1、黄浦区 2017 年高考模拟考数 学 试 卷 （完卷时间：120 分钟 满分：150 分）一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分. 其中第 16 题每题满分 4 分，第 712 题每题满分 5 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1. 函数 的定义域是_【答案】 ；【解析】试题分析：考点：函数的定义域的求法.2. 若关于 的方程组 有无数多组解，则实数 _【答案】 ；【解析】当 时， ，不合题意；当 时， ，得 ，综上： .3. 若“”是“”的必要不充分条件，则 的最大值为_【答案】 ；【解析】由 得： 或 ；若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则，所以 的最大值为 .【点
2、睛】从集合的角度看充要条件，若 对应集合 ， 对应集合 ， 如果 ，则 是 的充分条件；如果 ，则 是 的充分不必要条件；如果，则 是 的必要条件；如果 ，则 是 的必要不充分条件；如果 ，则 是 的充要条件，如果 无上述包含关系，则 是 的既不充分也不必要条件；4. 已知复数 ， (其中 i 为虚数单位)，且 是实数，则实数 t 等于_【答案】 ；【解析】 为实数，则 .5. 若函数 (a0,且 a1)是 R上的减函数，则 a 的取值范围是_【答案】 ；【解析】当 时， 在 上为减函数，而 在 上为减函数，要使函数 在 R 上为减函数，则 a 满足 ，解得 .6. 设变量 满足约束条件 ，则
3、目标函数 的最小值为_【答案】 ；【解析】先画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数 为截距型目标函数，令 ，作直线 ，由于 ， 表示直线的截距，平移直线 得最优解为 ， 的最小值为 .【点睛】线性规划问题要搞清目标函数的几何意义，常见的目标函数线有截距型、距离型（两点间的距离、点到直线的距离） 、斜率型等，主要考查最值或范围.另外有时考查线性规划的逆向思维问题，难度稍大一点. 线性规划问题为高考高频考点，属于必得分题.7. 已知圆 和两点 ，若圆 上至少存在一点 ，使得，则 的取值范围是_【答案】 ；【解析】 由于 两点在以原点为圆心， 为半径的圆上，若圆 上至少存在一点 ，使得，则两
4、圆有公共点，设圆心距为 ， ，则 ，则 ，则 的取值范围是 .8. 已知向量 ， ，如果 ，那么 的值为_【答案】 ；【解析】 ，则 ，.【点睛】有关三角函数计算问题， “异名化同名，异角化同角” ，注意弦切互化，最关键问题是寻找角与角之间的关系，角与角之间是否存在和、差、倍关系，再借助诱导公式，同角三角函数关系，和、差公式，二倍角公式等求值.9. 若从正八边形的 8 个顶点中随机选取 3 个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是_【答案】 ；【解析】正八边形 的八个顶点，无三点在同一直线上，任取 3 点可连成一个三角形，共可作 个三角形，其中 4 条对角线 为其外接圆的直径，根据
5、直径所对的圆周角为直角，每条直径可连接 6 个直角三角形，共计可作 个直角三角形，概率为 .10. 若将函数 的图像向左平移 个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则 的最小值是_【答案】 ；【点睛】11. 三棱锥 满足： ， ， ， ，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是_【答案】 ；【解析】由于 平面 ， ，在中， ，要使 面积最大，只需 ， 的最大值为， 的最大值为 ，该三棱锥的体积 V 的取值范围是 .学%科%网.学%科%网 .学%科% 网. 学%科%网.学% 科%网.【答案】 （或 ，或 ） 【解析】数列 满足 ， ， ，当 ，时， ， ，若 时， ， ， 当 时， ， ，解得 ，填写
6、 .继续讨论可求出其他的解（略）.二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分13. 下列函数中，周期为 ，且在 上为减函数的是 （ ）A. y = sin(2x+ B. y = cos(2x+C. y = sin(x+ D. y = cos(x+【答案】A【解析】根据正、余函数周期公式可知 ，排除 C、D. 对于 ， ， ，则 在 上为减函数，选 .14. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由
