1、2018 年北京市朝阳区高三一模数学（理）考试第 I 卷 （选择题共 40 分）一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知全集为实数集 R,集合 2|30|21xAxB,则 ()ABR（A） ,03,)（B） (,（C） ) （D） 1)【答案】2. 复数 z满足 (1i)z,则在复平面内复数 z所对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限 （D）第四象限【答案】3. 直线 l的参数方程为 3,1xty( 为参数),则 l的倾斜角大小为（A）6（B）（C） 23（D） 56【答案】 C4. 已知 ,a
2、b为非零向量,则“ 0ab”是“ a与 b夹角为锐角 ”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】 B5. 某单位安排甲、乙、丙、丁 4名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有 1人值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法种数为（A） 18（B） 2（C） 48（D） 96【答案】 B【解析】本题考查排列组合.甲连续 2天上班,共有（周一，周二）,（周二,周三）,（周三,周四）,（周四,周五）四种情况,剩下三个人进行全排列,有 36A种排法因此共有 46种排法,故选 B.6. 某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积
3、等于（A） 34（B） 2（C） 1（D） 3【答案】7. 庙会是我国古老的传统民俗文化活动,又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动,如“砸金蛋” （游玩者每次砸碎一颗金蛋,如果有奖品,则“中奖” ）.今年春节期间,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会,每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测,预测结果如下:甲说:“我或乙能中奖”;乙说:“丁能中奖”;丙说:“我或乙能中奖”;丁说:“甲不能中奖”.游戏结束后,这四位同学中只有一位同学中奖,且只有一位同学的预测结果是正确的,则中奖的同学是（A）甲
4、（B）乙 （C）丙 （D）丁【答案】8. 在平面直角坐标系 xOy中,已知点 (3,0)A, (12B,动点 P满足 OAB,其中,01,2,则所有点 P构成的图形面积为（A） 1（B） 2（C） 3（D） 23【答案】 C第卷 （非选择题共 110 分）二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9. 执行如图所示的程序框图,若输入 m则输出 k的值为 _.【答案】 4【解析】本题考查程序框图. mk初始 5 0第一次 9 1第二次 17 2第三次 33 3第四次 65 4第四次时, 650,所以输出 4k10.若三个点 (2,1),3(1)中恰有两个点在双曲线2:1(0)
5、xCya上,则双曲线 C的渐近线方程为 _.【答案】 2yx【解析】本题考查双曲线图象与渐近线方程.由于双曲线关于原点对称,故 (,1)2在双曲线上,代入方程解得 2a,又因为 1b,所以渐近线方程为 2yx11.函数 ()sin()fA(0,)2的部分图象如图所示,则_;函数 fx在区间 ,3上的零点为 _.【答案】 72,1【解析】本题考查三角函数图象与性质由图得 ()362T,即最小正周期 又因为 |T,且 0,解得 2由图得 3x时, ()kZ又因为 |2,所以 6()fx的零点即 ()sin(2)fx的图象与 x轴交点的横坐标则 2,6kZ,解得 ,1kZ因为 ,3x,得到 72x所
6、以零点为 112.已知点 (2,0)(,AB若点 M是圆 20xy上的动点,则 ABM!面积的最小值为 _.【答案】【解析】本题考查直线与圆位置关系.将圆 2:0Mxy化简成标准方程 22(1)()xy圆心 (1,),半径 r因为 0()AB,所以 |2A要求 !面积最小值,即要使圆上的动点 M到直线 AB的距离 d最小而圆心 (1,)到直线 的距离为 2所以 min2r所以 ABMS!的最小值为 min11|22ABd13.等比数列 na满足如下条件: 10;a数列 n的前 项和 1nS.试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 _.【答案】 *1()2nN（答案不唯一）【解析】本题考查等
