1、习题四4-1 观察者 A测得与他相对静止的 Oxy平面上一个圆的面积是 12 cm2，另一观察者 B相对于 A以 0.8 c (c为真空中光速)平行于 Oxy平面作匀速直线运动， B测得这一图形为一椭圆，其面积是多少？ 分析：本题考察的是长度收缩效应。解：由于 B相对于 A以 匀速运动，因此 B观测此图形时与 v平行方向上的线度将0.8v收缩为 ，即是椭圆的短轴. bcR2)/(12而与 v垂直方向上的线度不变，仍为 ，即是椭圆的长轴. 所以测得的面积为2Ra(椭圆形面积) =7.2cm2 caS)/(1v2)/(1cv4-2 长度为 1m的米尺 L静止于 中，与 轴的夹角 系相对 系沿 轴运
2、动，Kx30,Kx在 系中观察得到的米尺与 轴的夹角为 ，试求：（1） 系相对 系的速度是Kx45多少？（2） 系中测得的米尺的长度？分析：本题考察的是长度收缩效应。根据两个参考系下米尺的不同长度再结合长度收缩效应我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度解：（1）米尺相对 系静止，它在 轴的投影分别为：Sxy和0cos.86in5xyLm米尺相对 S系沿 x方向运动，设运动速度为 v，为 S系中的观察者，米尺在 x方向将产生长度收缩，而 y方向的长度不变，即21xvLcy故米尺与 x轴的夹角满足 21yyxLtgvc将 与 、 的值代入可得：y0.86vc（2）在 S系中测得米尺的长度为：
3、 .7()sin45yLm4-3 已知 介子在其静止系中的半衰期为 。今有一束 介子以 的速度x 81.0s0.8c离开加速器，试问，从实验室参考系看来，当 介子衰变一半时飞越了多长的距离？分析：本题考察的是时间膨胀效应。根据静止系中的半衰期加上时间膨胀效应我们可以求出在实验室参考系中的半衰期，然后根据该半衰期求出飞行距离。解：在 介子的静止系中，半衰期 是本征时间。由时间膨胀效应，实验801.ts室参系中的观察者测得的同一过程所经历的时间为： 80231()1tt svc因而飞行距离为： 7.dtm4-4 在某惯性系 K中，两事件发生在同一地点而时间相隔为 。已知在另一惯性系 中，4sK该两
4、事件的时间间隔为 ，试问它们的空间间隔是多少？6s分析：本题考察的是时间膨胀效应以及洛伦兹变换。根据时间膨胀效应我们可以求出两参考系的相对速度，继而根据洛伦兹变换演化出空间间隔变换的公式求出该两事件在 S 系中的空间间隔。解：在 k系中， 为本征时间，在 系中的时间间隔为 两者的关系为：04tsK6ts221tvc59故两惯性系的相对速度为： 810(/)vcms由洛伦兹变换， 系中两事件的空间间隔为：K02()kkxxvt两件事在 K系中发生在同一地点，因此有 ，故0kx802651()1kvtxm4-5 惯性系 相对另一惯性系 沿 x轴作匀速运动，取两坐标原点重合的时刻作为计时 K起点。在
5、 系中测得两事件的时空坐标分别为 以及441160,2mts，已知在 系中测得该两事件同时发生。试问：（1） 系44220,1xts K相对 系的速度是多少？（2） 系中测得的两事件的空间间隔是多少？K分析：本题所考察的是洛伦兹变换的应用问题。根据洛伦兹变换在不同参考系下两个事件的时间变换关系，我们可以很方便的得到两个参考系之间的相对速度。有了相对速度以后，再根据洛伦兹变换的空间变换关系，我们可以得到两事件的空间间隔。解：（1）设 系相对 S系的速度为 v，由洛伦兹变换， 系中测得两事件的时间为： S112222 vttxcttvc由题意， 120t21()vxc因此有 2 81.50()t
6、mvsx其中负号表示 系沿 系的 方向运动。Sx（2）由洛伦兹变换， 系中测得的两事件的空间位置为：11222()()xxvtctv故空间间隔为： 4212121 ()()5.0()xxvtmvc4-6 （1）火箭 A和 B分别以 的速度相对于地球向 方向飞行，试求由0.8c和 x和火箭 B测得的 A的速度。 （2）若火箭 A相对地球以 0.8c的速度向 方向运动，火箭 B的y速度不变，试问 A相对 B的速度是多少？分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。在火箭 B 为静止的参考系中，先求出地面参考系相对此参考系的运动速度（此即为两个参考系之间的相对速度） ，然后由火箭 A 相对地面的运动速度以及洛
