1、第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器86第五章 状态反馈和状态观测器3-5-1 已知系统结构图如图题 3-5-1 图所示。(1)写出系统状态空间表达式；(2)试设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点特征值配置在 上。j53)(ty)2(1s1s)(tu)(txx题 3-5-1 图【解】：方法一：根据系统结构直接设状态变量如题 3-5-1 图所示，写状态空间表达式：xyu10223ccUrankU系统能控，可以设计状态反馈阵。设状态反馈阵为 21kK状态反馈控制规律为： xru求希望特征多项式： 34625)3()*ssf求加入反馈后的系统特征多项式： )2()()( 1212
2、ksksbKAsIf 依据极点配置的定义求反馈矩阵： 361334)2(621 Kkk方法二： 136)346(310)(*102 IAAfUKc方法三：（若不考虑原受控对象的结构，仅从配置极点位置的角度出发）第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器87求系统传递函数写出能控标准型： 2321)() sssUYxyu100求系统希望特征多项式： 34625)3()*ssf求状态反馈矩阵 ：K421k5.031001 AbP5.1P36K3-5-2 已知系统的传递函数为 试设计一个状态反馈矩阵，使闭环系)2(10)(ssUY统的极点在-2， 。j1【解】：依据系统传递函数写出
3、能控标准型 sssUY2310)2(10)( xyux01132求系统希望特征多项式： 46)(2)(*23ssssf求状态反馈矩阵：第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器88。1432604321 kK3-5-3 已知系统的传递函数为 ，试问是否可以通过状态反馈，)(1)()ssG将传递函数变为 和 ，若有可能，分别求出状态反馈阵 K，并画出)3(21s3)2结构图。【解】：系统传递函数无零极点对消，所以系统既能控又能观。可以通过状态反馈进行极点的任意配置。另有状态反馈不改变系统的零点。(1)由闭环传递函数得希望极点为-2，-2，-3。受控对象传递函数： 652)3(1
4、)2() ssssG受控对象状态空间表达式的能控标准型： xyux120560希望特征多项式为： 1267)3()(*22sssf状态反馈矩阵：。58516321 kK结构图如图题 3-5-3 图 1 所示： 1x2xu3x3 y1r 6252115第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器89题 3-5-3 图 1（2）由闭传递函数得希望极点为-1，1，-3。希望特征多项式为： 3)3(1)(*2ssssf状态反馈矩阵：。1456321kK结构图如图题 3-5-3 图 2 所示： 1x2xu3x3 y1r 625234题 3-5-3 图 23-5-4 已知系统状态空间表达式
5、为 ，试判断系统的能控性和能观xyux21003性，若不完全能控，用结构分解将系统分解为能控和不能控的子系统，并讨论用状态反馈是否可以使闭环系统稳定。【解】：判系统的能控性和能观性： 2,21032 cc rankUbAU第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器902,4321000 rankVCAV系统不能控不能观。按能控性进行结构分解：取 10,10ccRR分解后的状态空间表达式为： cc cccc xxCRy uxubRxAx21)( 0102)()(11因为不能控分量对应的特征值为-1，因此对系统的稳定性无影响，所以可以通过状态反馈的方法，对能控子空间进行极点的任意
6、配置（左半平面） ，从而使系统稳定。3-5-5 已知系统的传递函数为 ，设计一个状态反馈矩阵，将闭环极点配)3(1)2sG置在-2，-2，和-1 处，并说明所得的闭环系统是否能观。【解】：被控对象状态空间表达式的能控标准型：因为系统的传递函数可写成： 2321)()ssG所以能控标准型为： xyux013闭环后的希望特征多项式为： 485)(2)(*23sssf第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器91状态反馈系数阵：。28435084321 kK闭环传递函数为： 2223 )(1)(5)( ssssGb系统闭环传递函数出现零极点对消现象，又有原受控对象本身能控，且状态反
