1、数值分析课程设计论文1课程设计题目第一题:计算国土面积图 3.8 是某国的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西向东方向为 轴，由南到北方向为 轴，选择方便的原点，得到了表 3.6、表 3.7 的地xy图测量数据，比例尺为 30 毫米（数据单位）：100 公里（实际单位）。试由测量数据采用插值的方法产生一张需要的地图，计算该国国土的近似面积，与它的精确值156.6500 万平方公里比较。表 3.6、表 3.7 见附件。表3.6 下边疆采样坐标x y17 29918 29820 28831 27341 26258 25466 23472 22072 20769 19157 17
2、5数值分析课程设计论文260 16671 160104 150130 137146 121160 117163 106168 83179 64196 63223 56258 50282 52307 46315 38330 32352 21377 21377 16392 14428 34462 43501 46524 60533 75555 95542 114550 138561 139574 133590 133599 139610 157635 162644 174649 188669 200671 207677 205678 206696 216720 218723 225数值分析课程设计
3、论文3表3.7 上边疆采样坐标x y723 225722 220710 240687 256676 256659 241647 245630 237619 245623 254626 273633 309608 308596 315581 315558 290537 281511 270484 270464 272456 278449 290434 293425 301411 303394 308368 297351 303332 311329 337312 342284 353281 358263 365251 356249 347244 346240 332247 314233 29722
4、2 290217 297209 298数值分析课程设计论文4189 301180 303169 307165 314165 325150 328138 332138 337132 336127 341122 338102 33286 32865 32264 31654 31432 31428 30717 299MATLAB 求解不规则图形面积 摘 要：本文建立在数值分析的理论基础上，对原有的数据进行三次样条插值，运用梯形公式求解面积，能够在 MATLAB 环境中运行，给出了理论分析、程序清单以及计算结果。更重要的是，还有详细的对算法的框图说明。关键词：MATLAB 不规则图形面积 三次样条插值
5、 复化梯形公式问题提出图 3.8 是某国的地图，为了计算它的国土面积，首先对地图作如下测量：以由西向东方向为 轴，由南到北方向为 轴，选择方便的原点，得到了表 3.6、表 3.7 的地xy图测量数据，比例尺为 30（数据单位）：100 公里（实际单位）。试由测量数据采用插值的方法产生一张需要的地图，计算该国国土的近似面积，与它的精确值 156.6500万平方公里比较。表 3.6、表 3.7 见附件。数值分析课程设计论文5问题解决1用 MATLAB 软件描点绘出地图的大概轮廓及三次样条插值作图原始数据点所成图像 三次样条插值所成图像观察图形，对三次样条插值后的图和原始数据图的比较，可得三次样条插
6、值后的图更加接近真实数据所形成的图形。图中，地图的面积记为 s，国土面积记为 S，上边疆与 X 轴围成的面积记为 s2，下边疆与 X 轴围成的面积记为 s1。从下面图中可以得出，s=s1-s1，再通过比例转化得 S。观察图形发现 4 个特殊段与 X 轴围成的面积，分别记为 s11（ 55x72）、s12 （542x555）、s21（619x633）、s22（240x247）,对特殊段的处理见下。 数值分析课程设计论文6地图面积 s图 s2 图 s1原始图像和三次样条插值的绘图代码可以参照附录 2 编写。2对特殊段面积的计算s11(57x72) s12（542x555）数值分析课程设计论文7s2
7、1（619x633） s22(240x247)将特殊段分割出去，对分割出的数据进行三次样条插值 (1)，再用复化梯形公式 （2）求出特殊段 s11,s12,s21,s22 的值。由于这四个特殊段面积的计算方法类同，所以这里就以 s11 的计算为例。s11 的计算：A2=xlsread(第一题数据,下边疆, A11:B13);x2=A2(:,1);y2=A2(:,2);x21=max(x2):-0.001:min(x2);y2i1=interp1(x2,y2,x21,spline);s11=-trapz(x21,y2i1); %由于 x21 的值是降序的所以符号取反的结果才是面积s11计算结果为
8、：s11 =2.7150e+003s12 =1.3585e+003s21 =3.8407e+003s22 =2.2610e+0033计算 s1 和 s2数值分析课程设计论文8s1 中包含 s11 和 s12 的图s2 中包含 s21 和 s22 的图由于 s1 和 s2 的计算方法类同，所以这就以 s1 的计算为例。对分段的数据进行三次样条插值（除特殊段以外，具体分割见附录 1 下边疆），每段都运用复化梯形公式并求出和记为 s10。观察图形可得出，s10 与 s1 相比就只多算了两个特殊段的面积s11，s12，所以 s1=s10-s11-s12。 计算 s1 的关键代码：s10=trapz(x
9、10,y1i)+trapz(x30,y3i)+trapz(x40,y4i) +trapz(x60,y6i);%用复化梯形公式求除特殊段以外的各段与 X 轴围成的面积并求和 计算结果为：数值分析课程设计论文9s1 =7.4597e+004s2 =2.1257e+0054计算 S从以上的过程已经得出 s=s2-s1，还要将 s 按比例转化所得就是国土面积 S。s=s2-s1；S=s*100/9；S计算结果为：S =1.5331e+006（平方公里）5.计算相对误差 t相对误差的求解公式为：065.1teS计算结果为：t =0.02136误差分析误差的产生主要来源于数据点的个数有点少以及数据点之间不
