1、岳阳市一中 2018 届高三 5 月第一次模拟数学试题（理科）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知 i为虚数单位，若复数 z满足 i12z，则 （ ）A B i C D 12i2已知集合 2yx， lnBxyx，则 ABRI（ ）A 10, B 1,0,U C ,0,2U D 10,23将棱长相等的正方体按下图所示的形状摆放，从上往下依次为第 1 层，第 2 层，第 3 层，则第2018 层正方体的个数共有（ ）A2018 B4028 C2037171 D20090104已知 2sin63，
2、那么 cos3in2（ ）A 109 B 109 C 59 D 595元代数学家朱世杰的数学名著算术启蒙是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若 32a， 1b，则输出的 n（ ）A 3 B4 C5 D66已知函数 22018tanxmf x0,1m，若 3f，则 1f等于（ ）A-3 B-1 C3 D07设抛物线 24yx上一点 P到 y轴的距离为 1d，到直线 :420lxy的距离为 2d，则 12的最小值为（ ）A2 B 153 C 163 D38已知函数 2cos2fxx，若 ,612x
3、， fx的图象恒在直线 3y的上方，则 的取值范围是（ ）A ,12 B ,63 C 0,4 D ,639岳阳高铁站 1进站口有 3 个闸机检票通道口，高考完后某班 3 个同学从该检票进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这 3 个同学的不同进站方式有（ ）种。A24 B36 C42 D6010设点 O在 的外部，且 2350OABCurur，则 :ABCOS（ ）A 2:1 B 3:1 C : D 4:111已知双曲线 20,xyab的左右焦点分别为 12,F， P为双曲线 C上一点， Q为双曲线 C渐近线
4、上一点， ,PQ均位于第一象限，且 2QPFur， 120ur，则双曲线 C的离心率为（ ）A 31 B 31 C 13 D 312如图所示，在长方体 AD中， AB， 7， 12A，一质点从顶点 A射向点 4,2E，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理） ，将第 i次到第 i次反射点之间的线段记为3iL， 1LE，将线段 1234,L竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）A B C D第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13 31x展开式中的常数项为 （用数字填写答案）14某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中的 x
5、的值是 15某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下：乙和三人中的第 3 小组那位不一样，丙比三人中第 1 小组的那位的成绩低，三人中第 3 小组的那位比甲分数高.将甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列为 16在 ABC中，角 、 、 所对应的边分别为 abc、 、 ，若 1， 2cos0bA，则当角 B取得最大值时，三角形的内切圆的半径 r为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 已知数列 na的首项 1，其前 n项和为 nS，且对任意正整数 n，有 ,naS成等差数列.（1）求证：数列 2S成等比数
6、列；（2）设 nb，求数列 nb前 项和 nT.18 如图，四棱锥 ABCD的底面是平行四边形， DAS， B.（1）求异面直线 S与 所成的角；（2）若 D， 60， BS，求二面角 C的余弦值.19 随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过 1kg的包裹收费 10 元；重量超过 1kg的包裹，除 1kg收费 10 元之外，每超过 1kg（不足 ，按 计算）需再收 5 元.该公司将最近承揽的 100 件包裹的重量统计如下：包裹重量（单位： k） 1 2 3 4 5包裹件数 43 30 15 8 4公司对近 60 天，
7、每天揽件数量统计如下表：包裹件数范围 0100 101200 201300 301400 401500包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450天数 6 6 30 12 6以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来 5 天内恰有 2 天揽件数在 101300 之间的概率；（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员 3 人，每人每件揽件不超过 150 件，日工资 100 元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人，试计算裁员前后公司每日利润的数
8、学期望，若你是公司老总，是否进行裁减工作人员 1 人？20 已知椭圆 2:1xCya的离心率为 2， ,AB是椭圆 C上的两个不同点.（1）若 OAB，且点 ,所在的直线方程为 0yxm，求 的值；（2）若直线 ,的斜率之积为 12，线段 O上有一点 M满足 23OA，连接 BM并延长交椭圆C于点 M，试问： BN是否为定值？若是，求出该定值，否则说明理由.21 已知函数 lnfx， 2ahxR.（1）若直线 0t与曲线 yf和 yhx分别交于 ,AB两点直线，且曲线 yfx在 A处的切线与 yhx在 B处的切线相互平行，求正数 a的最大值；（2）若 21fgax有三个不同的零点，求 a的取值
