1、 1徐芝纶弹性力学(第三版)习题解答 尹久仁 2005 湘潭大学 第二章 2-1如果某一问题中，0zzxzy =，只存在平面应力分量,x yxy ，且它们不沿方向变化，仅为z,xy的函数，试考虑此问题是否就是平面应力问题？ 解 由于平面问题具有相同的平衡微分方程和几何方程，现将0zzxzy = =代入下列方程 1( )1( )1( )111,xxyzyyzxzzxyyz yz zx zx xy xyEEEGGG2 =+=+=+ =则有 1()1()1x xyyyxxy xyEEG =0z这正是平面应力的广义虎克定律。同时，在平面应力问题中， =，当沿方向的应变并不为零，而有 z().zxyE=
2、 +0zzxzy2-2 如果某一问题中， =，只存在平面应变分量,x yxy ，且它们不沿z方向变化，仅为,x y的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？ 解 由于平面问题具有相同的平衡微分方程和几何方程，现将0zzxzy = =代入下列方程 1( )1( )1( )111,xxyzyyzxzzxyyz yz zx zx xy xyEEEGGG =+=+=+ =则有 1(1(10 ( )1xxyyyzzxyyz yzEEEG)zx =+=+=+ =也就是 32211111x xyyyxyz yzEEG = =0z这正是平面应变的广义虎克定律。同时，在平面应变问题中， =，当沿方向的应力并不为
3、零，且有 z().zxy = + 2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。 解：设薄层的厚度为，由于方向不受力，即 z0zzxzy = 若薄层足够小，则可认为在其厚度范围内上述三应力保持与表面一致，考虑上述近似，则有 11211201120, 0,2(1 ) 2(1 ) 2(1 )xxyyzzyz yz zx zx xy xyEEEEEE =+ + =+=+=+=+xzoy其中x yz =+为体积应变，改写之，则有 111xxyyyxxy xyEEG=可见在范围内为平面应力状态。 2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不
4、受切向面力作用的等厚度薄板中，如图示，当板边上只受,x y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态接近于平面应变的情况。 yzox解： 由图知，两个刚性平面与弹性薄板为光滑接触，所以在薄板板面上有 2220, 0zzxzyzt ztzt= = (a) 由于板很薄，周边压力又不沿厚度方向变化，也就是说板不会产生弯曲，可以认为在整个弹性薄板的所有各点除有与板面相同的应力分量 0, 0zzxzy = (b) 此外，还有,x yxy 它们仅是,x y的函数，与无关。注意剪应力的互等性，所以z0, 0xz yz =。 又因为两个固定的刚性平而只阻止周边受压弹性薄板的膨胀，即只阻止板内点在方向的移动所
5、以位移分量，因而应变分量z0w= 0z =。再由各向同性体的广义虎克定律 ()()4()221011111111 1,0,0zzxyxxyz x yyyzx y xxy xy zx zx yz yzEEEGG G =+=+= =+= =(c) 可见，,x yyz 仅是x和的函数，且y 0zzxzy =。可见符合平面应变问题的两个判别条件，所以问题得证。同时，由式(c)还得到平面应变问题的物理方程 ()221111211xxyyyxyz yz yzEEGE = =+=2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？ 0cm =xyxyy
6、xxyoCdyyyy+dxxxx+XYdyxyxyy+dxyxyxx+P解：若选取图示点为矩心，并设单元体厚度为P1 =，则 dd 0, d d d d d d22dd d dd dd d d d dd dd 022 2 2xyxPy xy xyx yyx y xmx xyx yxxxy y xyxy yx y Xxy Yxyyy =+ + + + =化简后两边同时除以ddx y，忽略二阶以上的微量，则有 yxxy = 2-6 在图2-3的微分体中，若考虑每一面上的应力分量不是均匀分布的，试问将导出什么形式的平衡微分方程？ 提示：当考虑至二阶微量的条件下，上两题都将得出相同于式(2-1)和式(
7、2-2)的平衡条件。 解：所谓单元体各面上应力分量不是均匀分布，即应力分量是随,xy逐点变化的，PA点处的应力是不同的，应力是一个函数,BD(, )f xy。设此函数在点,P Px xy y= =处的值为(, )P Pf xy或Pf，则把(d, dPP)f xxyy+展开为Taylor级数时，就求得邻近点d, dPPx xxyyy= +=+处的函数值为： 522222(d, d)(,) d d11ddd2! 2!PP PPPPPPPfffx xy y fx y x yxyfffxyxxyxy+= + + + y+ + null(a) 式中,PPf fx y等表示在点(, )P Px y处的一阶
