1、2018 届百校联盟 TOP20 三月联考（全国 II 卷）数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则集合 的子集2|80AxNx|28xBAB个数为（ ）A. B. C. D. 234【答案】D【解析】根据题意， ，则2|80,1234,|3xxx，3,4AB所以集合 的子集个数为 4.故选 D.2已知 是虚数单位， ，则复数 （ ）i432ziizA. B. C. D. 10510510i【答案】C【解析】因为 ，所以 .432izii25105iizi故选 C.3古代数学名著张丘建算经 中曾出现过高息借贷的题目： “今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多
2、一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息 尺1绢，过期第二天利息是 尺，这样，每天利息比前一天增多 尺，若过期 天，欠债210方共纳利息为（ ）A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺104950050【答案】D【解析】每天的利息构成一个首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以共纳利息为（尺）.23故选 D.4某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（ ）A. 种
3、 B. 种 C. 种 D. 种918236【答案】B【解析】若种植 2 块西红柿，则他们在 13，14 或 24 位，其中两位是黄瓜和茄子，所以共有 种种植方式；36若种植 2 块黄瓜或 2 块茄子也是 3 种种植方式，所以一共 种.6318故选 B.5函数 的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的2cos3incosfxx，得到函数 的图象，则 时， 的取值范围是（ ）12g0,4gxA. B. C. D. 30,1,213,231,2【答案】A【解析】由题意， ,由函数图象变 1sin62cosxfxix换可得 ，1sin462gx因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .0,7,xgx30,
4、2故选 A.6已知 为坐标原点，等轴双曲线 的左，右顶点分别为 ， O22:Cya1A，若双曲线 的一条渐近线上存在一点 ，使得 ，且2ACP20OAP的面积为 ，则双曲线 的方程为（ ）1P2A. B. C. D. 28xy24xy2xy21xy【答案】B【解析】根据题意，等轴双曲线 的渐近线方程为 ，220ax不妨设 ，设 的中点为 ，由,Pt2AD，2220,OOPPA又 ,所以 ，12D/,a又 ，所以双曲线的方程为 .12 2,4PASa24xy故选 B.7执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ）TA. B. C. D. 19012【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化
5、如下： 1,1,10,23siis不成立，输出3904 1s【考点】程序框图8某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 86483【答案】C【解析】根据给定的三视图可知，该几何体为如图（1）所示的几何体，是一个斜三棱柱，过点 D 作 AC 的平行线分别交 于点 E,F，因为 平面 ，截1,ACBD1AC取 后，补到几何体左侧，使得 与 重合，构造一个以 为底BAFE 1 EF面，以 为高的直三棱柱，如图（2）所示，所以 .1 V24点睛: 思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体
6、的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；画出整体，然后再根据三视图进行调整.9当 时，下列有关函数 ， 的结论正2,x3cos2fxx32gx确的个数为（ ） 是偶函数；f 与 有相同的对称中心；xg函数 与 的图象交点的横坐标之和为 ；yfyx0函数 与 的图象交点的纵坐标之和为 .x 92A. B. C. D. 1234【答案】C【解析】根据题意， ，故不正确；fxf.所以 ，函数 关于点cosc
7、os22fx， 3fxffx对称，根据图象的平移，可得 的图象也关于点 对称，故30, 32g0,2正确；令 ，得 ，解得 或 .由 ，所以 fxgcosx0xcos1,x和 .所以横坐标之和为 0，纵坐标之和为 ，3922gg故正确，故选 C.10已知 为坐标原点，平行四边形 内接于椭圆 ，OABCD2:10xyab点 ， 分别为 ， 的中点，且 ， 的斜率之积为 ，则椭圆EFABOEF34的离心率为（ ）A. B. C. D. 12345【答案】A【解析】根据平行四边形的几何特征，A 和 C，D 和 B 关于原点对称，所以 为坐标原点，所以 ，/,/,DEOBF,AEOAFkk设 ，所以0
8、0Axyxyx.2202 20001ADB xxbabkxx a所以 ，所以 ，所以离心率为 .234ba214ca2故选 A.11如图： 是圆锥底面圆的直径， ， 是圆锥的两种母线， 为底面ABPABP圆的中心，过 的中点 作平行于 的平面 ，使得平面 与底面圆的交线长为PD，沿圆锥侧面连接 点和 点，当曲线段 长度的最小值为 时，则该圆4 D32A锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）A. B. C. D. 423924【答案】D【解析】根据线面平行的性质定理，平面 与底面圆的交线一定经过底面圆心 ，所以底面圆P的半径为 2，设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 ，如图，曲
