1、2018 届四川省高三春季诊断性测试数学（理）试题一、单选题1已知集合 ，集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 , , 所以 ，故选 A. 2若向量 与向量 共线，则 （ ）A. 0 B. 4 C. D. 【答案】D【解析】因为 与向量 共线，所以 ，解得 ，故选 D.3若虚部大于 0 的复数 满足方程 ，则复数 的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知： ，故 ，所以共轭复数为 故选 B4某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的圆的半径为 2，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个
2、正方体挖去一个圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为 8，圆柱的底面半径为 2，高为 6，则该几何体的体积为： .本题选择 C 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解5设 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）A. 9 B. 8 C. 3 D. 4【答案】A【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点 处取得最大值，其最大值为 .本题选择 A 选项.6若 ， ，则 的
3、值构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 知， ，即 ，当时， ，所以 ，从而 ，当 时，所以 ，因此选 C. 7执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A. 2 B. 1 C. 0 D. -1【答案】B【解析】第一次执行性程序后， ，第二次执行程序后 ，第三次执行程序后 ，满足条件 ，跳出循环，输出 ，故选 B. 8 的展开式中不含 项的各项系数之和为（ ）A. 485 B. 539 C. -485 D. -539【答案】C【解析】根据二项式定理可得： 令 ，故 项的系数为-27，而各项系数和为：令 x=1,系数和为-512，故不含 项的各项系数之和为-512-（-2
4、7）=-485 故选 C9已知函数 为偶函数，当 时， ，设 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题得：因为 在定义域为增函数， 在 R 上为增函数，故 f（x）在 为增函数，函数 为偶函数，又 ；，故 - ,所以 故选 A10过双曲线 的左焦点 作圆 的切线，此切线与 的左支、右支分别交于 ， 两点，则线段 的中点到 轴的距离为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】因为直线过双曲线左焦点，设直线为 ，因为与圆相切知，解得 ，当 时不与双曲线右支相交 ，故舍去，所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得 ，所以 ，即中点的纵坐标为3，所以线段 的中点到
5、 轴的距离为 3，故选 B.11将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象.若 在 上单调递减，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题可知 ，又 在 上单调递减，所以 ，得： ，故得 的取值范围为故选 D12已知直线 是曲线 与曲线 的一条公切线， 与曲线lxye2xyel切于点 ，且 是函数 的零点，则 的解析式可能为（ ）2xye,abffxA. B. 2ln1f2ln12xeC. D. 2xef【答案】B【解析】根据题意可知： 与曲线 切于点 ，故切线方程为： l2xye,ab，又直线 是曲线 与曲线 的一条公切线，22aayex2xye设 的切点为（
6、 ） ，所以 整理得： x,te22tataet，又 是函数 的零点，所以 的解析式可能为2ln120aefxfx，故选 B2ln12xfe点睛：节本题关键为对切线方程的求法的熟悉，根据切线方程斜率和切点可以列出两个等式，然后消掉 t 得到关于 a 方程从而确定 f（x）的表达式二、填空题13我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有 7488 人，南面有6912 人，这三面要征调 300 人，而北面共征调 108 人（用分层抽样的方法）
7、，则北面共有_人 ”【答案】8100【解析】因为共抽调 300 人，北面抽掉了 108 人，所以西面和南面共 14400 人中抽出了 192 人，所以抽样比为 ，所以北面共有 人，故填 8100.14若椭圆 上一点到两个焦点的距离之和为 ，则此椭圆的离心率为_【答案】【解析】当 时，由椭圆定义知 ，解得 ，不符合题意，当 时，由椭圆定义知 ，解得 ，所以 ，故填 . 点睛：本题由于不知道椭圆的焦点位置，因此必须进行分类讨论，分析椭圆中 的取值，从而确定 c,计算椭圆的离心率.15在 中， ， ，且 ，则 边上的高为_【答案】【解析】由题可知：根据正弦定理可得 ，由 可得 AC=6,由余弦定理：
