1、第四章 成本最小化,内容要点,一、成本最小化视角：一阶条件 二、成本最小化的二阶条件 三、条件要素需求函数 四、成本最小化弱公理,一、成本最小化的微分分析,将成本最小化写成规划问题 写出拉格朗日函数并求解一阶条件,写成向量形式 如何解释一阶条件的经济含义？技术替代率等于经济替代率,如果不满足，则存在调整的空间来保证产出但是节约成本 此时减少1单位i，增加1单位j，同样能够保持产出不变，但是可以减少成本。,二、二阶条件,1、两种要素的情况 当投入要素1和2发生微小变动时，运用泰勒 展开，写成矩阵形式 但要求成本不变，即有,故二阶条件简化为 成本最小化点要求：此时沿着等成本线任何方向移动，产出都下
2、降,2、推广到多种要素的情况二阶条件概括为：生产函数的海塞矩阵 是满足线性约束的半负定矩阵 如何判断一个矩阵是半负定的？ 顺序主子式负正相间； 约束条件下的判断方法：设法将约束条件与原矩阵写成加边矩阵，若加边矩阵顺序主子式始终不变号，则原矩阵在约束条件下构成半负定矩阵。,3、从拉格朗日方程考察二阶条件,海塞加边矩阵 若此海塞加边矩阵行列式为负，则说明未曾加边的那个矩阵在约束条件下为半负定，即成本最小化的二阶条件满足。二阶条件得到满足,若是三个生产要素，海塞加边矩阵的形式为 要求这个海塞加边矩阵的三阶四阶行列式在最优选择处的取值都为负,二、成本最小化的求解,1、要素需求函数对每个w和y的选择，都
3、存在使生产y单位产出成本最小的某个x*的选择。将给出这个最优选择的函数称作条件要素需求函数，把它记作x(w，y)。 注意：条件要素需求函数依赖于要素价格和产出水平y，和产出价格无关。,2、求解的困难 （1）柯布-道格拉斯生产技术 取对数有可能简化运算。求得条件要素需求函数为：,其成本函数为 若正规化技术A=1，并采用规模报酬不变，有 给我们什么启发？ 1此时成本完全是产量的线性函数 2a越大，则要素1价格变化对成本影响越大,（2）CES技术的成本函数 令 成本函数写为 作为练习，写成一般化CES情形下的成本函数,（3）里昂惕夫生产技术 成本函数也是产出的线性函数 线性技术生产函数的成本函数也具
4、有线性形式：,（4）线性生产函数：角点解 需要使用库恩-塔克条件 则等价的最大化问题为,写出拉格朗日函数及一阶条件（松弛条件） 注意这里的处理方法： 1统一写成最大化问题处理 2非负限制不引入拉格朗日乘子，而是直接写出松弛条件,逐步放松松弛条件：,三、条件需求函数的性质,以两物品为例 一阶条件为： 将这些恒等式对 求导，有,写出矩阵形式,运用克莱姆法则，有 如何得出为负的结论 说明条件要素需求曲线向下倾斜,类似有 结论： 1交叉价格效应一定是对称的 2交叉价格效应的符号一定为正吗？仅在两种要素时成立，若多种要素，则不确定符号 析,四、成本最小化弱公理,对所有的s和t满足 类似利润最大化弱公理的应用 即要素需求向量一定要和要素价格向量反方向变动,