8、偏导数。 若设(d,) (,y)f xxy xy+=并令d0y =，得 XYABPDyAxAyPxPxDxByByDxyAxyDxyPxyByxByxDyxPyxA()bo x23211dd d26yy yyA yxx x3x x x =+ + + + null (b) 6可见微分面上的应力分量PAy是按非线性规律变化的。 dx 0=(, ) (, )xf xy xy=，又得 同样，如设。并令23211dd d26xx xxB xyy yy yy =+ + + + null3(c) 可见微分面上的应力分量xPB是按非线性规律变化的。 因此，各点的应力值分别为 ddddddddyP yxP xy
9、xxB x yB yxyxA xyA yxxyyxD xyD yyyxxxxxyx yxyxy =+ =+=+=+=+ +=+ +dddd ddxyP xy yxP yxxy yxxyB xy yxB yxxy yxxyA xy yxA yxxy xy yx yxxyD xy yxD yxyyxxx yxy xy =+ =+=+ =+ =+ + =+ + 0X =由六面体的平衡条件，得 1d21dddd21dd21ddd2xxxxxxxxyxyx yxyx yx yxyx yxdy t yyx xytyyxtxx+ + + + ddd 0txXt x y+=(d) 式中为六面体厚度。 t将式(
10、d)展开约简以后，两边除以，得 ddtxy0yxxXxy+ +=同样由，得 0Y =0.xy yYxy + +=2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？ 解： 基本方程 基本假定 适用条件 平衡微分方程 连续性，小变形，均匀性 任意条件 几何方程 连续性，小变形，均匀性 小变形 物理方程 连续性，小变形，均匀性，完全弹性，各向同性 完全弹性，发生泊松变形2-8 试列出下列两图所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 7qo1h2hx解：边界， 0y =100,0yyxgh= = 边界2y h= 220,
11、 0yh yhuv= 边界 0x=200(0 ), 0xyxxxgy y h = = 边界x b= 2(0 ), 0xhxhgy y h = = 2-9试应用圣维南原理，列出图所示的两个问题中边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否是静力等效？ OA解： 对于图( a)所示边，根据S-N原理，有 OAgyb2()hbnull2h2ho xy1qlnFsFM(,1)lh =null()a ()bqohFxyb(,1)hb =null2212qbFqbM=MxoAAhy2b2b()b()a000000020dd0dd2dd22bbxy xyyybbyyyyxxqx qbxxbbqxbxx
12、xb = = = 1qb对于图( a)所示边，我们有 OA0000200d0d2d21bxyybyybyyxqbxbqxx=2b由此可见，两问题是静力等效的。 2-10检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？ 解：应满足形变协调方程，即相容方程： 822222yxyxx yyx+= 2-11检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？ 解：应满足应力表示的相容方程： 2222()(1)xyX Yx yyx +=+ 04= 2-12检验平面问题中的应力函数是否为正确解答的条件是什么？ 解：应满足重调和方程。 2-13检验下列应力分量是否是图示问题的解答： (a) 图( a)，
13、22,0xyxyyqb=； q解：将上述应力代入到Navier方程，满足。再将其代入用应力表示的相容方程，不满足相容方程。所以不是正确解答。 (b) 图2-17，由材料力学公式，*,zxxyzQSMyI bI= (取梁的厚度b 1= )，得出所示问题的解答：3223323(,4xxyqx y qx h ylh lh= =24)()b2hx2ho x()aoaqbl()lhnullyqqqba又根据平衡微分方程和边界条件得出 333222yqxy qxy qxlh llh = 试导出上述公式，并检验解答的正确性。 解： 333322312 2630dxxyxxxyyq y qxyMxIllh l
