1、上海市虹口区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 已知 (,Aa， 1,2B，且 AB，则实数 a的范围是 2. 直线 )0xy与直线 20xay互相平行，则实数 3. 已知 (,， 3cos5，则 tn()4 4. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 、 、 ，则222coss5. 已知函数 0()1xf，则 1(9)f 6. 从集合 1,23随机取一个为 m，从集合 2,随机取一个为 n，则方程2xymn表示双曲线的概率为 7. 已知数列 na是公比为 q的等比数列，
2、且 2a、 4、 3成等差数列，则 q 8. 若将函数 6()fx表示成 23601()()(1)()(1)fxxaxax，则 3a的值等于 9. 如图，长方体 1ABCD的边长 AB，2AD，它的外接球是球 O，则 、 1这两点的球面距离等于 10. 椭圆的长轴长等于 m，短轴长等于 n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 11. x是不超过 x的最大整数，则方程 271()04xx满足 1x的所有实数解是 12. 函数 ()sinf，对于 123nx且 2,8n（ 0），记12 41|()|()|()(|nMffffff，则 M的最大值等于 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共
3、 20 分）13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1fx B. ()sincofxx C. arcos D. 014. 在 Rt ABC中， A，点 M、 N是线段 AC的三等分点，点 P在线段 BC上运动且满足 Pk，当 P取得最小值时，实数 k的值为（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 1815. 直线 :0lkxy与圆 28xy交于 A、 B两点，且 |42A，过点 A、 B分别作 l的垂线与 轴交于点 M、 N，则 |等于（ ）A. 2 B. 4 C. 42 D. 816. 已知数列 na的首项 1a，且 0， 146nna， nS是此数列的前 n项和，则以下结论正确的
4、是（ ）A. 不存在 和 使得 25nS B. 不存在 和 使得 2016nC. 不存在 a和 使得 017 D. 不存在 a和 使得 8S三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 1ABC， 2A，高等于 3，点 1M、 2、 1N、 2为所在线段的三等分点.（1 ）求此三棱柱的体积和三棱锥 12MN的体积；（2 ）求异面直线 12A、 所成的角的大小.18. 已知 ABC中，角 、 、 C所对应的边分别为 a、 b、 c， osinzA（ 是虚数单位）是方程 210z的根， 3a.（1 ）若 4，求边长 c的
5、值；（2 ）求 面积的最大值 .19. 平面内的“向量列” na，如果对于任意的正整数 n，均有 1nad，则称此“向量列”为“等差向量列”， d称为“公差向量”，平面内的“向量列” b，如果对于任意的正整数 n，均有1nnbq（ 0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数 q称为“公比”.（1 ）如果“向量列” na是“等差向量列”，用 1a和“ 公差向量” d表示 12na；（2 ）已知 n是“等差向量列 ”，“公差向量” (3,0)d， 1(,)， (,)nxy， b是“等比向量列”，“公比” 2q， 1(,3)b， (,nnmk，求 2b.20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线
6、为椭圆的“切线”，已知椭圆2:1xCy，点 (,)Mmn是椭圆 C上的任意一点，直线 l过点 M且是椭圆 的“切线”.（1 ）证明：过椭圆 上的点 (,)mn的“切线”方程是 12mxny；（2 ）设 A、 B是椭圆 长轴上的两个端点，点 (,)不在坐标轴上，直线 MA、 B分别交 y轴于点P、 Q，过 的椭圆 的“切线” l交 y轴于点 D，证明：点 是线段 PQ的中点；（3 ）点 (,)mn不在 x轴上，记椭圆 C的两个焦点分别为 1F和 2，判断过 的椭圆 C的“切线” l与直线 1MF、 2所成夹角是否相等？并说明理由.21. 已知函数 3()fxa（ aR， xR）， 3()1xg（
7、 R）.（1 ）如果 42是关于 的不等式 ()0f的解，求实数 a的取值范围；（2 ）判断 ()gx在31,和34,12的单调性，并说明理由；（3 ）证明：函数 f存在零点 q，使得 4732naqq成立的充要条件是34a.上海市虹口区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 已知 (,Aa， 1,2B，且 AB，则实数 a的范围是 【解析】画数轴， 2. 直线 ()0xy与直线 420xay互相平行，则实数 【解析】由 241a3. 已知 (0,)， 3cos5，则 tan()4 【解析】
8、 4tan， 1t()74. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为 、 、 ，则222coscos【解析】设三边为 a、b 、c，对角线为 d， 22abcd2sd，2s， 2cos， 222oscos也可取正方体的特殊情况去求5. 已知函数20()1xf，则 1(9)f 【解析】 12,log(),f， 13f， 11(9)(3)2ff6. 从集合 ,3随机取一个为 m，从集合 2,随机取一个为 n，则方程21xymn表示双曲线的概率为 【解析】 247. 已知数列 na是公比为 q的等比数列，且 2a、 4、 3成等差数列，则 q 【解析】 223410， 1q或 8. 若
9、将函数 6()fx表示成 236()()()(1)(1)fxxaxax，则 3a的值等于 【解析】 61， 36aC9. 如图，长方体 1ABD的边长 1AB，2AD，它的外接球是球 O，则 、 1这两点的球面距离等于 【解析】外接球半径为 1， 3，球面距离为 310. 椭圆的长轴长等于 m，短轴长等于 n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018 年 3 月 28 日推文中的性质，最大值为 2mn11. x是不超过 x的最大整数，则方程 271()04xx满足 1x的所有实数解是 【解析】当 01， 2x， ；当 ， 20， 21()4x， x，满
10、足条件的所有实数解为 0.5x或 112. 函数 ()sinf，对于 123n且 2,8nx（ ），记12 41|()|()|()(|nMxfffffxf，则 M的最大值等于 【解析】在 0,8有 4 个周期，最大值为 416二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1fx B. ()sincofxx C. arcos D. 0【解析】由 ()(fxf，选 B14. 在 Rt ABC中， A，点 M、 N是线段 AC的三等分点，点 P在线段 BC上运动且满足 Pk，当 P取得最小值时，实数 k的值为（ ）A. 12 B. 13 C.
