1、2017 届上海市嘉定区高三下学期教学质量调研考试数学试卷（word版） 2017.04一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1函数 1)2(sinxy的最小正周期是 _2设 i为虚数单位，复数 i2z，则 |z_3设 )(1xf为 1xf的反函数，则 )1(f_4 nn32lim1_5若圆锥的侧面积是底面积的 2倍，则其母线与轴所成角的大小是 _6设等差数列 na的前 项和为 nS，若 35a，则 35S_7直线 tyx4,2（ 为参数）与曲线 sin2,coyx（ 为参数）的公共点的个数是
2、_8 已知双曲线 1C与双曲线 2的焦点重合， 1C的方程为 132yx，若 2C的一条渐近线的倾斜角是 1的一条渐近线的倾斜角的 2倍，则 2的方程为_9若 23)(xf，则满足 0)(xf的 的取值范围是 _10某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 32和 5现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品 B，设甲、乙两组的研发相互独立 ，则至少有一种新产品研发成功的概率为_11设等差数列 na的各项都是正数，前 n项和为 nS，公差为 d若数列 nS也是公差为 d的等差数列，则 n的通项公式为 a_12设 Rx，用 表示不超过 x的最大整数（如 23.， 576.4） ，
3、对于给定的 *Nn，定义 )1()1Cxn ，其中 ),1x，则当 3,2x时，函数 xf10)(的值域是_ 二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13命题“若 1x，则 0232x”的逆否命题是 （ ） （A）若 ，则 （B）若 0232x，则 1x（C ）若 2x，则 1x （D）若 ，则14如图，在正方体 CABD中， M、 E是A的三等分点， G、 N是 的三等分点， F、H分别是 、 M的中点，则四棱锥 GH1的左视图是（ ） （A） （B） （C） （D）15已知 C是边长为 4的
4、等边三角形， D、 P是 AB内部两点，且满足)(41D， AP81，则 的面积为（ ） （A） 3 （B ） 3 （C） 23 （D） 316已知 )(xf是偶函数，且 )(xf在 ),0上是增函数，若 )2()1(xfaf在1,2上恒成立，则实数 a的取值范围是（ ） （A） , （B） ,2 （C） , （D） 0,三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）在 ABC中，内角 、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知 2ba，4c， sin2i（
5、1 ）求 的面积 S；（2 ）求 )i(的值DAB CD1FHE M NGA1B1 C118 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如图，在长方体 1DCBA中， ， 5BC， 41A，平面 截长方体得到一个矩形 EFGH，且 21F， 5GH（1 ）求截面 把该长方体分成的两部分体积之比；（2 ）求直线 与平面 所成角的正弦值19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）如图，已知椭圆 C： 2byax（ 0a）过点 23,1，两个焦点为 )0,1(F和 ),(2圆O的方程为 22yx（1 ）求椭圆 的标准方程；（2 ）过
6、 1F且斜率为 k（ 0）的动直线 l与椭圆 C交于 A、 B两点，与圆 O交于 P、 Q两点（点A、 P在 x轴上方） ，当 |2A， |2BF， |A成等差数列时，求弦 PQ的长20 （本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）如果函数 )(xfy的定义域为 R，且存在实常数 a，使得对于定义域内任意 x，都有)(axf成立，则称此函数 )(xf具有“ )(P性质” （1 ）判断函数 cos是否具有 “ 性质” ，若具有 “ )(性质” ，求出所有 a的值的集合；若不具有“ )(P性质” ，请说明理由；（2 ）已知函数 )(xfy具有
7、 “ )0(性质” ，且当 0x时， 2)()mxf，求函数 )(xfy在区间 1,0上的值域；（3 ）已知函数 )(g既具有 “ )(P性质” ，又具有“ )2(P性质” ，且当 1时，|)(xg，若函数 xy的图像与直线 pxy有 017个公共点，求实数 p的值A BCDEFHGA1 B1C1D1yF1 F2OAB xPQ21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）给定数列 na，若满足 a（ 0且 1） ，对于任意的 *,Nmn，都有 mna，则称数列 n为指数数列（1 ）已知数列 n， b的通项公式分别为 123na， nb
8、3，试判断 n， b是不是指数数列（需说明理由） ；（2 ）若数列 na满足： 21， 4， nn12，证明： na是指数数列；（3 ）若数列 是指数数列， 3ta（ *Nt） ，证明：数列 中任意三项都不能构成等差数列2016-2017 学年度嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）1 2 2 1 3 1 4 3 5 6 6 27 8 yx 9 ),( 10 1 11 412n 12 4,130,二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）13 D 14C
9、15A 16B三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1 ）因为 BAsin2i，所以由正弦定理得 ba， （1 分）又 ba，故 4a， b， （3 分）所以 cosc，因为 ),0(A，所以 45sinA（5 分）所以 15421in2S（6 分）（2 ）因为 5sA， cos，所以 8ini ， 87sinco222AA，（4 分）15s2nB，因为 ab，所以 B为锐角，所以 cB（或由 ca得到 AB2，872cos)co(A） （5 分）所以， 3217sininsinA （8 分）18 （本