14、hqyxyfxy xlh=+= = + ()x0.5() 0xy y h=又 代入上面的方程得到 23()4qf xxlh= 9即 22230.75(4)xyqxhylh = 0yxyyx +=将xy，得到 代入33(4 3 ) ( )2xyyqdy y hy x g xx lh= = +()2qgx xl=又0.50yyh=，故 ，则333222yqxy qxy qxlh llh = 11 1221 22()代入到相容方程，不满足，所以不是正确解答。 2-14试证明：在发生最大与最小切应力的面上，正应力的数值都等于两个主应力的平均值。 证明：由应力张量 x xyij xyy =或者主应力张量
15、 1200得方向的正应力为 nTT22 2212() () ( )()xxyn x xy xy yxy yxyxylm lm l m l m lmlmlmlm= = + +=+ + =+nnT)则剪应力为 222 2221()()(nnn yx xyplm lmlm = + = 由于，消除m，得到 221lm+=222 2421 21 21111( ) ( ) (42nll ll l ) = = = 12l =2102l=10由上式可见，当时，n取得最大或最小值。于是，得到时，此时2112ml= =，从而有 max min1222nnx ynor =+= 证毕。 2-15设已求得一点处的应力分
16、量，试求123, 。 100, 50, 10 50xyxy=； (1) 解：由应力张量 11 1221 22100 50()50 10 50xxyijxy y=其特征方程为 2det( ) (100 50 2) 2500(1 2 2) 0 =+ =I 其解为 122 2 10 4 2 137.46, 2 2 10 4 2 33.25=+ + = =+ = 故 3221042, 221042, 0=+ + =+ =200, 0, 400xyxy=11 1221 22200 400()400 0xxyijxy y=2det( ) 200 160000 0 = =I； (2) 解：由应力张量 其特征
17、方程为 其解为 12100(1 17), 100(1 17)=+ = 故 123100(1 17), 0, 100(1 17)=+ = 2000, 1000, 400xyxy = = =(3) ； 解：由应力张量 11 1221 222000 400()400 1000xxyijxy y=其特征方程为 2det( ) 1000 2160000 0 =+ =I 其解为 12100( 5 241), 100( 5 241)=+ = 故 3100( 5 241), 0, 100( 5 241)=+ = = 1000, 1500, 500xyxy = = =(4) 。 解：由应力张量 11 1221
18、221000 1500()1500 500xxyijxy y=其特征方程为 2det( ) 500 2750000 0 =+ =I 其解为 12250( 1 3 5), 250( 1 3 5)=+ = 故有 123250( 1 3 5), 0, 250( 1 3 5)=+ = 2-16设有任意形状的等度薄板，体力可以不计，在全部边界上(包括孔口边界上)受有均匀压力。试证qxyq =及0xy =能满足平衡微分方程，相容方程和应力边界条件，也能满足位移单值条件，因而就是正确的解答。 提示：(1)在校核边界条件时，应考虑边界为任意的斜边界，并应用公式(2-15)。 (2)对于多连体的情况，应由应力分
19、量求出位移分量，再校核位移单值条件是否满足(参考第三章中求位移的方法)。 11解：不计体力，即。将0XY=xyq = = 0xy=代入到Navier方程，满足。 及代入到相容方程 22222()(2)0xyqxy+=00xxyyxylmqlmlqm满足。代入到边界条件 + +=+ +=满足。所以是正确的解答。 2-17设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载，图2-18，体力可以不计。试根据材料力学公式，写出弯应力Fx和切应力xy的表达式，并取挤压应力0y =，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，这些表达式是否就表示正确的解答。 解：由材料力学，312xM FxyyI h
20、 =代入0xyxxy+=，得到 236()xyFyf xh = + 由20xyyh=，得3()2Ffxh=，则 23632xyFy Fhh = 将2312 6 3,0,2xyxyFxy Fy Fhhh=代入到应力相容方程 22222()(2)xyqxy+=0=F2h2ho xly12-18试证明，如果体力虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为 ,xyVVffx y = = 其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示成为 22,xyxyVV2x yyx=+ =+ = 试导出相应的相容方程。 证明 平面问题中的平衡微分方程为 0=+Xyxxyx(1) 0=+Yyxxxy(2) 现将