11、 14 D. 18【解析】建系，设 (,)x， (,0)， (2,)， 29PNx， 0,3x， 94x时取到最小值，此时 14PCkB，选 C15. 直线 :lxy与圆 28xy交于 A、 B两点，且 |42A，过点 A、 B分别作 l的垂线与 轴交于点 M、 N，则 |等于（ ）A. 2 B. 4 C. 42 D. 8【解析】 AB长为直径， :10lkxy经过原点， 1k， 2MNAB，选 D16. 已知数列 na的首项 1a，且 ， 146nna， nS是此数列的前 n项和，则以下结论正确的是（ ）A. 不存在 和 使得 205nS B. 不存在 和 使得 2016nC. 不存在 a和
12、 使得 17 D. 不存在 a和 使得 8S【解析】令 1，则所有奇数项都为 1，偶数项都为 5，排除 B、C；令 1，则所有奇数项都为 2，偶数项都为 4，排除 D，故选 A. 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 1ABC， 2A，高等于 3，点 1M、 2、 1N、 2为所在线段的三等分点.（1 ）求此三棱柱的体积和三棱锥 12MN的体积；（2 ）求异面直线 12A、 所成的角的大小.【解析】（1） 132V； 1212312AMNANV（2 ）相当于正方体同一顶点的面对角线所成的角，为 18. 已知
13、ABC中，角 、 、 C所对应的边分别为 a、 b、 c， osinzA（ 是虚数单位）是方程 210z的根， 3a.（1 ）若 4，求边长 c的值；（2 ）求 面积的最大值 .【解析】（1）解为 132i， A，由正弦定理 6b， 32c；（2 ）画出ABC 的外接圆可知， 3BC时，面积最大，为 94. 19. 平面内的“向量列” na，如果对于任意的正整数 n，均有 1nad，则称此“向量列”为“等差向量列”， d称为“公差向量”，平面内的“向量列” b，如果对于任意的正整数 n，均有1nnbq（ 0），则称此“向量列”为“等比向量列”，常数 q称为“公比”.（1 ）如果“向量列” na
14、是“等差向量列”，用 1a和“ 公差向量” d表示 12na；（2 ）已知 n是“等差向量列 ”，“公差向量” (3,0)d， 1(,)， (,)nxy， b是“等比向量列”，“公比” 2q， 1(,3)b， (,nnmk，求 2b.【解析】（1） 1 1)2naa；（2 ） 1(3,)(,)(nnb ur ，错位相减求和为 (3)2n20. 如果直线与椭圆只有一个交点，称该直线为椭圆的“切线”，已知椭圆2:1xCy，点 (,)Mmn是椭圆 C上的任意一点，直线 l过点 M且是椭圆 的“切线”.（1 ）证明：过椭圆 上的点 (,)mn的“切线”方程是 12mxny；（2 ）设 A、 B是椭圆
15、长轴上的两个端点，点 (,)不在坐标轴上，直线 MA、 B分别交 y轴于点P、 Q，过 的椭圆 的“切线” l交 y轴于点 D，证明：点 是线段 PQ的中点；（3 ）点 (,)mn不在 x轴上，记椭圆 C的两个焦点分别为 1F和 2，判断过 的椭圆 C的“切线” l与直线 1MF、 2所成夹角是否相等？并说明理由.【解析】（1）设直线 ()ykmn，联立椭圆， 0，可证结论；（2 ） :(2)MAnlyxm， 2P，同理 Qny， 1Dy4QDny，即点 是线段 PQ的中点（3 ）相等， 1MFkm， 21MFnk， 2mkn切 ，由夹角公式11tan|n切 切， 2ta|F切 切 ，所以所成
16、夹角相等. 21. 已知函数 3()fx（ R， xR）， 3()1xg（ R）.（1 ）如果 42是关于 的不等式 ()0f的解，求实数 a的取值范围；（2 ）判断 ()gx在31,和34,12的单调性，并说明理由；（3 ）证明：函数 f存在零点 q，使得 4732naqq成立的充要条件是34a.【解析】（1）334()02f；（2 ）根据单调性定义分析，在34(1,2上递减，在34,1)2上递增；（3 ） “函数 ()fx存在零点 q，使得 73naqq成立”说明473231nqa成立，根据无穷等比数列相关性质， (1,)q，结合第（2）问， 31aq在 4(,上递减，在34,1)2上递增， min3()()12qag，反之亦然.