7、比数列通项公式和前 n项和.例: 11()120,22nnaqS,则 12na 1(1)30, 133nnnaqS,则 1()3nna 1(1)40, 144nnnaqS,则 1()4nna14.已知 ,aR函数21(),0)sin,xaf当 x时,函数 ()fx的最大值是 _;若函数()fx的图象上有且只有两对点关于 y轴对称,则 a的取值范围是 _.【答案】 1,)2【解析】本题考查函数综合应用.(1)当 0x时, 1sin2()xf令 11 12xxf,当 12x,即 1x时取等号即当 时, 1min()f令 2()s,xf又因为 22max1in()ff则 axmax2in()1()f
8、f图象仅有两对点关于 y轴对称即 ()0fx的图象关于 轴对称的函数图象与 ()0fx仅有两个交点当 时, 2(1)fxa.设其关于 轴对称的函数为 ()g ()(0)g 1sin2()()xf由（1）可知近似图象如图所示当 ()g与 f仅有两个交点时, 12a综上, a的取值范围是 1(,)2三、解答题（共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程）15.（本小题满分 13 分）在 ABC!中,已知 5sin, 2cosbaA.（）若 5ac,求 !的面积;（）若 为锐角,求 sin的值.【解析】 （）由正弦定理得 iaAbB,因为 2cosbaA,所以 sin2ico
9、sB, =0,因为 5iA,所以 25A,所以 4sin2B,所以 1si52ACSac! .（）由（）知 4inB,因为 为锐角,所以 3cos5B.所以 si=()si()AnconA532451=16.（本小题满分 14 分）如图 1,在矩形 ABCD中, 2,4B,E为 AD的中点, O为 BE的中点.将 A!沿BE折起到 ,使得平面 平面 C（如图 2）.（）求证: O;（）求直线 A与平面 E所成角的正弦值;（）在线段 C上是否存在点 P,使得 /O平面 ADE?若存在,求出 APC的值;若不存在,请说明理由.【解析】 （）如图,在矩形 ABCD中,24AB,E为 中点,O为 的中
10、点,ABE由题意可知, ,平面 平面 CD平面 ABE平面 BE, AO平面O平面 CD平面 BE,AOCD（）取 B中点为 F,连结 O由矩形 性质, 24BC,可知 FBE由（）可知, ,AE以 O为原点, 为 z轴, OF为 x轴, 为 y轴建立坐标系在 RtB!中,由 2,则 2,BOA,所以 (0,),(,0)(,)AE,2,2,20,CD(,), (,), (,2)AE设平面 ADE的一个法向量为 ,mxyz则0m,20yx令 1,则 x所以 (1,)设直线 AC与平面 DE所成角为 2sinco, 3ACm所以直线 AC与平面 DE所成角的正弦值为 .（）假设在线段 上存在点 P
11、,满足 /O平面 ADE设 (01)P由 (2,)AC,所以 (2,2)AP,P, ,O若 /O平面 DE,则 0m所以 22,解得 10,2所以 1APC.17.（本小题满分 13 分）某地区高考实行新方案,规定:语文、数学和英语是考生的必考科目,考生还须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目,则称该学生的选考方案确定;否则,称该学生选考方案待确定.例如,学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目,则学生甲的选考方案确定,“物理、化学和生物”为其选考方案.某学校为了了解高一年级 420 名学生选考科目的意向,随
12、机选取 30 名学生进行了一次调查,统计选考科目人数如下表:性别 选考方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治选考方案确定的有 8 人 8 8 4 2 1 1男生选考方案待确定的有 6 人 4 3 0 1 0 0选考方案确定的有 10 人 8 9 6 3 3 1女生选考方案待确定的有 6 人 5 4 1 0 0 1（）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？（）假设男生、女生选择选考科目是相互独立的.从选考方案确定的 8 位男生随机选出 1 人,从选考方案确定的 10 位女生中随机选出 1 人,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率;（）从选考方案确定的 8 名男生随机选出 2 名,设随机变量1,2名 男 生 选 考 方 案 相 同 ,名 男 生 选 考 方 案 不 同求的分布列及数学期望 E.