7、馈不改变系统的能控性，所以该闭环系统不能观。3-5-6 已知系统状态方程为 ，试判断系统是否可以通过状态反uxx10301馈分别配置以下两组特征值：（1）-2，-2，-1；（2）-2，-2，-3。若能配置，求出反馈阵。【解】：判系统的能控性： 2,2102 cc rankUbAU系统不能控.按能控性分解：取 01,01ccRRuxubxAx cccc 0103)()(11不能控子空间的特征值为-1。（1）对能控子空间进行极点配置，极点位置在-2，-2： uxxcc011304)2()*ssf)(*101AfUkKc第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器92 65)1041
8、3130(02所以 65K原系统的状态反馈阵 为：K1cRK501065（2）因为状态反馈不能改变不能控部分的极点，而不能控部分的极点为-1，所以不能通过状态反馈将极点配置在-2，-2，-3。3-5-7 已知系统状态空间表达式为 ，试设计一个状态观测器，使状态xyu01观测器的极点为-r，-2r，(r0)。【解】：方法一：判能观性 。系统能观，可以构造状态观测器。2,1000 rankVCAV确定观测器的希望特征多项式： 223)()(*rsrssf 确定观测矩阵 ，观测器的特征多项式为：TlL21212100)()( lslsCAsIf )(*ff213rl方法二：第三部分 现代控制理论习题
9、详解 第五章 状态反馈和状态观测器9310)(*21VAflL 22 300301 rrr方法三：被控对象特征多项式： 201)( ssIAIsf 确定观测器的希望特征多项式： 223)()(*rsrssf 对应于能观标准型的观测器矩阵： rralL30*221021对应于原系统的观测器矩阵： 01,110ApPVPo230rLo3-5-8 已知系统的状态空间表达式为 xyux011（1）设计一个全维观测器，将观测器的极点配置在-3，-4，-5 处。（2）设计一个降维观测器，将观测器的极点配置在-3，-4 处。（3）画出其结构图。【解】：（1）方法一：确定能观性： 3,10534020 ran
10、kVCAV第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器94系统能观，可设计观测器。求希望特征多项式： 604712)5(4)3()*3ssssf求观测器特征多项式： LCAsIf)(计算观测器系数矩阵：令 得)(*sff5.136方法二： 5.13.60)(*321VAflL结构图如图题 3-5-8 图 1 所示：u1x2x3x3y),(CB y235.135.15.6题 3-5-8 图 1第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器95(2)确定降维观测器的维数：m=1，n=3，则 n-m= 2。分解输出系数矩阵 c，获得线性变换矩阵 T，对原状态空间表达式进
11、行线性变换，使各输出变量 y 变成各状态变量的单值函数： 01,01221 cC ,02 TIcT1,01xyCT,42211 AA1,0, 2121 ,21BBT计算线性变换后降维观测器的反馈矩阵 （一个输出两个状态）12lL7)4(3)(*ssf 4210)()12 lsALsIf )()4(212ll83.67)(*2lLsf求降维状态观测器的状态方程（状态变量 z） uyz BLALALz 67.3123.1267.5 )()()( 1212121第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器96求降维状态观测器的输出方程（系统针对于线性变换后的状态信号 ）321xyzy
12、Lzx83.2167321求对应于原系统的降维状态观测器的状态信号 ：xyzxTx83.2167.31绘制模拟结构图依据受控对象，降维观测器的状态方程，以及原系统的降维观测器的输出方程: yzx83.2167.321结构图如图题 3-5-8 图 2 所示： 1z2z3.567.3.1.667. 112167.21x83.23x67.32x u),(CBA题 3-5-8 图 2第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器973-5-9 已知系统的传递函数为 ，)2(1)(ssG(1)确定一个状态反馈矩阵 ，使闭环系统的极点为-3 和 ；K231j(2)确定一个全维状态观测器，并使
