1、 大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题 中横线上。每小 题 2 分，共 10 分）1. 若 ，则 _。021503x2若齐次线性方程组 只有零解， 则 应满足 。 0321x3已知矩阵 ，满足 ，则 与 分别是 阶矩阵。nsijcCBA)(， CBA4矩阵 的行向量组线性 。321a5 阶方阵 满足 ，则 。nA0E1A二、判断正误（正确的在括号内填 “”，错误的在括号内填“”。每小 题 2 分，共 10 分）1. 若行列式 中每个元素都大于零，则 。（ ）DD2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。 （ ） 3. 向量 组 中，如果 与 对应的分量成比例，则向量组 线
2、性相关。 （ ma， 211ma sa， 21）4. ，则 。（ ）01AA15. 若 为可逆矩 阵 的特征 值， 则 的特征值为 。 ( )1三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题 2 分，共 10 分) 1. 设 为 阶矩阵，且 ，则 （ ）。An2AT 421n12n2. 维向量组 （3 s n）线性无关的充要条件是（ ）。， 21 中任意两个向量都线性无关s， 中存在一个向量不能用其余向量线性表示s， 21 中任一个向量都不能用其余向量线性表示s， 21 中不含零向量s， 3. 下列命题中正确的是( )。 任意 个 维向量线性相关n1 任意 个 维向
3、量线性无关 任意 个 维向量线性相关 任意 个 维向量线性无关4. 设 ， 均为 n 阶方阵，下面结论正确的是( )。AB 若 ， 均可逆， 则 可逆 若 ， 均可逆， 则 可逆BAABAB 若 可逆， 则 可逆 若 可逆，则 ， 均可逆5. 若 是线性方程组 的基础解系，则 是 的（ ）4321， 043210 解向量 基础 解系 通解 A 的行向量四、计算题 ( 每小题 9 分，共 63 分)1. 计算行列式 。xabcdx解 3)(01)(1)( xdcbaxxdcbdcbaxdcbxdcbax dcbaxcbxddcxbax 2. 设 ，且 求 。BA2,4103B解. ，E)2( 1
4、2)2(1EA 3245)2(1AE3. 设 且矩阵 满足关系式 求 。,101B20134C(),XCBE4. 问 取何值时，下列向量组线 性相关？ 。a12312,aa5. 为何值时 ，线性方程组 有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解23321x时求其通解。 当 且 时，方程组有唯一解；12当 时 方程组无解当 时，有无穷多组解，通解为 100221c6. 设 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向.7103 , ,3192 ,0441 量用该极大无关组线性表示。7. 设 ，求 的特征值及对应的特征向量。102AA五、证明题 (7 分)若 是 阶方阵，且 证明 。其中 为单位
5、矩阵。n，I，10IAI大学线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5 2. 3. 4. 相关 1ns，5. EA3二、判断正误1. 2. 3. 4. 5. 三、单项选择题1. 2. 3. 4. 5. 四、计算题1. 3)(01)(1)( xdcbaxxdcbdcbaxdcbxdcbax dcbaxcbxddcxbax 2.，ABE)2( 12)2(1E 3245)2(1AEB3. 120011200123401)(02134 BCEXBCBC，4. 当 或 时，向量组 线性相)2()12812321 aaa， 1a321a，关。5. 当 且 时，方程组有唯一解；12当 时 方程组无解当 时，有
6、无穷多组解，通解为 100221c6. 012 1306247130427130942)(321aa，则 ，其中 构成极大无关 组，34321aar， 321a， 3214aa7. 0)(12003AE特征值 ，对于 11， ，特征向量为321 02AE10lk五、证明题 IIIAIA ， 020一、选择题（本题共 4 小题，每小 题 4 分，满分 16 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设 ， 为 n 阶方阵，满足等式 ，则必有（ ）AB0AB(A) 或 ; (B) ； （C） 或 ; (D) 。000BA2、 和 均为 阶矩阵，且 ，则必有（ ）22()(A) ； (B
7、) ； （C） . (D) 。AEBAB3、设 为 矩阵， 齐次方程组 仅有零解的充要条件是（ ）nm0x(A) 的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关；（C） 的行向量线性无关； (D) 的行向量线性相关.4、 阶矩阵 为奇异矩阵 的充要条件是（ ）(A) 的秩小于 ； (B) ；An0A(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共 4 小题，每 题 4 分，满分 16 分）5、若 4 阶矩阵 的行列式 ， 是 A 的伴随矩阵，则 = 。5 A6、 为 阶矩阵，且 ，则 。An20AE1(2)E7、已知方程组 无解， 则 。431213xaa8、二次型 是
8、正定的，则 的取值范围是 2231313(,)fxtxt。三、计算题（本题共 2 小题，每 题 8 分，满分 16 分）9、计算行列式 11xDy10、计算 阶行列式n121233nn nxxD四、证明题（本题共 2 小题，每小 题 8 分，满分 16 分。写出证明过程）11、若向量组 线性相关，向量 组 线 性无关。 证明：13,234,(1) 能有 线性表出；12,(2) 不能由 线性表出。413,12、设 是 阶矩方阵， 是 阶单位矩阵， 可逆，且 。AnEnEA1()(fAEA证明（1） ；()(2Ef（2） 。A五、解答题（本题共 3 小题，每小 题 12 分，满分 32 分。解答应
9、写出文字说明或演算步骤）13、设 ，求一个正交矩阵 使得 为对角矩阵。20AP1A14、已知方程组 与方程组 有公共解。04231xax 1231ax 求 的值。a15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 ， ， 是它的三个解向量，且123，543214321求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空题5、-125; 6、 ； 7、-1； 8、 。253t三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得： 011xDy第二列减第一列，第四列减第三列得： （4 分）01xy按第一行展开得 10xDy按第三列展开得。 （4 分）201x