7、三视图可知，该几何体是下部为圆柱体，上部是半径为 1 的球，直接求表面积即可。由三视图容易推知几何体是：上部是半径为 1 的球，下部是底面直径为 2 的圆柱体，高为 3，该几何体的表面积为：3 2+2+4r2=12，故答案为：12，故选 D.考点：本题考查三视图、组合体的表面积考查简单几何体的三视图的运用；培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力；中档题点评：解决该试题的关键是将三视图还原为几何体。15. 已知双曲线 的右焦点到左顶点的距 离等于它到渐近线距离的 2 倍， 则其渐近线方程为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线 的右焦点到左顶点的距离为 ，焦点到渐近线的距离为
8、 ，则， ，因此 ， , ，渐近线方程为，即 选 .【点睛】求双曲线的渐近线方程，就是寻求或，求法与求离心率类似，只需找出一个 的等量关系，削去 后，求出或，就可以得出渐近线方程，削去后，就可以求，即可求出离心率.16. 如图所示， ，圆 与 分别相切于点 ， ，点 是圆 及其内部任意一点，且 ，则 的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】连接 并延长分别交圆 于 ，连接 ， 与 交于 ，显然 ，此时，分别过 作 的平行线，由于 ，则 ，则， ，此时 ，同理可得：， ，选 .【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点 在等和线 上 去求 的取值范围，由于点 是圆 及其内
9、部任意一点，所以分别过 作圆的切线，求出两条等和线的 值，就可得出 的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 如图，在直棱柱 中， ， ， 分别是 的中点 （1）求证： ；（2）求 与平面 所成角的大小及点 到平面 的距离【答案】 （1）见解析（2）【解析】 （1）以 A 为坐标原点、 AB 为 x 轴、 为 y 轴、 为 z 轴建立如图的空间直角坐标系由题意可知 ，故 ， 由 ，可知 ，即 （2）设 是平面 的一个法向量，又 ，故由 解得 故 设 与平面 所成角为 ，
10、则 ，所以 与平面 所成角为 ，点 到平面 的距离为 【点睛】根据几何体的特征建立适合的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线线垂直，只需说明数量积为零，求点到平面的距离，只需求出平面的法向量，利用点到平面距离公式计算出结果.证明线面、面面的平行或垂直问题，要把握平行与垂直的判定定理和性质定理，严格根据定理进行逻辑推理，有关角和距离的计算大多使用空间向量，借助法向量进行计算.18. 在 中，角 的对边分别为 ，且 成等差数列（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的值【答案】 （1） （2）【解析】 （1）由 成等差数列，可得 ， 故 ，所以 ， 又 ，所以 ，故 ，又由 ，可知 ，故 ，所
11、以 （另法：利用 求解）（2）在 ABC 中，由余弦定理得 ， 即 ，故 ，又 ，故 ，所以 ，故 【点睛】利用正、余弦定理解三角形问题，注意使用“边转角、角转变” ，注意减元，求角时注意角的范围.利用余弦定理时注意到 三者的联系，本考点属于高考高频考点，务必引起高度的注意.19. 如果一条信息有 n 种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为 ，则称 （其中 ）为该条信息的信息熵已知 （1）若某班共有 32 名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；（2）某次比赛共有 n 位选手（分别记为 ）参加，若当 时，选手 获得冠军的概率为
12、 ，求“谁获得冠军”的信息熵 关于 n 的表达式【答案】 （1）5（2）【解析】 （1）由 ，可得 ，解之得 .由 32 种情形等可能，故 ，所以 ，答：“谁被选中”的信息熵为 （2） 获得冠军的概率为 ，当 时， ，又 ，故 ， ，以上两式相减，可得 ，故 ，答：“谁获得冠军”的信息熵为 20. 设椭圆 M: 的左顶点为 、中心为 ，若椭圆 M 过点 ，且 （1）求椭圆 M 的方程；（2）若APQ 的顶点 Q 也在椭圆 M 上，试求APQ 面积的最大值；（3）过点 作两条斜率分别为 的直线交椭圆 M 于 两点，且 ，求证：直线 恒过一个定点【答案】 （1） （2 ） （3）【解析】 （1）由 ，可知 ，又 点坐标为 故 ，可得 ， 因为椭圆 M 过 点，故 ，可得 ，所以椭圆 M 的方程为 （2） AP 的方程为 ，即 ， 由于 是椭圆 M 上的点，故可设 ， 所以 当 ，即 时， 取最大值