7、伦兹速度变换公式求出火箭 A 相对火箭 B 的速度。解：（1）设火箭 B的静止系为 S，则地面参考系相对 S的运动速度为 。在地面参0.5uc考系中，火箭 A的运动速度为 ，由洛伦兹速度变换公式可得火箭 A相对火箭 B的0.8vc运动速度为： 20.851.3.91/4vuc（2）由于 S系相对地面参考系以 方向飞行，而在地面参考系中火箭 A的运1ux沿动速度为 。则根据洛伦兹速度变换公式在 S系中火箭 A的运动速度,.,0xyzv为：121212 0.5 .7 0xyxzxvucvcuvc所以火箭 A相对火箭 B的速度为：22.86xyzvvc4-7 静止在 系中的观察者测得一光子沿与 x
8、轴成 60角的方向飞行，另一观察者静止K于 系中， 系相对 系为 的速度沿 x轴方向运动，试问 系中的观察者测得的 0. K光子运动方向是怎样的？分析：本题考察的是洛伦兹速度变换。根据两个参考系的相对速度以及光子在 K 系的速度，由洛伦速度变换可以求出光子在 S 系中的运动速度。解：已知 系相对 K系的速度为 ，光子速度为 c，在 K系中的运动方向为与 x轴 0.6uc成 60角，因此该光子在 K系中的速度为 。所以在 系.5,3/2,0xyzvv中光子的运动速度为： 2221 7431 0xyxzxvucvcuvcvvc令该光子在 系中的运动方向与 X轴成 角，则有：K43yxtgv98.2
9、4-8 子的静止质量是电子静止质量的 207倍，静止时的平均寿命 ，若它 8021s在实验室参考系中的平均寿命 ，试问其质量是电子静止质量的多少倍？8710s分析：本题考察的是时间膨胀效应和相对论质量问题。根据时间膨胀效应我们可以求出该粒子在实验室参考系中的运动速度，然后根据该速度可以求出速度下的相对论质量。解：设 子在实验室参考系中的速度为 、质量为 ，依题意有：um021uc将 的值代入得：0和 27当 子速度为 时其质量为：u002274.51eemmc4-9 一物体的速度使其质量增加了 10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之多少？分析：本题涉及的是相对论质量和长度以收缩问题。根据质
10、量与静止质量之比可以求出该物体的运动速度，然后根据速度可以求出该物体在运动速度方向上的长度收缩。解：设物体速度为 、质量为 、长度为 ，静止质量和长度分别为 和 ，依题意有：umL0mL002021mcu因此，根据长度收缩效应有： 200019.%.LLc所以在运动方向上缩短了： 09.%4-10 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电位差才能使其质量增加0.4%？此时电子速度是多少？（电子的静能为 0.511MeV.）分析：此题考察的是相对论质量与速度之间的关系。根据相对论质量公式可以很方便的求出电子的运动速度，再根据能量守恒，求出加速所需的电位差。解：设电子速度为 、质量为 ，
11、静止质量为 ，所加的电位差为 U。依题意有：um00021.4mc所以此时电子的速度为： .75u根据能量守恒，有： 220mceUc4.1(V)4-11 已知一粒子的动能等于其静止能量的 n倍，试求该粒子的速率。分析：该题考察的是相对论的质能关系式。根据粒子的动能和静能比可以求出该粒子总能量和静能之比，这个比值也就是该粒子的质量与静止质量之比，根据相对论质量与速度的关系式，我们可以求出该粒子的速率，从而求出该粒子的动量。解：依题意有： 0kEn所以其质量与静止质量之比为： 200 1kmc根据相对论质量与速度的关系有： 021uc所以该粒子的速度为： 2n4-12 一静止的粒子（质量为 ）
12、，裂变成两个粒子，速度分别为 。求裂变过0m0.68c和程的静质量亏损和释放出的能量。分析：该题涉及到质量亏损的概念和动量守恒定律。由于反应后的两个粒子的质量未知，因此我们可以根据两个粒子之间的速度关系推导出二者的质量比，又由于该两个粒子的总动能来源于该反应的静质量亏损，因此结合反应后两个粒子的质量比以及各自的速度大小，我们可以求出该反应的质量亏损，从而求出该反应所释放的能量。解：设反应后两粒子的质量分别为 、 ，则根据动量守恒定律有：1m2120.6.8mcc（1）/4/3反应前后总的总能量守恒，所以有：（2）201cc将（1）式代入（2）式，得：所以反应前后的静质量亏损为：释放出的能量为：