10、题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1 ）由题意，平面 把长方体分成两个高为 5的直四棱柱， 704)(1)(21111 DHEAVFGDEHA， （2 分）96321 BCBCB， （4 分）所以， 9711GFBHEDAV（6 分）（2 ）解法一：作 AM，垂足为 ，由题意， HG平面 1AB，故 MHG，所以 平面 （2 分）因为 14EHS梯 形 ， 1EAS，所以 0AES， ）因为 5，所以 （4 分）又 532121FDF， （6 分）设直线 A与平面 所成角为 ，则 154sinFM（7 分）所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 （8 分）解
11、法二：以 DA、 C、 1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，则)0,5(， )0,5(H， )4,2(E， )4,20(F， （2 分）故 FE， 3， （3 分）设平面 一个法向量为 ),(zyxn，则 ,HEn即 ,043,5zyx所以可取 ),40(n （5 分）设直线 AF与平面 所成角为 ，则 15|siAF （7 分）所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 4 （8 分）19 （本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）（1 ）由题意， c， （1 分）设椭圆 C的方程为 2ayx，将点 3,1代入，1)(492a，解得 4（ 2舍
12、去） ， （3 分）所以，椭圆 的方程为 132yx （4 分）（2 ）由椭圆定义， |21AF， 4|21BF，两式相加，得8| 22BAF，因为 ， ， A成等差数列，所以|，于是 8|2，即 38|2 （3 分）设 ),(0yx，由 ,134,964)(20yx解得 15,4B，（5 分）（或设 )sin,co2(B，则 96sin3)cos(2，解得 32cos， 35sin，所以315,4） 所以， k，直线 l的方程为 )1(5xy，即 015yx，（6 分）圆 O的方程为 42yx，圆心 O到直线 l的距离 4d， （7 分）此时，弦 PQ的长 27|d （8 分）20 （本题满
13、分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分）（1 ）由题意， )cos()cs(xax，即 x)cos(对于任意实数 成立， （1 分）由诱导公式 k2，函数 xycos具有“ )(aP性质” ，且所有 a的值的集合为,Zka （4 分）（2 ）因为函数 )(xfy具有 “ )0(P性质” ，所以 )(xf，即 )(xfy是偶函数 （1 分）所以当 0时， ， 22)(mxf （2 分）当 m时，函数 )(f在 1,上递增，值域为 )1(, （3 分）当 21时，函数 xfy在 ,0m上递减，在 ,上递增， 0)(infy，2max)()fy，值
14、域为 )(2 （4 分）同理，当 1时， minfy， 2max)0(fy，值域为 ,2m（5 分）当 时，函数 )(xf在 1,0上递减，值域为 ,1 （6 分）（3 ）由题意 )(g，函数 )(g偶函数，又 )(xgg，所以函数 y是以 2为周期的函数 （1 分）因为当 1x时， |)(，所以当 3x时， 2x， |2|x， （2 分）一般地，当 kk（ Z）时， |)(kg （3 分）作出函数 )(gy的图像，可知，当 0p时，函数 )(y与直线 pxy交于点 )0,(k( Z)，即有无数个交点，不合题意 （4 分）当 0p时，在区间 2016,上，函数 )(xy有 18个周期，要使函数
15、 g的图像与直线x有 7个交点，则直线在每个周期内都有 2个交点，且第 2017个交点恰好为 )1,27(，所以21同理，当 0p时， 2017综上， （6 分）（ p的值漏掉一个扣 1分）21 （本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）（1 ）对于数列 na， 3， 62a， 3，因为 2123aa，所以 n不是指数数列 （2 分）对于数列 b，对任意 *,Nm，因为 mnnmn bb，所以 是指数数列 （4 分）（2 ） 由题意， )(112naa，所以数列 1a是首项为 212a，公比为 的等比数列 （2 分）所以 nna1所以，
16、 2)()()( 11221 nn2，即 a的通项公式为 na（ *N） （5 分）所以 mnnmna，故 n是指数数列 （6 分）（3 ）因为数列 是指数数列，故对于任意的 *,，有 mna，令 1，则nnata4311，所以 n是首项为 43t，公比为 43t的等比数列，所以， nnta43 （2 分）假设数列 n中存在三项 u， v， wa构成等差数列，不妨设 wvu，则由 wuva2，得wuttt 43432，所以 uuwuvvtt )()()()4( ， （3 分）当 为偶数时， vt32是偶数，而 wt是偶数， uwt)(是奇数，故 uuwuvvwttt )()4()()( 不能成立； （5 分）当 为奇数时， vt是偶数，而 uwt)4(是奇数， uwt)3(是偶数，故 uuwuvvwttt )3()()3()4(2 也不能成立（7 分）所以，对任意 *N， uwuwvv ttt )(42 不能成立，即数列 na的任意三项都不成构成等差数列 （8 分）（另证：因为对任意 *t， uvvwtt)3()(一定是偶数，而 4t与 3为一奇一偶，故uwt)4(与 uw)3(也为一奇一偶，故等式右边一定是奇数，等式不能成立 ）