21、12yxVxVyyVYxVXxyyx=+=+=22222, 代入(1)和(2)，得 0222=+xVyxyVyx(3) 0222=+yVyxxVxy(4) 可见式(3)和式(4)恒等于零，满足平衡微分方程。 平面应力情况下的相容条件是 +=+yYxXyxyx)1()(2222 将 VxVyyVYxVXyx+=+=2222, 代入上式，得 +=+222222222222)1(2yVxVVxyyx展开，得 +=+22224422444)1(2yVxVyyxx1在平面应变情况下，只需将上式中的进行代换，得 用+=+222244224441212yVxVyyxx 。 132-19试证明，2-4中所述的
22、刚体位移分量及00,uv 实际上就是弹性体中坐标原点的位移分量和转动角度。 o xrx证明：参阅教材p17 yy第三章 3-1 试考察应力函数在图示矩形板和坐标系中能解决什么问题（不计体力）。 3ay =ho xlyoyxlhxx()aeePP()b解 此为逆解法。需注意，凡4次以上的应力函数多项式均应代入相容方程进行检验。此处应力函数为三次式，满足是显然的。 当不计体力时，应力分量为 226, 0, 0xyxyayxyyx= = =2将上述应力分量表达式分别引入边界面的坐标后，可得对应的面力为 0x =面， 00, 0 0,060, 60xxxxxy xyhxyxayah= =x l=面，
23、,0 ,60, 60xxlxxxly xlyhxyxlayah= =由上两式可得对应的面力(图a)，当l时，根据S-N原理还可等效为偏心受拉问题(图b)。 h2ax y =3cxy =当时为偏心拉伸，当时为偏心压缩。 0a 0a3-2 取满足相容方程的应力函数为：(1) ，(2) ，(3) ，试求出应力分量（不计体力），画出图示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。 2bxy =()hbnull2h2ho xly解： 14(1) 22 20, 2 , 2xy xyay axxyyx = = =2yh= 0, 1lm= = 在边界处，22222xxyyhyhxy yyh
24、 yhX lmCYl m ah= =+ =+ =ax2h2ho x2al2yh=处，l 0, 1m=在边界22222xxyyhyhxy yyh yhX lmCYl m ah=+ =+ =ax在次要边界上，lm0x = 1, 0= = 2200000 0202()d(d0hhxxy xxxy y xyxxhxxhlmy ylmy yyy = =+=+=)d0= x l=上， 1, 0lm=在222223()d(12dd0hhxxy xxl xlxlxy y xyxl xl xlhhxxllmy ylmy yFyy l y yh = =+=)d0=+ = =其边界如图示。 15(2) 2222,
25、0, 2xyxyby byxyyx= = =边界情况思路同(1)，略。 (3) 22226, 0, 3xyxycxy cyxyyx= = =边界情况思路同(1)，略。 3-3 试考察应力函数 223(3 4 )2Fxyh yh = 能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图示矩形边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决什么问题。 解：将代入双调和方程，满足。齐方程应力通解为 220 =22322222331204(3 4 )2xyxyFxyyhxFF2y hyxy hh= = 2yh=处，lm0, 1= = 在边界()hbnull2h2ho xlyF
26、FFl222200xxyyhyhxy yyh yhXl mCYl m= = +=+=2yh=处， 0, 1lm=在边界222200xxyyhyhxy yyh yhXl mCYl m= += +=16在次要边界上，0x = 1, 0lm= = 2200000 0202()d()dd0hhxxy xxxy y xyxx xhxxhlmy ylmy yyy = =+=+=0F= x l=上， 1, 0lm=在222223()d()d012ddhhxxy xxl xlxlxy y xyxl xl xlhhxxllmy ylmy yFFyy l y y Flh = =+= =+= = =其边界如图示。可
27、见能解决悬臂梁在自由端受集中力作用的问题。 3-4 试证 23 2333431 2410qx y y qy y yhh=+ 能满足相容方程，并考察它在图示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长度为l，高度为，不计体力）。 h()hbnull2h2ho xly解题方法完全同3-3，此处解略。 3-5 设有矩形截面的竖柱，密度为，在一边侧面上受有均布剪力q，如图所示，试求应力分量。 xyhqg解 本题采用半逆解法，即先根据已有力学知识分析图示柱子的应力分布规律而设定某个应力分量的函数形式，然后反推出应力函数并使其满足相容方程和应力边界条件。结合图受力特点以及材力知识，可知这属于偏心受压、纵向
