1、同济大学高等数学（上）期中考试试卷一.选择题（每小题 4 分）1.以下条件中（ ）不是函数 )(xf在 0处连续的充分条件.（A）lim)(li000xfxx（B）)(lim00xffx（C） 存在 （D ） 在 可微2.以下条件中（ ）是函数 )(f在 0x处有导数的必要且充分条件.（A） )(xf在 0处连续 （B） )(xf在 0处可微分（C） xfx)lim0存在 （D ）lim0x存在3. 1是函数fsin1(的（ ）间断点.（A）可去 （B）跳跃 （C）无穷 （D）振荡4.设函数 )(xf在闭区间 ,ba上连续并在开区间 ),(ba内可导，如果在 ),(ba内0)(xf，那么必有（
2、 ）.（A）在 ,a上 0)(f （B）在 ,上 xf单调增加（C）在 上 单调减少 （D ）在 上 )(是凸的5.设函数 xxfsin)23()2，则方程 0)(xf在 ),(内根的个数为（ ）.（A）0 个 （B）至多 1 个 （C） 2 个 （D） 至少 3 个二.求下列极限（每题 5 分）1. axbxsin)1(lm0（ 0）. 2. xdcbaxosinlim（ 0c）.3.exl（ ）. 4.210ilx.三.求下列函数的导数（每题 6 分）1.)ln(tacos2talnxy,求 y.2.设 )(xF是可导的单调函数，满足 0(F， )(.方程)yx确定了隐函数 )(y，求 0
3、xd.3.设 )(x是参数方程 tyarcn1l2确定的函数，求 2dxy.4.设函数 0)ln(xefx（ ） ，问 a取何值时 )0(f存在？.四.（8 分）证明：当 时有 e，且仅当 ex时成立等式 .五.（8 分）假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？六.（10 分）设函数 )(xf在区间 ,ba上连续，在区间 ),(ba内有二阶导数.如果)(bfaf且存在 ,c使得 )(fc，证明在 内至少有一点 ，使得0.七.（10 分）已知函数 )(xfy为一指数函数与一幂函数之积，满足：（1） 0)(limxfx， li；（2） y在 ,内的图形只有一条水平切线与一个拐点 .试写出 f的表达式.4 6 x