9、线段 AD 的最小值为2线段 AD，所以 ，所以 ，所以3ADP221314cosPAA，因为底面圆的周长为 ，所以母线长为 6， ，根据图形，球心6042一定位于 所在直线上，设球心为 ，半径为 ，所以 ，P OR22()PBR所以 ，所以 .22(4)R924故选 D.点睛：（1）曲面上两点距离的最小值，一般的思路是化曲为直，即将平面展开求两点连线即可.（2）与球有关的组合体，注意运用性质 ， 为底面的外心.221RrO12已知函数 ， ，存在 ，使得 的最小值fxalngx0,teftg为 ，则函数 图象上一点 到函数 图象上一点 的最短距离为3lngPfxaQ（ ）A. B. C. D
10、. 1e421e431e【答案】C【解析】设 ，,hxalnhxa（1）当 时， .所以 在上 单调递减.000,e（舍去）.413,minxee（2）当 时， .0aaxh当 时， , 在 恒成立，所以 在上 单调递减.1ee0,ehx0,e（舍去）.43minhxa当 时， ，e0当 时， ，所以 在上 单调递减，10xahxhx10,a当 时， ，所以 在上 单调递增.e0,e所以 满足条件.213,minhxlna设与直线 平行的直线与 相切，切点为 ，则 ，2felngx0,xln201ex所以 .021xe所以切点为 ，所以最短距离为 .2,244131dee故选 C.点睛：利用导
11、数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用 或 求单0fxfx调区间；第二步：解 得两个根 ；第三步：比较两根同区间端点的大小；0fx12,x第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小二、填空题13已知菱形 的边长为 ， ， ， ，则ABCD160BADBaCb_2ab【答案】 7【解析】 .22 17() 604442aabbbcosAA所以 .72故答案为： .14若 ， 满足约束条件 则 的取值范围为xy0,23 6,xy12zxy_【答案】 30,2【解析】满足条件的可行域如图所示，设 ，则 , 表示直线在1u2xy12xu轴上的截距，当直线 经过(3,0)时 最小，当直线 经过(2,
12、2)y12yxy时， 最大，所以 ，所以 .u3,30,2z故答案为： .30,215春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布 ，若 ，假设三个安检入口均能正常工作，21,N9010.6PX则这三个安检入口每天至少有两个超过 人的概率为_ 【答案】 35【解析】根据正态分布的对称性，每个安检人口超过 1100 人的概率： .110900.6222PXPX所以这三个安检人口每天至少有两个超过 1100 人的概率为.32341552C16已知数列 的奇数项和偶数项为公比为 的等比数列， ，且naq12q.则数列 的前 项和的最小值为_ 12a37n【答案】 058
13、【解析】当 为奇数时，设 ；n112*12121, nkknknkNaq当 为偶数时，设 ，2*12, nkknk综上： 122, .nnna为 奇 数， 为 偶 数设 .37nb为偶数时， .22 21211( 133n79nn nnnSb 又 .当 时，因为 是关于 的增函数，又223169()8n7n213nn也是关于 的增函数，所以 ，2918102S因为 ，所以 ，所以当864251053,8S6842SS为偶数时， 最小， ，n6S为奇数时， .1122 1212 ( 33 n732nn nnnSb 又 .223169()8n当 时，因为 是关于 的增函数，又 也是关于 的增7n2
14、3n123n函数，所以 ，791S因为 ，所以 ，5312,9,4S7531SS所以当 为奇数时， 最小， .n7754又因为 ，综上可知 .76S60()8nmi故答案为： .1058点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法：（1）研究数列的单调性，利用单调性求最值；（2）可以用 或 ；1na1na（3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解.三、解答题17已知在锐角 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，点 在边ABCabcABCD上，且 ， ， .BC2D13os4BDb（1）求 ；B（2）求 周长的最大值.AC【答案】 （1） ；（2）313【解析】试题分析：（1）根据正弦定理， ，
15、可得解；sinADB（2）由余弦定理，得 ，得22coba，即可解得222248334acacc 最大值，进而得周长最大值.试题解析：（1）因为 ，所以 ，13cos4BAD3sin4BAD根据正弦定理， ， ，sin 3isin2又 为锐角，所以 .B3（2）由余弦定理，得 ，22cosbaB所以 ，222248 34acaca ，当且仅当 时，等号成立.3ac故 .所以 周长的最大值为 .12abcABC12318某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出 个获得利润 元，未售出的每个亏损5元.根据以往 天的资料统计，得到如下需求量表.元日这天，此蛋糕店制作了这30款蛋糕 个.以 （单位：个， ）表示这天的市场需求量. （单位：Xx105xT元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润.