10、够均匀，这样三次样条插值后的数据作图就会与实际地图和地形相比有较大的误差。7分析和总结由于 t 的值较小，所以以上的计算结果 S=1.5331e+006 平方公里可以作为国土面积的近似值。在以后的不规则图形面积的计算中，此方法可以考虑选择使用。由于梯形公式只有一次代数精确度 （3） ，所以会产生计算的结果不够精确。但要很精确求出不规则图形面积，就必须测量出更多的数据点以及选用代数精确度更高的算法，才能够更加减少插值和计算上的误差。至此，国土面积计算完成。数值分析课程设计论文10注释：（1）三次样条插值：参照 参考文献2 4650 页（2）复化梯形公式：参照 参考文献2 9091 页（3）代数精
11、确度：参照 参考文献2 88 页参考文献：1李玉莉等，MATLAB 函数速查手册， 北京：化学工业出版社， 20102袁东锦，计算方法数值分析， 南京：南京师范大学出版社， 20073蒲俊 吉家锋 伊良忠，MATLAB6.0 数学手册，上海浦东：浦东电子出版社， 2002附录：1对附件数据的分段下边疆: A03:B10;A11:B13;%(特殊段 s11)A13:B31;A32:B39;A39:B40;%(特殊段 s12)A40:B56;上边疆: A03:B11;A11:B14;%(特殊段 s21)A14:B40;A40:B41;%(特殊段 s22)A41:B49;A50:B52;A53:B6
12、4;2求国土面积及相对误差的完整代码A1=xlsread(第一题数据,下边疆,A03:B10);A2=xlsread(第一题数据,下边疆,A11:B13); A3=xlsread(第一题数据,下边疆,A13:B31);A4=xlsread(第一题数据,下边疆,A32:B39);A5=xlsread(第一题数据,下边疆,A39:B40);数值分析课程设计论文11A6=xlsread(第一题数据,下边疆,A40:B56);%导入下边疆的实验数据并分好计算的数据段x1=A1(:,1);x2=A2(:,1);x3=A3(:,1);x4=A4(:,1);x5=A5(:,1);x6=A6(:,1); y1
13、=A1(:,2);y2=A2(:,2);y3=A3(:,2);y4=A4(:,2);y5=A5(:,2);y6=A6(:,2); %给相应的变量赋值x10=min(x1):0.001:max(x1); %对每一段数据点按连结顺序进行点横坐标的加密处理x20=max(x2):-0.001:min(x2); x30=min(x3):0.001:max(x3);x40=min(x4):0.001:max(x4);x50=max(x5):-0.001:min(x5);x60=min(x6):0.001:max(x6);y1i=interp1(x1,y1,x10,spline); %对数据进行三次样条插
14、值y2i=interp1(x2,y2,x20,spline); y3i=interp1(x3,y3,x30,spline);y4i=interp1(x4,y4,x40,spline);y5i=interp1(x5,y5,x50,spline);y6i=interp1(x6,y6,x60,spline);x=x10 x20 x30 x40 x50 x60;y=y1i y2i y3i y4i y5i y6i;%对三次样条插值后的数据按连结顺序合并s10=trapz(x10,y1i)+trapz(x30,y3i)+trapz(x40,y4i) +trapz(x60,y6i);%用梯形公式求除特殊段以
15、外的各段与 X 轴围成的面积并求和s11=-trapz(x20,y2i);%对特殊段面积 s11 的计算s12=-trapz(x50,y5i);%对特殊段面积 s12 的计算s1=s10-s11-s12;%计算下疆界与 X 轴围成面积的精确值plot(x,y)hold on;A1=xlsread(第一题数据,上边疆,A03:B11);A2=xlsread(第一题数据,上边疆,A11:B14); A3=xlsread(第一题数据,上边疆,A14:B40);A4=xlsread(第一题数据,上边疆,A40:B41);A5=xlsread(第一题数据,上边疆,A41:B49);A6=xlsread(
16、第一题数据,上边疆,A50:B52);A7=xlsread(第一题数据,上边疆,A53:B64);%导入上边疆的实验数据并分好计算的数据段x1=A1(:,1);x2=A2(:,1);x3=A3(:,1);x4=A4(:,1);x5=A5(:,1);x6=A6(:,1);x7=A7(:,1); y1=A1(:,2);y2=A2(:,2);y3=A3(:,2);y4=A4(:,2);y5=A5(:,2);y6=A6(:,2);y7=A7(:,2); %给相应的变量赋值x10=min(x1):0.001:max(x1); %对每一段数据点按连结顺序进行点横坐标的加密处理x20=max(x2):-0.
17、001:min(x2); x30=min(x3):0.001:max(x3);x40=max(x4):-0.001:min(x4);x50=min(x5):0.001:max(x5);x60=min(x6):0.001:max(x6);数值分析课程设计论文12x70=min(x7):0.001:max(x7);y1i=interp1(x1,y1,x10,spline); %对数据进行三次样条插值y2i=interp1(x2,y2,x20,spline); y3i=interp1(x3,y3,x30,spline);y4i=interp1(x4,y4,x40,spline);y5i=interp
18、1(x5,y5,x50,spline);y6i=interp1(x6,y6,x60,spline);y7i=interp1(x7,y7,x70,spline);x=x70 x60 x50 x40 x30 x20 x10;y=y7i y6i y5i y4i y3i y2i y1i;%对三次样条插值后的数据按连结顺序合并s20=trapz(x10,y1i)+trapz(x30,y3i)+trapz(x50,y5i)+trapz(x60,y6i)+trapz(x70,y7i);% 用梯形公式求除特殊段以外的各段与 X 轴围成的面积并求和s21=-trapz(x20,y2i);%对特殊段面积 s21 的计算s22=-trapz(x40,y4i);%对特殊段面积 s22 的计算s2=s20-s21-s22;%计算上疆界与 X 轴围成面积的精确值s=s2-s1；S=s*100/9； %计算实际国土面积Splot(x,y)grid on;t=abs(1.5665e+006-S)/1.5665e+006;%计算相对误差t
