1、2018届内蒙古呼和浩特市高三第二次模拟考试数学（理）试题（word 版）第卷（共 60分）一、选择题：本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 1,0A， 2|340Bx，则 AB（ ）A , B , C ,1 D 02.已知复数 3xiz在复平面内对应的点在第二象限，则实数 x的取值范围是（ ）A 1| B |3x C 1|3 D|3x3.已知等比数列 na满足 126， 458a，则数列 na前 8项的和 nS（ ）A 510 B C D 124.已知 ， b是两条不同直线， ， 是两个不同平面，则（ ）A /a，
2、，则B ， ，则 /C. ， b， a， /b，则 /D aA， /， ， ， ，则 /5.有 10人参加某次考试，其成绩 X近似服从正态分布 210,3N. 61390.7PX.则此次考试中成绩不低于 139分的人数约为（ ）A B 0 C. 5 D 236.我国第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有 5架“歼-15”飞机准备着舰，已知乙机不能最先着舰，且丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻） ，那么不同的着舰方法种数为（ ）A 96 B 48 C.72 D 367.已知函数 sin3cos0fxx的图象与 x轴的两个相邻交点的距离等于 4.若将函数y的图象向左平移 6个单位得
3、到函数 yg的图象，则在下列区间中使 ygx是减函数的是（ ）A ,03 B 7,24 C. 0,3 D ,438.若某几何体的三视图（单位： cm）如图所示，则该几何体最长的棱的长度等于（ ）A 5cm B 34c C. 41cm D 52cm9.设 2sin,01xf，则函数 fx（ ）A有极值 B有零点 C. 是奇函数 D是增函数10.定义 x表示不超过 x的最大整数，例如 3.2， 4， 1.62，下面的程序框图取材于中国古代数学著作孙子算经 ，执行该程序框图，则输出的 a（ ）A 9 B 16 C.23 D 3011.为了保护生态环境，建设美丽乡村，镇政府决定为 A， B， C三个自
4、然村建造一座垃圾处理站，集中处理 ， ， C三个自然村的垃圾，受当地地理条件的限制，垃圾处理站 M只能建在 B村的西偏北方向，要求与 村相距 5km，且与 村相距 31km,已知 村在 村的正东方向，相距 3km， C村在 村的正北方向，相距 3，则垃圾处理站 M与 村相距（ ）A 2 B C. 7 D 8k12.设抛物线 24yx的焦点为 F，过点 5,0的直线与抛物线相交于 A， B两点，与抛物线的准线相交于 C， 3BF，则 C与 AF的面积之比 BCFAS（ ）A 34 B 45 C. 56 D 67第卷（共 90分）二、填空题（每题 5分，满分 20分，将答案填在答题纸上）13.已知
5、向量 1,2a， ,3b，则 2ab 14.已知实数 x， y满足条件 1yx，则 3y的最大值为 15.将正方形 ABCD分割成 2,nN个全等的小正方形（图 1，图 2分别给出了 2,3n的情形） ，在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形 ABCD的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点 ， ， C， 处的四个数互不相同且和为 ，记所有顶点上的数之和为 fn，则 5f 16.已知 ,abR，且 1xeab对 xR恒成立，则 ab的最大值是 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.如图，在 ABC中，点 D是
6、边 AC上一点，且 2DC（）若 90ABC， 2AD，求 B的长；（）求证 sin.18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下 10个芒果，其质量分别在 10,5，150,2， ,50， 2,3， 0,5， 3,4（单位：克）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.（）现按分层抽样从质量为 250,3， ,50的芒果中随机抽取 9个，再从这 个中随机抽取3个，记随机变量 X表示质量在 内的芒果个数，求 X的分布列及数学期望；（）以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有 10个，经销商对这 10个芒果提出如下两种收
7、购方案：A：所有芒果以 元/千克收购；B：对质量低于 25克的芒果以 2元/个收购，高于或等于 25克的以 3元/个收购.通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？19.如图所示，在四棱锥 PABCD中， /B， ADC， P底面 ABCD， 1，2PAD， 与 垂直的平面分别交 P， ， 于 E， F， G三点（）求证：点 G是 PD的中点；（）求 与平面 ACE所成角的正弦值.20.已知点 为圆 218xy上一动点， PQx轴于点 ，若动点 M满足 123OPQ.（）求动点 M的轨迹 的方程；（）过点 4,0E的直线 40m与曲线 C交于 A， B两点，线段 A的垂直平分线交 x轴于点 D，
