1、1,第三章 完全信息动态博弈,一、博弈的扩展式表示,1、博弈扩展式描述包括的六要素,1）参与人集合；,2）参与人的行动次序：谁在什么时候行动；,3）参与人的行动空间：在每次行动时，参与人有哪些选择；,4）参与人的信息集：每次行动时，参与人知道些什么；,5）参与人的支付函数：行动结束后，每个参与人得到些什么；,6）外生事件（即自然的选择）的概率分布。,2,2、博弈树（博弈扩展式）,1）结：包括决策结（采取行动的时间）与终点结。,2）枝：决策结到它直接后接点的连线，它代表参与人的行动、路径。,3）信息集：决策结的子集，要满足： 信息集中每个结应属于同一参与人； 参与人知道博弈进入某信息集，但不知自
2、己处在信息集中的哪一个结（多结点信息集时）； 参与人在同一个信息集上的每一个结上的行动空间是相同的；信息集中每个结应是同一时点的决策结 。,例 房地产开发博弈： 开发商A首先行动，选择开发或不开发； A决策后，自然选择市场需求大小； 开发商B在观测到A的决策和市场需求后，决定开发或不开发。,3,3、静态博弈的扩展式表示,例1 囚徒困境,例2 四人同时决策，每人有两种选择（L，U），请画出博弈树。,练习 用博弈树表示下述博弈。 第一步：局中人1掷一枚硬币，结果可能是正面H或反面T； 第二步：局中人2不知第一步硬币的结果，再掷一次硬币； 第三步：局中人1知第一、二步硬币的结果，又掷一次硬币； 第四
3、步：局中人2不知第三步的结果，但知一、二两步的结果，最后掷一次硬币，博弈结束（按每步结果，局中人2给1一笔报酬）。,4,二、扩展型博弈转化为策略型博弈,例1 房地产开发博弈,A,开发,不开发,B,B,开发,不开发,开发,不开发,（-3，-3）,（1，0）,（0，1）,（0，0）,5,例2 考虑以下动态博弈。 第一步：局中人1从1，2中选择一数x。 第二步：局中人2知道x的值，从1，2中选择y。 第三步：局中人1不知y，也忘了x，从1，2中选择z，博弈结束。对选定的x，y，z，局中人2给局中人1的费用为U1（x,y,z） U1(1，1，1)=-2； U1(1，1，2)=-1； U1(1，2，1)
4、=3； U1(1，2，2)=-4； U1(2，1，1)=5； U1(2，1，2)=-2； U1(2，2，1)=2； U1(2，2，2)=6。,6,例3 带有机会选择的动态博弈。 第一步：用一个随机装置，从1，2中等可能地选择数x。 第二步：局中人1知道x值，从1，2中选择y。 第三步：局中人2不知x，但知y，从1，2中选择z，博弈结束。 对选定的x，y，z，局中人2给局中人1的费用为U1（x,y,z） U1(1，1，1)=-2； U1(1，1，2)=-1； U1(1，2，1)=3； U1(1，2，2)=-4； U1(2，1，1)=5； U1(2，1，2)=-2； U1(2，2，1)=2； U1
5、(2，2，2)=6。,7,练习 考虑以下动态博弈。 第一步：局中人1从1，2中选择一数x。 第二步：局中人2知道x的值，从1，2中选择y。 第三步：局中人1知道y的值，从1，2中选择z，博弈结束。对选定的x，y，z，局中人2给局中人1的费用为U1（x,y,z） U1(1，1，1)=-2； U1(1，1，2)=-1； U1(1，2，1)=3； U1(1，2，2)=-4； U1(2，1，1)=5； U1(2，1，2)=-2； U1(2，2，1)=2； U1(2，2，2)=6。,8,三、子博弈精炼纳什均衡,子博弈定义：一个扩展式博弈的子博弈G由一个决策结x和所有该决策结的后续结T（x）（包括终点结）
6、组成，它满足如下条件：1） x是一个单结信息集，即h(x)=x；2）对于所有的,，若 ，则 。,子博弈精炼纳什均衡定义：称扩展式博弈G的策略组合,为子博弈精炼NE，若：1）它是原博弈,的NE；2）它在每一个子博弈上给出NE。,9,定理：有限、完美信息的扩展型博弈必存在纯策略意义下的子博弈精炼纳什均衡。,子博弈精炼纳什均衡的解法：逆向递推法。,例,1,2,1,L,R,L1,R1,L2,R2,（2，0）,（1，1）,（3，0）,（0，2）,10,例 海盗分金：五个海盗要分配抢来的100枚金币，方式是，第一个人提出一种分配方案，如果同意这种方案的人达到半数，那么提议通过，否则提议的人就被扔进大海，由
7、剩下的人再进行同样的过程。假设五个人提议的次序已定，金币不能分割，而且海盗的本性让他们觉得，如果对自己的收益没有影响，则很乐意看到别人被扔进大海，这时理性结局应是如何？,11,例 斯坦克尔伯格（Stackelberg）寡头竞争模型,例 讨价还价博弈,例 有点数为1，2，3的三张牌，先由A任抽一张，看后反放于桌上，并喊大（H）或小（L）。然后由B从剩下牌中任抽一张，看过后，B有两种选择： 弃权，付给A一元； 翻A的牌，当A喊H时，点数小者付给对方3元，当A喊L时，点数大者付给对方2元。要求：1）说明A、B各有多少纯策略？2）据理性原则淘汰具有劣势的策略。3）求双方的最优策略及各自的支付值。,12