10、yy10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子 ，再通 过行列式的变换化为nix13上三角形行列式（4 分）2123nni nxxDx2103nnix（4 分）13nix四、证明题11、证明：(1)、 因为 线性无关，所以 线性无关。 ，32,， 32，又 线性相关，故 能由 线性表出。 (4 分)31， 1，123()r， ，（2）、（反正法）若不，则 能由 线性表出，4321,，不妨设 。3214kk由（1）知， 能由 线性表出，不妨设 。321t所以 ，324)(kk这表明 线性相关，矛盾。 432,，12、证明 （1） 1()()()EfAEAEA（4 分）()()2EA（2）
11、 1()()()fff由（1）得： ，代入上式得12EAE1 1()()()()()()22f AEAEA （4 分）五、解答题13、解：（1）由 得 的特征值为 ， ， 。 （4 分）0EA1235（2） 的特征向量为 ，11的特征向量为 ，220的特征向量为 。 （3 分）3531（3）因为特征值不相等，则 正交。 （2 分）123,（4）将 单位化得 ， ， （2 分）123,10p21p301（5）取 12301, 2Pp（6） （1 分）1025PA14、解：该非齐次线性方程组 对应的齐次方程 组为bx0x因 ，则齐次线性方程组的基础解系有 1 个非零解构成，即任何一个非零解都是它的
12、3)(AR基础解系。 （5 分）另一方面，记向量 ，则)(231 022321 bAA直接计算得 ， 就是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构0)6,543(T知，原方程组的通解为， 。 （7 分）543261kxRk15、解：将与联立得非齐次线性方程组:.12,04,31321ax 若此非齐次线性方程组有解, 则与有公共解, 且的解即为所求全部公共解. 对的增广矩阵 作初等行变换得:A. （4 分）12104a110)(2aa1当 时，有 ，方程 组有解, 即与有公共解, 其全部公共解即a()3rA为的通解，此时，01A则方程组为齐次线性方程组，其基础解系为: ,1所以 与的全部公
13、共解为 ，k 为任意常数. （4 分）102 当 时，有 ，方程组有唯一解, 此时a()3rA，01A故方程组的解为: , 即与有唯一公共解 . （4 分）1 01x线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共 28 分)、 单项选择题（本大题共 14 小题，每小 题 2 分，共 28 分）在每小 题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在 题后的括号内。 错选或未选均无分。1.设行列式 =m， =n，则行列式 等于（ ）a12a132a1213A. m+n B. - (m+n)C. n- m D. m- n2.设矩阵 A= ，则 A- 1等于（ ）1023A. B. 3012 1
14、023C. D. 1302 12033.设矩阵 A= ，A*是 A 的伴随矩阵，则 A *中位于（1，2）的元素是（ ）31024A. 6 B. 6C. 2 D. 24.设 A 是方阵，如有矩阵关系式 AB=AC，则必有（ ）A. A =0 B. B C 时 A=0C. A 0 时 B=C D. |A| 0 时 B=C5.已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ ）A. 1 B. 2C. 3 D. 46.设两个向量组 1，2，s和 1，2，s均线性相关，则（ ）A.有不全为 0 的数 1，2，s使 11+22+ ss=0 和 11+22+ ss=0B.有不全为 0 的数
15、1，2，s使 1（1+1）+2（2+2）+ s（s+s）=0C.有不全为 0 的数 1，2，s使 1（1- 1）+2（2- 2）+ s（s- s）=0D.有不全为 0 的数 1，2，s和不全为 0 的数 1，2，s使 11+22+ ss=0 和11+22+ ss=07.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（ ）A.所有 r- 1 阶 子式都不为 0 B.所有 r- 1 阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0 D.所有 r 阶 子式都不为 08.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组， 1，2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（ ）A.1+2是 Ax=0 的一个解 B. 1+ 2是 A
16、x=b 的一个解C.1-2是 Ax=0 的一个解 D.21-2是 Ax=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（ ）A.秩(A )312.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）A.|A|2必为 1 B.|A|必为 1C.A- 1=AT D.A 的行（列）向量 组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵， B=CTAC.则（ ）A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征 值D. A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ ）A. B.234 3426C. D.1035 10第二部分 非选择题（共 72 分）二、填空题（本
17、大题共 10 小题 ，每小 题 2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15. .13569216.设 A= ，B= .则 A+2B= .1123417.设 A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元素 aij的代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则(a 11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4， 6，a）线性相关， 则 a= .19.设 A 是 34 矩阵，其秩为 3，若 1，2为非齐次线性方程