13、1020120200243,7.31.8/,/77,mmmEc4-13 试求静止质量为 的质点在恒力 F作用下的运动速度和位移。在时间很短（0m）和时间很长（ ）的两种极限情况下，速度和位移值又各是多少？0/tcF0/tc分析：根据力和动量的关系，经过积分后我们可以求解在恒力作用下的力与速度之间的关系，经过再次积分，可以得到位移和力的关系。解：由于力代表的是动量的变化率，因此有： 02()()1/mdpdFvvttc将上式积分，由于力为恒力与时间无关，再代入初始条件（起始时为静止，即初速度为零）可得： 021/tvc因此可得速度与力之间的关系式： 02(/)Ftmdxvt将上式再积分，并假定起
14、始时所处位置为坐标原点，可得位移与力之间的关系： 224001/2200ccXtFmtxcF当 时，有：/tm20200 0,1(/)tFttFtvxvdc当 时，有：0t200/,1()ttmvcxvdct4-14 在原子核聚变中，两个 原子结合而产生 原子。试求：（1）该反应中的质2H4He量亏损为多少？（2）在这一反应中释放的能量是多少？（3）这种反应每秒必须发生多少次才能产生 1W的功率？已知 原子的静止质量为 原子的静止质2743.650,kgHe量为 。276.4510kg分析：已知反应前后各种反应物和生成物的质量，我们可以很方便的求出反应前后的质量亏损，并据此求出反应所释放的能量
15、。解：反应的质量亏损为： 27272723.46510.4510.4810()Hem kg该反应所释放的能量为： 2720.89.3()Ec J要达到 1W的功率需要每秒钟反应的次数为： 121/4.3.4n4-15 当一个粒子所具有的动能恰好等于它的静能时，试问这个粒子的速度有多大？当动能为其静能的 400倍时，速度有多大？分析：粒子的总能量可以用粒子的动质量与光速的平方的乘积来表示，而粒子的静能则等于粒子的静质量与光速的平方的乘积，因上我们可以很方便的把粒子的动能和静能之比用粒子的速度表示出来。解：根据粒子的质量和速度之间的关系可得： 02()1mvc所以粒子的总能与静能之比为： 201E
16、vc又该粒子的总能等于动能与静能之和，所以该粒子的动能与静能之比为： 020 1kmEvc所以当动能等于静能时，有： 21vc3当动能等于静能的 400倍时，有：2140vc.964-16同位素 核由两个质子和一个中子组成，它的静质量为3He。 （1）以 为单位， 的静能为多少？（2）取出27.014u(.0)kgMeV3He一个质子使 成为 （静质量为 ）加一个质子（静质量为 ） ，试问3He22.0135u1.073u需要多少能量？分析：本题涉及的是静能以及质量亏损的概念。粒子的静能由粒子的静质量与光速的平方的乘积表示；而反应前后总能量守恒的要求指明反应进行需要的能量由反应前后的质量亏损所
17、决定。解：静能为： 2 271610303.140.6904.3()2.710()Emc JMev当从同位素氦核中取出一个质子时，此时质量亏损为： 29.35.().4()DHe ukg所以反应需要能量为： 22916131.040.20()Ec J4-17 把一个静止质量为 的粒子由静止加速到 0.1c所需的功是多少？由速率 0.89c加m速到 0.99c所需的功又是多少？分析：此题涉及到的是粒子的总能量与速度之间的关系。根据能量守恒定律，通过计算任一速度下的总能量即可求出从该速度下再增加 0.1c 的速度所需要做的功。解：粒子的静能量为： 20Emc速度为 0.1c时，该粒子的总能量为：
18、22 201 01.5mc因此将粒子由静止加速到 0.1c所需要做的功为：2100.E同理粒子在速度为 0.89c和 0.99c时的总能量分别为： 22 20022 203 0.193.87.1.cmmcE所以将粒子由 0.89c加事到 0.99c时所需做的功为23204.896c4-18 两个静止质量都是 的小球，其中，一个静止，另一个以 运动，在它们做m0.8c对心碰撞后粘在一起，求碰后合成小球的静止质量。分析：由于碰撞前后，体系的总能量不变，所以可以得出碰后合成小球的动质量与 的关0m系；再根据碰撞前后动量守恒，加上已求出的合成小球的动质量，可以求出合成小球的速度；最后根据合成小球的速度和相应的动质量可以求出合成小球的静质量。解：设碰撞前运动小球的质量为 ，碰撞后合成小球的质量和速度分别为 M 和 u，根据1m题意，显然有：（1）001 02253(.8)mvc由能量守恒，有： 2201M（2）083m碰撞前后动量守恒，（3）1vu由（1） 、 （2）和（3）式可得：50.8c所以合成小球的静质量为： 2200084311.53uMmc