8、,例 银行挤提问题（具有同时选择的动态博弈） 设有两投资者，每人存入银行一笔存款D，银行将存款投资于一长期项目。若在项目到期前，存款人提前支取，银行被迫变现，共可收回2r，此处Dr。若银行等长期项目到期支取，可回收2R，RD。设有两个提款日期，t=1，项目到期前，两投资者都提款，则每人可得r。若只有一个在t=1提款，他可得D，另一人得2r-D。若两人都未在t=1提款，在t=2，两人都提款，则每人得R；若只有一个人在t=2提款，他得2R-D，另一人得D；若t=2时，两人都不提款，银行向每个投资者返还R。,13,例 国际竞争与最优关税（具有同时选择的动态博弈） 考虑两个相似的国家，分别用i=1，2
9、表示。每个同家各有一个企业，分别称为企业1、企业2。企业生产既可内销又可出口的同质产品。两个国家中的消费者在各自国家的市场上购买本国产品或 外国产品。引入以下记号：1 表示国家i市场上的商品供给 量， 。这里 表示i国的内销量， 表示j国的 出口量。2 ，i=1，2表示市场的出清价格。3企业的边际成本为常数c，且无固定成本，则企业i的总成本 为： ， 为j国进口关税，j=1，2。博弈的顺 序为：t=1时，政府同时选择关税税率 和 ；t=2时，两国企业观察到关税税率后，同时选择出口产量和提供国内消费量,与,。企业i的收益（支付）为其利润额，政府i的的收益则,为本国总的福利，包括消费者剩余，本国企
10、业利润，国家关税收入三部分。,14,例 宏观经济政策的动态一致性 考虑一个货币政策模型：博弈的参与人是政府与公众。公众选择预期通胀率，政府在给定预期通胀率的情况下选择实际通胀率。政府不仅关心通胀问题，还关心实际产出y，其效用函数为：,产出y与通胀 间的关系可用如下菲力普斯曲线描述：,15,例 工资奖金制度 模型基本假设：1）一个雇主有两个雇员，雇员i（i=1，2）的产 出为 ，雇员努力的负效用为 ，,。扰动项 从分布密度为 、均值为0的概率分,布中独立抽取。2）因产出能观察而努力水平无法观察，所以据 产量支付报酬。雇主宣布产量高的雇员将得到较高工资 ，产 量低的工资为 。3）雇员在已知工资（奖
11、金）制度的情况下， 同时独立选择各自的工作努力程度 ， 。,16,四、重复博弈,1、基本概念,1）重复博弈指同样结构的博弈重复多次，其中的每次博弈称为阶段博弈。有限次重复博弈写为G（T），无限次重复博弈写为,。,2）重复博弈的平均得益,若一常数 作为重复博弈（有限或无限次重复）各阶段的得益， 能产生与得益序列 相同的现值，则称 为,的平均得益。,17,3）对随机结束的重复博弈，设停止重复的概率为p，重复下去的概率为（1-p），则,所以，随机停止重复博弈可当作无限次重复博弈进行分析。,其中,18,2、有限次重复博弈,1）无纯策略NE的两人零和博弈的有限次重复博弈,唯一的子博弈完美NE就是所有博弈
12、方始终采用原博弈的混合策略纳什均衡策略。此结论可推广至非零和（常和）或多个博弈方，但博弈方的利益严格对立，无纯策略NE的其他严格竞争博弈中。,2）唯一纯策略纳什均衡博弈的有限次重复博弈,G（T）有唯一子博弈精炼均衡，即各博弈方每个阶段都采用G的NE策略（平均得益为原博弈G中的得益）。,3）多个纯策略NE博弈的有限次重复博弈,例1 三价博弈,19,例2,例3,20,4）有限次重复博弈的民间定理,设原博弈的一次性博弈有均衡得益数组优于W，则在该博弈的多次重复中，所有不小于个体理性得益的可实现得益，都至少有一个子博弈精炼NE的极限的平均得益来实现。,定理中的相关概念： 用Wi记局中人i在一次性博弈中
13、最差的均衡得益，W表示各局中人的Wi构成的得益数组。 个体理性得益（保留得益）：不管其它局中人的行为如何，一局中人在某个博弈中只要自己采取某种特定的策略，保证能获得的得益。 可实现得益： 博弈中所有纯策略组合得益的加权平均（权数非负总和为1）数组。,21,3、无限次重复博弈,1）两人零和博弈的无限次重复博弈：每次重复采用原博弈的混合策略NE。此结论可推广至非零和（常和）或多个博弈方的其他严格竞争模型的无限次重复博弈。,2）唯一纯策略NE的无限次重复博弈,例 囚徒困境式博弈,22,3）无限次重复博弈的民间定理,设G是一个完全信息静态博弈，用 记G的纳什均衡 得益，用 表示G的任意可实现得益，若 ，而 足够接近1，那么无限次重复博弈 中一定存在一个子博弈精炼NE，各博弈方的平均得益就 是 。,例 无限次重复古诺模型,