8、，设 AB 边上的高为 h，由等面积法可得：故 边上的高为16在底面是正方形的四棱锥 中， 底面 ，点 为棱 的中点，点 在棱 上，平面 与 交于点 ， 且 ， ，则四棱锥 的外接球的表面积为_【答案】【解析】如图： ,建立以 AB 为 x 轴，AD 为y 轴，PA 为 z 轴的空间直角坐标系，则 ，因为 E.F.K.C四点共面，所以 ,故四棱锥 K-ABCD 的外接球球心在过正方形ABCD 的中心且垂直 ABCD 与 KA 成都相等的线段的中点处，故外接球半径为：故四棱锥 的外接球的表面积为点睛：本题关键是要找到 K 的位置，可根据四点共面的向量结论来求得 K 的位置从而可以确定四棱锥的外接
9、球球心的位置，进而得出半径求出表面积三、解答题17设 为数列 的前 项和，已知 ， .（1）证明： 为等比数列；（2）求 .【答案】(1)见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）由递推关系式构造 ，从而证明数列是等比数列；（2）根据等比数列的前 n 项和公式计算即可.试题解析：（1）证明： ， ， ， ， ，则 ， 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.（2）解：由（1）知， ，则 . .18根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量 （单位： ）对工期的影响如下表：根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前 20 天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示.（1）根据
10、降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数 的频率；（2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数 的分布列及数学期望与方差.【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据折线图可知： 的天数为 10，的天数为 6， 的天数为 2，根据频率计算公式即得结论（2）直接由（1）可得分布列，然后根据期望和方差公式求解即可解析：（1） 的天数为 10， 的频率为 . 的天数为 6， 的频率为 . 的天数为 2， 的频率为 .（2） 的分布列为.点睛：频率=频数除以总数，首先要知道这三者之间的关系，然后根据分布列期望和方差公式求解即可19如图，在直三棱柱 中， ， 为棱 的中点， .（
11、1）证明： 平面 ；（2）设二面角 的正切值为 ， ， 为线段 上一点，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .【答案】 （1）见解析；（2） 或 .【解析】试题分析：（1）证明线面平行只需在面内找一线与已知线平行即可，通常构建三角形中位线或者平行四边形，根据题意我们可以取 的中点 ，连接 ，侧面为平行四边形， 为 的中点， ，又 ， ，四边形 为平行四边形，则 .进而得出结论（2）先求出二面角 ，过 作 于 ，连接 ，则 即为二面角 的平面角.然后建立空间直角坐标系求出面 ABD 的法向量和斜线 CE 的坐标，根据向量夹角公式得出等式即可求解.解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 ，侧面 为平
12、行四边形， 为 的中点， ，又 ， ，四边形 为平行四边形，则 . 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）解：过 作 于 ，连接 ，则 即为二面角 的平面角. ， ， .又 ， ， .以 为原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示，则 ， ， ，则 ， ，设平面 的法向量 ，则 ，即 ，令 ，得 .设 ， ， ， 与平面 所成角的正弦值为 ， ， 或 ，即 或 .20已知函数 .（1）讨论函数 的单调性；（2）若 对 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；（2） 的取值范围为 .【解析】试题分析：（1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据
13、题意 ，根据 a 的不同取值逐一讨论导函数符号即可（2）若 对 恒成立，显然需要转化为最值问题，设，则 ，当 时， ，或 ，则 ， 在 上递增，从而 .若 ，令 ，当 时， ；当 时， . 综合得出结论即可解析：（1） ，当 时， ， 在 上单调递增.当 时， ，故当 或 时， 在 上单调递增.当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 . 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.（2）设 ，则 ，当 时， ，或 ， ，则 ， 在 上递增，从而 .此时， 在 上恒成立.若 ，令 ，当 时， ；当 时， . ，则 不合题意.故 的取值范围为 .点睛：单调性问题的解题关键是要学会对不等式解法含参的讨论，注意讨论的完整性，另外对于恒成立问题，通常是转化为最值问题求解，分析函数单调性求出最值解不等式即可