13、观测器的极点全部为-5；(3)确定一个降维状态观测器，并使观测器的极点在-5 处；(4)分别画出闭环系统的结构图。(5)求出闭环传递函数。【解】：(1)系统的传递函数可写成： sssG231)2(1)( 能控标准型为： xyux01132希望特征多项式： 3443)2(3)(*2ssssf反馈矩阵： 10321 kK（2）确定能观性： 3,10020 rankVCAV系统能观。求观测器的希望特征多项式： 12575)()*23sssf求观测器特征多项式： )3()()()( 2121213 llslslsLCAsIf计算观测器系数矩阵：第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测
14、器98令 得)(*sff10372L（3）m=1，n=3，则 n-m= 2。，则输出本身为状态变量的单值函数，无须进行线性变换。01C对受控对象状态空间表达式直接分块求状态观测器的反馈矩阵 （一个输12lL出两个状态） ,0,12c 32,021 AA1,021B5)5(*ssf )12LAIf3()12lsl27)(*1lLf降维观测器的状态方程 z uyz uLByLAzLAz 10347417 )()()(2 121212降维观测器的输出方程 xyzLyzx271321（5）闭环传递函数为： 34143)21(3)( 2ssssGb第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观
15、测器99（4）题（2）的结构图如图题 3-5-9 图 1 所示：题（3）的结构图如图题 3-5-9 图 2 所示：ur 372x2xu 3x 3x 1x 1xx33y),(CBA210 y2题 3-5-9 图 1 y1z2z 3x2x1x774347343),(CBAur题 3-5-9 图 23-5-10 设系统的状态空间表达式为 ，现引入状态反馈 构成闭环系xyBu kru统， 为 x 的估值。(1)写出该系统状态变量 的全维渐近观测器的状态方程；x(2)写出带状态反馈全维观测器的闭环系统的状态方程，并画出包括状态反馈及全维观测器的闭环系统的结构图。【解】：（1） BuLCAyBuxALCy
16、x )(（2） uLxuxLx )(Kr第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器101Cxy BrxKLCAKrBLACxr )()( xyxCy rL0闭环系统结构图如图题 3-5-10 图所示：题 3-5-10 图3-5-11 已知系统的状态空间表达式为 ，xyu102065(1)画出系统结构图；(2)求系统传递函数；(3)判定系统的能控性和能观性第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器102(4)求系统的状态转移矩阵 ；)(t(5)当 时，系统的输出 ；0)(,3)0(tux )(ty(6)设计全维状态观测器，将观测器的极点配置在 处；10j(7)
17、在（6）的基础上，设计状态反馈矩阵 ，使系统的闭环极点配置在 处。K5j(8)画出系统总体结构图。【解】：(1)系统结构图如图题 3-5-11 图 1 所示： 1x1y2x2u56题 3-5-11 图 1(2) )3(25)() sbAsICG(3)传递函数无零极点对消，则既能控又能观。或： 2,02ccrankUAbU,610VCV系统既能控又能观。(4) )3(25)3(261615)()( 111 ssLsLAsILetAt tttt ee32326第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器103(5) )0(6930236210)( 32 teeety tttttt（
18、6）观测器的希望特征多项式： 2010)()*22ssf观测器矩阵为 ，TlL21观测器的特征多项式： 10650)()( 2lsLcAsIf )()5(122ll 83.19650)6()(*)( 1212llsf（7）希望特征多项式： 55)()*22ssf状态反馈后的特征多项式： 21060)()( ksbKAsIf )21()25(1kk 5.92.50)610()(*)( 112sf.921kK（8）全维观测器的状态空间表达式为： LyBuxCAx)()(第三部分 现代控制理论习题详解 第五章 状态反馈和状态观测器104)(1583.920615 yuxx系统总体结构图如图题 3-5-11 图 2 所示： 5u2x2155.2 y83.191x.9ur),(CBA6y题 3-5-11 图 2