18、组 Ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为 .20.设 A 是 mn 矩阵，A 的秩为 r(n)，则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量 、的长度依次为 2 和 3，则向量 +与 - 的内积（ +，- ）= .22.设 3 阶矩阵 A 的行列式|A|=8，已知 A 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为 .23.设矩阵 A= ，已知 = 是它的一个特征向量，则 所对应的特征值为 .016328124.设实二次型 f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4，正 惯性指数为 3，则其规范形为 .三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共
19、42 分）25.设 A= ，B= .求（1）AB T；（2）|4A|.12034234026.试计算行列式 .5132027.设矩阵 A= ，求矩阵 B 使其满足矩阵方程 AB=A+2B.412328.给定向量组 1= ，2= ，3= ，4= .03140219试判断 4是否为 1，2，3的线性组合；若是， 则求出组合系数。29.设矩阵 A= .06334求：（1）秩（A）；（2）A 的列向量组的一个最大 线性无关组。30.设矩阵 A= 的全部特征值为 1，1 和 - 8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D，使 T- 1AT=D.023431.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=
20、 ，xxx123123244并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）32.设方阵 A 满足 A3=0，试证 明 E- A 可逆，且（ E- A）- 1=E+A+A2.33.设 0是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解， 1，2是其导出组 Ax=0 的一个基础解系.试证明（1）1=0+1，2=0+2均是 Ax=b 的解；（2）0，1，2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共 14 小题，每小 题 2 分，共 28 分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（
21、本大题共 10 空，每空 2 分，共 20 分）15. 6 16. 17. 4 18. 10 19. 1+c(2- 1)（或 2+c(2- 1)），c 为任意常数37120. n- r 21. 5 22. 2 23. 1 24. zz12342三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分）25.解（1）AB T= = .103428103（2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|= . 所以|4A |=64（- 2）=- 128041226.解 = =3501351300510516206253014.27.解 AB=A+2B 即（A - 2E）B=A，而（A- 2E）-
22、 1= 014356.所以 B=(A- 2E)- 1A= =3421086912.28.解一 301102495123 35081410352所以 4=21+2+3，组合系数为（ 2，1，1）. 10,解二 考虑 4=x11+x22+x33，即 0349213x.方程组有唯一解（2，1，1） T，组合系数为（2， 1，1）.29.解 对矩阵 A 施行初等行 变换A =B. 063289 0203836171203831（1）秩（B）=3，所以秩（ A）=秩（B）=3.（2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而 B 是阶梯形，B 的第 1、2、4 列是 B 的列向量组的一个最大线性无
23、关组，故 A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量 组的一个最大线性无关组。（A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）30.解 A 的属于特征值 =1 的 2 个线性无关的特征向量为1=（2，- 1，0）T， 2=（2，0，1）T. 经正交标准化，得 1= ，2= .50/5143/=-8 的一个特征向量为 3= ，经单位化得 3=22/.所求正交矩阵为 T= . 对角矩阵 D=5154230/108.（也可取 T= .）2515324/31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2- 2x3）2- 2x22+4x2x3- 7x32=（x1+2x2- 2x3）2-
24、 2（x2-x3）2- 5x32.设 ，即 ，因其系数矩阵 C= 可逆，故此 线性变yx33y13 10换满秩。经此变换即得 f(x1，x2，x3)的标准形 y12- 2y22- 5y32 .四、证明题（本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分）32.证 由于（E - A）（E+A+A2）=E- A3=E，所以 E- A 可逆，且（E - A）- 1= E+A+A2 .33.证 由假设 A0=b，A1=0，A2=0.（1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理 A2= b， 所以 1，2是 Ax=b 的 2 个解。（2）考虑 l00+l11+l22=0， 即 （l0+l1+l2）0+l11+l22=0.则 l0+l1+l2=0，否则 0将是 Ax=0 的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设， 1，2线性无关，所以 l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以 0，1，2线性无关。您好，欢迎您阅读我的文章，本 WORD 文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。
