或缩短到原来的 倍， 由 变为 ，)sin(xy a1a2 ，由 解得 ，横坐标缩短到原来的 倍)32i(31a（ 21a414（3）若频率 和初相位 均不同，例如：把 经过怎样的变化得到 的图)3sin(xy )sin(xy象？则又分两种情况：若先平移再伸缩，则先设平移了 ，得b14，由 解得 ；然后在设伸缩到原来的 倍，)43(sin4)
16、(3sin bxbxy 43b6ba由 解得 ；21a结论：先向左平移 ，然后横坐标在伸长到原来的 倍。62若先伸缩再平移，则先设伸缩到原来的 倍，由 解得 ，函数式变为 ；a133a)42sin(xy然后再设平移了 ，函数式变为 ，由 解得b )4(sin4)(2sin bxbxy b，4b结论：先横坐标在伸长到原来的 倍，然后向左平移 。23（4）若所给的原函数与变化后的新函数不是同名函数；则需用诱导公式先化为同名函数：，或)cos()sin(xx )2sin()cos(xx（5）仔细审题，分清楚那个是原函数，那个是变化后的函数。【训练 22】（1）要得到函数 的图象，只要将函数 y=si
17、n2x 的图象（ ）A、向左平移 个单位 B、向右平移 个单位 C、向左平移 个单位 D、向右平移 个单位2）将 的图象变为 ，其变换方法是_)32sin(xy )3sin(xy（3）已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数()si)(,0)4fxR的图象，只要将 的图象 ()cosgxyfA向左平移 个单位长度 B 向右平移 个单位长度 88C向左平移 个单位长度 D 向右平移 个单位长度 4 4（4）有下列四种变换方式:向左平移 ，再将横坐标变为原来的 ；横坐标变为原来的 ，再向左平移 ；21218横坐标变为原来的 ，再向左平移 ； 向左平移 ，再将横坐标变为原来的 ；214821其中能将
18、正弦曲线 的图像变为 的图像的是（ ） xysin)4sin(xyA和 B和 C 和 D 和15（5、 ）写出函数 y=4sin2x (x R)的图像可以由函数 y=cosx 通过怎样的变换而得到.( 至少写出两个顺序不同的变换)考点三 三角函数模型的简单应用【例 3】一个大风车的半径为 8 米，12 分钟旋转一周，它的最低点离地面 2 米，求风车翼片的一个端点离地面距离 h(米) 与时间t(分钟)之间的函数关系式 .【训练 3】设 是某港口水的深度关于时间 t(时)的函数，其中 ,下表是该港口某一天从 0 至 24 时记()yft 024t录的时间 t 与水深 y 的关系.t 0 3 6 9
19、 12 15 18 21 24y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数 的图象可以近似地看成函数 的图象.()ftsin()ykAt根据上述数据，函数 的解析式为（ ）A B123sin,0246ty123si(),0246tyC Dt nt自我检测题一，选择题1、 （A0，0）在 x=1 处取最大值，则（ ） )sin()(xxf2m8mhP16A 一定是奇函数 B 一定是偶函数 )1(xf )1(xfC 一定是奇函数 D 一定是偶函2、函数 y=tg（ ）在一个周期内的图象（ ）A、 B、 C、 D、3、 （2005 福建卷理）函
20、数 的部分图象如图，则 )20,)(sinRxyA B4,26,3C D 454、函数 的部分图象如图所示，则)0,)(sin)( Axxf的值是（ ）121ffA、0 B、1 C、22 D、2225、函数 ，给出下列三个命题：()2sin()4fxx函数 在区间 上是减函数；直线 是函数 的图象的一条对称；5,88x()fx函数 的图象可以由函数 的图象向左平移 而得到。()fx2siny4其中正确的是 （ ）A B C D6、函数 sin()(0,|,)2yxkAxR的部分图象如图所示， ，则函数表达式为（ ） xyO1321317A. 2sin()136yx B. C. si()yx D
21、. 2n1637、 （江苏卷江苏卷）为了得到函数 的图像，只需把函数 的图像上所Rxy),63sin(2 Rxy,sin2有的点（A）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）6 31（B）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）（C）向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）6（D）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）（D）向右平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 3 倍（纵坐标不变）68、 （2009 浙江理）已知 是实数，则函数 的图象不可
22、能是 ( )a()1sinfxax9函数 在区间 内的图象是 tansitansiyxx3(,)2xo32A2- xBo32y-xo32yC- xo32yD-1810、02 年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 ,大正方形的面积为 1,小正方形的面积是 ,则 sin2-cos2 的值是 ( ) 15(A) 1 (B) (C) (D) -475725二填空题11、.函数 y=cos(sinx)的奇偶性是 ；最小正周期是_12、已知函数 y= f(x)的定义域是0, ，则函数 y=f(sin2x) 的定义域.是_1413、对
23、于下列四个命题： ； ；0sin8sicoss5417 ； 。其中正确命题的序号是_tant1384ta0414、已知函数 f(x)sin (0)的单调递增区间为 (kZ)，单调递减区间为(x 3) k 512，k 12(kZ)，则 的值为_k 12，k 71215、曲线 和直线 在 轴右侧有无数个交点，把交点的横坐标从小到大依次记为sinyx12y则 等于_12,x3三、解答题16、已知函数 （其中 ）的图象与 轴的交点中，相邻()sin(),fxAxR0,2Ax两个交点之间的距离为 ，且图象上一个最低点为22()3M（1）求 的解析式；（2）当 时，求 的值域.()fx,12xfx1917
24、、函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数 f(x)= xxsin1si的性质，并在此基础上，作出其在 上 的 图 象 。,（提示： ）2con18、已知 ，是否存在常数 ，使得 f（x）的值域为43,2)6sin(2)( xbaxaxf Qba,？若存在，求出 a、b 的值；若不存在，说明理由。13,19、已知定义在区间 上的函数 的图象关于直线 对称，2,3()yfx6x当 时，函数 ，2,63x )2,0,sin()( Axf其图象如图 3 所示 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j （1）求函数 在 的表达式；)(f3,（2）求方程 的解 2x xyo 16x32
