1、高级微观经济学 微观经济理论 基本原理与扩展,Contents,包络定理单变量与多变量情形 条件极值拉格朗日乘数法,包络定理(envelope theorem),研究当函数中某一参数变化时，最优值如何变化。,e.g.假设y是单一变量(x)与参数(a)的函数对于参数的不同值a，这个方程表示一簇反向的抛物线，请计算当参数a变化时最优值y*是怎样变化的。,通过求解单变量最大化问题的方法，求出x*，然后代入方程,2.包络捷径：对于a的很小变化可以在x的最优值点上令x为常数，对目标函数直接计算,直观解释：,多变量情形对于y是多变量的函数，类似的包络定理仍然成立。假设y取决于一组x(x1,xn)与特殊常数
2、a，通过求解n个一阶方程,得出这些x(x1*,，xn*)的最优值。假设方程满足二阶条件，每一个 能够表示为参数a的显函数，即,包络定理结论：,e.g.在斜边长为L的直角三角形中求周长最大的直角三角形。设两直角边长为x,y，则求周长z=L+x+y在条件 L2=x2+y2下的最大值。,条件极值：自变量附加条件的极值问题称为条件极值。,传统解法：可从约束条件g（x,y）=0中解出y=y(x)，代入z= f(x, y(x)转化为一元函数的无条件极值。若从g（x,y）=0中解不出y=y(x)？,拉格朗日乘数法：问题：,构造拉格朗日函数：,一阶条件：,经济学中的绝大多数最大化问题都是限制条件下的最大化问题
3、。 效用最大化有预算限制 社会福利最大化受资源限制 利润最大化受技术限制分析经济学中限制条件下的最大化问题，拉格朗日乘数法非常有用。,拉格朗日乘数法：问题：,构造拉格朗日函数：,一阶条件：,拉格朗日乘数（ ）的解释： e.g.最佳的篱笆尺度：给定篱笆的周长p，求它所能围的最大面积（假定这个区域必须是矩形）。 这个问题可概括为：,引入拉格朗日函数为：结论：最佳方法是围一个正方形（x=y）,这里f1表示x每增加一单位目标函数的边际增加；g1表示随x的增加y的取值范围的减少。这里， 表明周长增加一单位，面积的增量。这里 说明放松限制 一单位，最大面积就会增加 。,检验如下： 取 再取 可见 这个式子 很接近于限制条件增加一单位时，A的变化量。,的经济学解释（影子价格）：,的边际收益 的边际成本（多获取一点点x需承担的预算负担）,的边际收益,的边际成本,对偶性,每一个限制条件下的最大化问题都有一个相应的对偶问题，那就是在目标函数取最大值时把限制条件函数最小化。,原问题：,对偶问题：,e.g.最优篱笆的对偶：对于给定面积为A的矩形土地，农场主要以最短长度的篱笆围住它。 数学表达为：建立拉格朗日函数：,在经济学中的意义： 成本最小化问题就是利润最大化问题的对偶问题 支出最小化就是效用最大化的对偶问题,Thank You !,The End,