9、范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy中， l是过定点 4,2P且倾斜角为 的直线；在极坐标系（以坐标原点 O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线 C的极坐标方程为 4cos.（1）写出直线 l的参数方程，并将曲线 的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线 C与直线 相交于不同的两点 MN、 ，求 P的取值范围.23选修 4-5：不等式选讲设函数 fxa， 0.（1）证明： 12ffx；（2）若不等式 ff的解集是非空集，求 a的范围.岳阳市一中 2018 届高三 5 月第一次模拟数学试
10、题（理科）参考答案一、选择题1-5:ACCAB 6-10:DACDB 11、12：CC二、填空题130 143 15乙、丙、甲 16 32r三、解答题17解：（1） ,naS成等差数列， 2nnaS又 12naS 2n即 1n 2nS 1nS又 140 2nS成等比数列.（2）由（1）知 n是以 1134Sa为首项，2 为公比的等比数列. 14n又 naS 12na 1nnnb1232nnTL13nL1nn18解：（1）取 SA中点 M，连接 ,BD，可证 SA面 MBD，所以异面直线 与 所成的角为 90（2）设 2BS，则 1DM， 3B，又 2D，可得 MB.由（1）知 A，从而 平面
11、AC，以 为坐标原点， ,的方向分别为 ,xyz轴建立坐标系.则 ,0S， 10， ,30B， 1，,3DCABur，所以 C， ,SDur， ,ur，可求得平面 的法向量 31,n，平面 SBC的法向量 ,mr，所以 1cos,7nru又二面角 D为锐角，故二面角 DSCB的余弦值为 17.19解：（1）样本中包裹件数在 101300 之间的天数为 36，频率 3605f，故可估计概率为 35，显然未来 5 天中，包裹件数在 101300 之间的天数 X服从二项分布，即 ,XB，故所求概率为32251465C（2）样本中快递费用及包裹件数如下表：包裹重量（单位： kg） 1 2 3 4 5快
12、递费（单位：元） 10 15 20 25 30包裹件数 43 30 15 8 4故样本中每件快递收取的费用的平均值为 104352015830415，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元.根据题意及（2），揽件数每增加 1，公司快递收入增加 15（元） ，若不裁员，则每天可揽件的上限为 450 件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为 1260530（元） ；若裁员 1 人，则每天可揽件的上限为 300 件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为 123520975（元）因 97510，故公司不应将前台工作人员裁员 1 人.20解：（1）由题知
13、21ea， 2a，椭圆 C的方程为21xy设 1,Axy， 2,Bxy，将直线 yxm代入椭圆方程，得： 22340m 1243m，213（*） OAB， 120xyur即 122x21mx将（*）式代入得 34，又 0，得 3（2）设 BMN， 1,Axy， 2,Bxy， 3,Nxy由题知 23Our， 1,3， 1212,3BMxyur， 322,BNxyur又 Nr， 312， 312y点 在椭圆 C上，2121xy即 22 2149xyy12243x（*） ,AB点在椭圆 C上，221,x又直线 O、 斜率之积为 2， 12yx，即 120xy代入（*）得 249，解得 318故 BM
14、N为定值，定值为 138.21解：（1）依题意，函数 fx的定义域为 0,， ln1fx， 1hxa因为曲线yfx在 A处的切线与 yh在 B处的切线相互平行，所以 h在 0,有解，即方程 lnta在 ,有解.方程 lnta在 有解转化为函数 yx与函数 yx的图象在 0,上有交点，令过原点且与函数 lyx的图象相切的直线的斜率为 k，只须 0k.令切点为 0,ln，则 01xky，又 0lnx，所以 0ln1x，解得 0e，于是 1ke，所以 ae， 的最大值为 e（2）由题意 21lngxxa，则 1gxa，当 1a时， 0， x在 0,上为增函数，不符合题意.当 1a时， 21xag，令
15、 21xax，则2430.令 的两根分别为 12,且 12x，则 12xa， 12x， 12x，当 0,时， ， g， g在 10,上为增函数；当 12x时， 0x， 0x， x在 2上为减函数；当 ,时， ， ， 在 ,上为增函数； 0g， gx在 12,上只有一个零点 1，且 10gx， 2x.12aaee22lnaae111222lnaaa 11220aae.120ae，又当 1,x时， 0gx，12ax gx在 1,上必有一个零点. 2lnaa2a20. 1，又当 2,x时， gx， 2x. gx在 2,上必有一个零点.综上所述，故 a的取值范围为 1,.22解：（1）直线 l的参数方程为 4cos2inxty（ t为参数）.曲线 C的极坐标方程 4cos可化为 .把 cosx， iny代入曲线 C的极坐标方程可得 2x，即 2y.（2）把直线 l的参数方程为 4cosinxt（ t为参数）代入圆的方程可得：
