1、1反比例函数 （一）反比例函数的概念1 （ ）可以写成 （ ）的形式，注意自变量 x 的指数为 ，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数 这一限制条件；2 （ ）也可以写成 xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的 k，从而得到反比例函数的解析式；3反比例函数 的自变量 ，故函数图象与 x 轴、y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数 的图象时，应注意自变量 x 的取值不能为0，且 x 应对称取点（关于原点对称） （三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式： （ ）2自变量的取值范围：3图象：（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直 越小，图
2、象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当 时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b ）在双曲线的一支上，则（ ， ）在双曲线的另一支上图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（ ， ）和（ ， ）在双曲线的另一支上4k 的几何意义如图1，设点 P（a，b ）是双曲线 上任意一点，作 PAx 轴于 A 点，PB y 轴于 B 点，则矩形 PBOA的面积是 （三角形 PAO 和三角形 P
3、BO 的面积都是 ） 如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点 Q 也在双曲线上，作 QCPA 的延长线于 C，则有三角形 PQC 的面积为 图1 图25说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线 与双曲线 的关系：当 时，两图象没有交点；当 时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称2（3）反比例函数与一次函数的联系（四）实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2 ）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（五）充分利用数形结合的思想解决问题三、例
4、题分析考点1反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） Ay=3x B C3xy=1 D（2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（ ） A B C D考点2图象和性质（1）已知函数 是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么 k=_若 y 随 x 的增大而减小，那么 k=_（2）已知一次函数 y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 的图象位于第_象限（3）若反比例函数 经过点（ ，2） ，则一次函数 的图象一定不经过第_象限（4）已知 ab0，点 P（a，b）在反比例函数 的图象上，则直线 不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限
5、D第四象限（5）若 P（2，2 ）和 Q（m， ）是反比例函数 图象上的两点，则一次函数 y=kx+m 的图象经过（ ） A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第一、三、四象限 D第二、三、四象限（6）已知函数 和 （k0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D考点3函数的增减性（1）在反比例函数 的图象上有两点 ， ，且 ，则 的值为（ ） A正数 B负数 C非正数 D非负数（2）在函数 （a 为常数）的图象上有三个点 ， ， ，则函数值 、 的大小关系是（ ） A B C D （3）下列四个函数中： ； ； ； y 随 x 的增大而减小的函数有（ ） A0个 B1个 C
6、2个 D3个（4）已知反比例函数 的图象与直线 y=2x 和 y=x+1的图象过同一点，则当 x0时，这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而 （填“增大”或“ 减小”） 3注意， （3）中只有 是符合题意的，而 是在“每一个象限内” y 随 x 的增大而减小考点4解析式的确定（1）若 与 成反比例， 与 成正比例，则 y 是 z 的（ ） A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定（2）若正比例函数 y=2x 与反比例函数 的图象有一个交点为 （2，m） ，则m=_，k=_，它们的另一个交点为_（3）已知反比例函数 的图象经过点 ，反比例函数 的图象在第二、四象限，求 的值（4）
7、已知一次函数 y=x+m 与反比例函数 （ ）的图象在第一象限内的交点为 P （x 0，3） 求 x 0的值； 求一次函数和反比例函数的解析式（5）为了预防“ 非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示） ，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克 请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式为_，自变量 x 的取值范围是_；药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为_ 研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫
8、克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？考点5面积计算（1）如图，在函数 的图象上有三个点 A、B、C ，过这三个点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与 x 轴、y 轴围成的矩形的面积分别为 、 、 ，则（ ） A B C D第（1）题图 第（2）题图（2）如图，A 、B 是函数 的图象上关于原点 O 对称的任意两点，AC/y 轴，BC/x 轴，ABC 的面积S，则（ ） AS=1 B1 S 2 CS=2
9、DS2（3）如图，Rt AOB 的顶点 A 在双曲线 上，且 SAOB=3，求 m 的值第（3）题图 第（4）题图4（4）已知函数 的图象和两条直线 y=x，y=2x 在第一象限内分别相交于 P1和 P2两点，过 P1分别作x 轴、y 轴的垂线 P1Q1，P1R1 ，垂足分别为 Q1，R1 ，过 P2分别作 x 轴、y 轴的垂线 P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为 Q 2，R 2，求矩形 O Q 1P1 R 1和 O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小（5）如图，正比例函数 y=kx（k0）和反比例函数 的图象相交于 A、C 两点，过 A 作 x 轴垂线交x 轴于 B，连接 BC，
10、若ABC 面积为 S，则 S=_第（5）题图 考点6.一次函数与反比例函数综合1. 如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，且点 的横坐标为 1，过点yxbkyxB作 轴的垂线， 为垂足，若 ，求一次函数和反比例函数的解析式.ByC32BCOS2. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 P，点 P 在第一象限PAx 轴于点2ykxmyxA，PBy 轴于点 B一次函数的图象分别交 轴、 轴于点 C、D ，且 SPBD =4， xy12OCA（1 ）求点 D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3 ）根据图象写出当 时，一次函数的值大于反比例函数的值的 的取
11、值范围.0xx3. 已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标是 2.2yxkyx（1 ）求反比例函数的解析式；（2 ）当 时，求反比例函数 的取值范围.31 4. 已知： ， 与 成正比例， 与 成反比例，且 时， ； 时， 求12y1y2x2yx1x3y1xy时， 的值12x5. 如图， 是反比例函数 在第一象限图像上的一点，点 的坐标为（2，0 ） 1P(0)kyx1A（1 ）当点 的横坐标逐渐增大时， 的面积将如何变化？1POA（2 ）若 与 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及 点的坐标1OA 21 26. 如图，一次函数 与反比例函数 在第一象限的图象交于点
12、，且点 的横坐标为 1，过点yxbkyxB作 轴的垂线， 为垂足，若 ，求一次函数和反比例函数的解析式.ByC32BCOSyxPBDAOCyxOP1P2A2A157. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 P，点 P 在第一象限PAx 轴于点2ykxmyxA，PBy 轴于点 B一次函数的图象分别交 轴、 轴于点 C、D ，且 SPBD =4， x 12OCA（1 ）求点 D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3 ）根据图象写出当 时，一次函数的值大于反比例函数的值的 的取值范围.0xx8. 已知正比例函数 的图象与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标是 2.2yxkyx（1 ）求反比例函数的解析式；（2 ）当 时，求反比例函数 的取值范围.31 9. 已知： ， 与 成正比例， 与 成反比例，且 时， ； 时， 求12y1y2x2yx1x3y1xy时， 的值12x10. 如图， 是反比例函数 在第一象限图像上的一点，点 的坐标为（2，0 ） 1P(0)kyx1A（1 ）当点 的横坐标逐渐增大时， 的面积将如何变化？1POA（2 ）若 与 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及 点的坐标1OA 21 2yxPBDAOCyxOP1P2A2A1