8、求 AB的值.21.已知函数 hxne，直线 :1lyx，其中 e为自然对数的底.（）当 1a， 0时，求证：曲线 12fhx在直线 l的上方；（）若函数 x的图象与直线 l有两个不同的交点，求实数 a的取值范围；（）对于（）中的两个交点的横坐标 1x， 2及对应的 值，当 12x时，求证： 121221xxxeeae.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy中，圆 的方程为 24xy，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程是 2cos1.（）求圆 的参数方程和曲线
9、C的直角坐标方程；（）已知 M， N是曲线 与 x轴的两个交点，点 P为圆 O上的任意一点.证明： 2P为定值.23.选修 4-5：不等式选讲已知函数 1fx.（）解不等式 246fx；（）若 ,abR， ， b，证明： 1fabf.试卷答案一、选择题1-5: BAADC 6-10:BBCDC 11、12：CD二、填空题13. 10 14. 12 15. 9 16. 312e三、解答题17.（）由题意， 3AC；于是 cos.根据余弦定理可知： 222cos3BDABD所以， 63.（）在 A和 C中分别使用正弦定理可得下列方程组sinsiDB由 AC得sinsiDB于是，结合 2，将上面的两
10、个方程相比可得：isA18.（）由分层抽样的定义可知，从质量在 250,3中抽取的芒果数为 6.则 X的取值为 0,123，且 360,1kCPX，于是分在列为0 1 2 3P524589484数学期望 39Ex.（）由题目数据可知，这 10个芒果的总质量的平均值为 1025.7.25.70.4325.70.5270g5k故，利用方案 A的获利为 元.对于方案 B，由频率分布直方图可得，质量低于 250g的芒果出现的频率为 0.35，所以在 10个芒果中，有 350个质量低于 250g的芒果，故利用方案 B的获利为 3262元.综上，利用方案 获利更大.19.（）由题， PC面 AGFE，所以
11、 PCAG.又DA面 D，所以GPCA面 PC，所以 AD，在等腰直角三角形 D中， G为 P的中点.（）如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系，从而0,， 1,0B， ,2， 1,20C， ,2， 1,2B.设 PEk，所以 ,2Ak，由 AEP可得 47k，所以 46,7， 1,20C， ,2D ，设面 ACE的法向量为 ,nxyz由 nAE可得20467xyz，令 2，可得 2,13.设直线 PD与平面 ACE所成的角为 ，所以， 2sinco,14PDn.20.解：（1）设 ,Mxy， 0,P，则 0,Qx，所以 ,OMxy， 0,xy， 0,OQx.由 23OQ化简得 0， 03y，
12、因为 2018，代入得21，即为 M的轨迹为椭圆方程.由（1）知，点 4,E为椭圆 C的左偏点，将直线 4xmy被代入椭圆方程消去 x得29820my， 264890m，设 1,Axy， 2,By，则有12， 129y.则 1212278x，所以线段 B的中点坐标为 22364,9m所以线段 AB的垂直平分线所在直线方程为 2249myx令 0y得 239xm，即 23,09D所以 2241DE22121212619mABxymy所以 436E21.解：（1）令 21xJe则 xJe所以 0x时， Jx为增函数，所以 ,时， 0J所以 Jx在 ,时，单调递增，所以 0,时， Jx，即 21xe
13、（2）令 1Sxae，则 Sa当 时， ， x在 R上单调递减，不可能有两个零点，故不合题意当 0a时， Sx在 ,lna单调递减，在 1ln,a上单调递增因为 有两个零点，所以 maxll0S所以 01a此时 Se，所以 Sx在 1,lna上有且只有一个零点又当 x时， 0所以 在 l,上有且只有一个零点所以得出： 01a（3）由已知 xe， 21xe.所以 21xae.只需证明 2112 22xx.即证 211220xxee.方法一：由（2）知 0Sa， 12,0x.则*式等价于 1221xxe，即 e.因为 122ae所以 21121xxxeae成立方法二：令 112xY，则 1 1xY
14、xe.当 1x时，可得 0，所以函数 x在 1,上为减函数从而当 时 1x所以 21 2212xxxeeae成立方法三：由题意， （3）中等式等价于证明： 12事实上，由（2）知： 120,x，所以上式成立.22.解：（1）圆 C的参数方程为 cosiny（ 为参数）若 2cos等价化为 221，再由互化公式 cosx， siny得其直角坐标方程为 21xy（2）由（1）知 ,0M， ,N，设 2cos,inP，则222 2cos4sin1410PN.23.（）不等式 246fxf即为 2136x当 3x时， 13解得 3当 2， 解得 当 x时， 6x解得 43x综上， 4,3；（）等价于证明 1ab因为 , ，所以 ,， 1ab， ab若 a，命题成立；下面不妨设 b，则原命题等价于证明 事实上，由 110aba可得综上， b