28、纤维间无挤压以及剪应力的分布只是x的函数，故可假设： 022=yx 积分得 )()(21xfxyf += 代入到双调和方程得 0d)(dd)(d424414=+xxfxxfy 0d)(d,0d)(d424414=xxfxxf必有 故 2323)( FxExCxBxAxy += 应力分量为 )23(26260222222CBxAxyxgyFExByAxyYyxyxyyx+=+=利用边界条件，可得 170,2= FEChqBhqA 故有应力解答 .233120=hxhqxgyhxhqyxyyx3-6 如图所示墙，高度为，宽度为，在两侧边受到均布剪力的作用，试用应力函数求解应力。 h b hbnul
29、l3Axy Bx y =+q xyho2bq q2b()hbnull解：将代入双调和方程3Axy Bx y =+220 =，满足。其应力通解为 222222063xyxyyBxyxABxxy= = 2x b= 0,X Yq= 1, 0lm= =，有 在边界处，234A Bb q = 0, 0XY=18在次要边界处，0y = 0, 1lm= =，由于无法确定积分常数，可选择圣维南边界，即 22y=0 y=0d0, d0bbyxyxx= =显然，第一式恒满足。由第二式， 3222y=0d(3)d 04bbxyBbxABxxAb= =联立得 22,2qqABb= = 代入上面应力表达式，则有 222
30、201262xyxyqxybqqxy b= = h33=x3-7 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，不计体力，l，如图所示，试用应力函数求解应力分量。 2h2ho xylnFsFMnull23Axy By Cy Dxy =+解：将代入双调和方程，满足。 23Axy By Cy Dxy =+220其应力通解为 22222226 603xyxyB Cy DxyyxADyxy=+= = 2, 0, 0, 1yhXY lm= = = = =， 在主要边界上，2304ADh+ = 在次要边界上， 222000d, d, dhhhxnxysxxxxyF yF yyM= = =将应力通解代入上式
31、，可得 222232322(2 6 )d 21(3)d46(2 6 )d44hnhh19shhhBCyyBh FADyy Ah Dh FhBCyy C M+= = =+=联立解得 33233, ,22s nsFF FABCMDhhhh= 332312180632nsxyssxyFFMyxyh hhFFyh h= = +3-8 设图示三角形悬臂梁是受重力作用，而梁的密度为xyng，试用纯三次式的应力函数求解。 解：取纯三次式应力函数为 32 2Ax Bx y Cxy Dy =+ + +3=可验证其满足双调和方程。选取与体积力2200,X Yg=对应的特解为 00 00, , 0xy xygy=
32、= = 应力通解为 2222226222xyxyCxyAx ByxBxCyxy=+= = nullnullnull从而有 2002200220026222xxx xyyy yxy xy xy xyCxyAx By gyxBxCyxy =+= +=+= += + =+= +=nullnullnull0=y 0XY= 0, 1lm= =，则 面上，由边界条件，在0,000= yxyyy 20得到。在0AB= tanxy =面上，0XY= =， cos,sin= =ml， 00tantantantan=+=+=xyyxyxyxyxyxyxmlml得 2cot , cot23ggCD =2cot 2
33、cotcot .xyxyggygygy。 从而有 =，试用应力函数 3-9 设图示简支梁只受重力作用，梁的密度为232 32 5 4 3()()210xAAy By Cy D x Ey Fy Gy y y Hy Ky = + + + + + +26B求解应力分量，并画出界面上的应力分布图。 gqlqloxyll2h2h21解：可验证其满足双调和方程。选取与体积力220 = 0,X Yg= =对应的特解为 00 00, , 0xy xygy= = = 应力通解为 223222322222(6 2 ) (6 2 ) 2 2 6 22(3 2 ) (3 2 )xyxyxAy B x Ey F Ay
34、By Hy KyAy By Cy Dxx Ay By C Ey Fy Gxy= + + +=+= = + + + +nullnullnull从而有 2200 3222003222002 2(6 2 ) (6 2 ) 2 2 6 22(3 2 ) (3 2 )xxx xyyy yxy xy xy xyxAy B x Ey F Ay By Hy KyAy By Cy D gyxx Ay By C Ey Fy Gxy =+= += + + + + +=+= += + +=+= += + + + +nullnullnull由边界条件确定待定常数。 x的奇函数，考虑到对称性，xy应为x和y应为x的偶函数
35、，故由应力的第一和第三式得。注意到利用了对称性，相当于利用了一部分边界条件。 0= GFE长边： 02= hyy 02248,022482323=+=+hgDhChBhAhgDhChBhA 02= hyxy 043,04322=+=+ ChBAhChBAh得 gChgADB 23,2,02= 短边： 02d,02d2222=KhyyKhyhhlxxhhlxx 得 10,022ghglHK= 从而有 =+=222222222246412653)(64yhhgxhygygyxlyhghygyxyyx3-10 图示悬臂梁，长为，高为，l，在边界上受均布载荷，试检验应力函数 l h hnull22qq
36、5233 22Ay Bx y Cy Dx Ex y =+ + 能否成为此问题的解？若可以，试求出应力分量。 解：将代入代入到双调和方程，得到 220 =24(5 ) 0AB+= 因此，要使成为应力函数，需满足50AB+ =，即 5233225Ay Ax y Cy Dx Ex y = + 可以作为应力函数。应力通解为 22322322230 20 610 2 2230xyxyAx y Ay CyyAy Ey DxEx Axyxy= + += += = +在上边界2yh=上，0,X Yq=，0, 1lm= =，则由 2222xxyyhyhxy yyh yhlmlm= =XY+ =+ =得 2323
37、0 0410 2 282hEx AxhhAED+ =q +=在下边界2yh=上，0, 0XY=，0, 1lm= =，则 2h2ho xyl23230 0410 2 2 082hEx AxhhAED+ =+=可得 322,41025qqADEhh=q23在左边界上，0x = 0, 0XY= =，则由S-N原理，有 1, 0lm= =202202202d0d0d0hxxhhxyxhhxxhyyyy= =即 2 23422202532 242 5322(20 6 )d (5 3 ) 0d0(20 6 )d (4 2 ) 042h hhhhxyxhh hhhAy Cy y Ay CyyhhAy Cy
38、y Ay Cy A C=+=+ +=+ =+=得 25qCh= 故有 2333332312 8 62555425252125 5xyxyqqqx yy yhhhqqqyEyhhqqEx xyh h= + = + = +3-11 挡土墙的密度为，厚度为，如图所示，水的密度为h，试求应力分量。 xy2h2hg解：采用半逆解法。根据受力特点，假设 )(yxfy= 0, = YgX ，则有 考虑到)(22yxfxy= 积分得 )()()(6213yfyxfyfx+= 代入到相容方程，并注意到方程不随x变化，即有各系数均为零，解之可得 GyKyHyyByAyfFyEyyfDCyByAyyf+=+=+=2
39、345123223610)()()(最后得 232345233610)(6FyEyGyKyHyyByAxDCyByAyx+=这里已经舍弃一次项，它含有9个待定常数，可利用应力边界条件解得 2480,0,10,0,2,23,0,23ghGKhgHFEgDhgCBhgA = 于是应力解答为 .8010343321232453233322333333+=+=yhhyhygyhhygxhyhygxgxxyhgxyhgyxhgxyyx3-12 为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件 xxyxy ylmXClmY + =(*) + =而在次要边界上可以应用S-V原理，用三个积分的应
40、力边界来代替(*)？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件来替代，将会发生什么问题？ 解：根据Saint-Venant原理，当一个力系作用于弹性体某一小区域内时，如用与该力系静力等效的另一力系替代，则后者对物体的作用效应，除在力系作用处的较小局部范围有影响外，对距力系作用处稍远的其它部分的效应与前者基本一致。对于次要边界，其特征尺寸相对于结构的最大尺寸较小，等效载荷的形式对结构内部应力、应变等的影响只局限于较小区域，所得理论解答在其他区域仍然可用，即使在其他等效荷载作用下。如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件来替代，所得的解答仅在某一种载荷形式下有效，外载的任何微小变动都将影响弹性体的应力等的变化，使得解答变为不可用。很多时候，在一些应力边界区域，要得到精确的某一种载荷分布是很困难的。 第四章 1. 试比较极坐标和直角坐标系的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。 解：比较如下 直角坐标系 极坐标系 00yxxxy yXxyYxy
