1、1,第4章 串（String）,4.1 串类型的定义 4.2 串的表示和实现 4.3 串的模式匹配算法,2,算法目的：确定主串中所含子串第一次出现的位置（定位）,4.3 串的模式匹配算法,BF算法 （又称古典的、经典的、朴素的、穷举的）KMP算法,算法种类：,带回溯，速度慢,避免回溯，匹配速度快， 是全课程的亮点之一,定位问题称为串的模式匹配，典型函数为Index(S,T,pos),3,BF算法的实现即编写Index(S, T, pos)函数,例1： S=ababcabcacbab，T=abcac，pos=1， 求：串T在串S中第pos个字符之后的位置。,利用演示系统看BF算法执行过程。,BF
2、算法设计思想： 将主串S的第pos个字符和模式T的第1个字符比较，若相等，继续逐个比较后续字符；若不等，从主串S的下一字符（pos+1）起，重新与T第一个字符比较。,直到主串S的一个连续子串字符序列与模式T相等。返回值为S中与T匹配的子序列第一个字符的序号，即匹配成功。 否则，匹配失败，返回值 0 .,4,讨论： 若n为主串长度，m为子串长度，则串的BF匹配算法最坏的情况下需要比较字符的总次数为,(n-m+1)*mO(n*m),一般的情况是：O(n+m)推导方法：要从最好到最坏情况统计总的比较次数，然后取平均。,BF算法的时间复杂度,最好的情况是：一配就中！ 只比较了m次。,能否加快子串（又称
3、模式串）的滑动速度？ 能！利用已部分匹配过的信息使主串S的指针i不必回溯，最坏情况也能达到O(n+m),请看KMP算法！,最坏的情况是：主串前面n-m个位置都部分匹配到子串的最后一位，即这n-m位比较了m次，别忘了最后m位也各比较了一次，还要加上m！所以总次数为：(n-m)*m+m (n-m+1)*m,5,KMP算法（特点：速度快）, KMP算法设计思想 KMP算法的推导过程 KMP算法的实现 （关键技术:计算nextj） KMP算法的时间复杂度,全书一大亮点！,6,尽量利用已经部分匹配的结果信息，尽量让i不要回溯，加快模式串的滑动速度。 例：, KMP算法设计思想： (参见教材P80-84）
4、,S=a b a b c a b c a c b a b,T=a b c a c,S=a b a b c a b c a c b a b,T=a b c a c,S=a b a b c a b c a c b a b,T=a b c a c,Index_kmp的返回值应为i=6,需要讨论两个问题： 如何由当前部分匹配结果确定模式向右滑动的新比较起点k？ 模式应该向右滑多远才是高效率的?,a b a,a b c,i-T0,7,奇妙的结果： k 仅与模式串T有关！, KMP算法的推导过程：（见教材P81）,请抓住部分匹配时的两个特征：,两式联立可得：T1Tk-1=Tj-(k-1) Tj-1,则T的
5、k-11位S前i-1i-(k-1)位即(4-2）式含义,设目前打算与T的第k字符开始比较,(1),(2),T1Tk-1,则T的j-1j-(k-1)位 S前i-1i-(k-1)位即(4-3）式含义,刚才肯定是在S的i处和T的第j字符 处失配,Tj-(k-1) Tj-1 截取一段，但k有限制，1kj,k是追求的新起点,加速的前提：T首与Tj处有相同子串,注意：j 为当前已知的失配位置，我们的目标是计算新起点 k。 式中仅剩一个未知数k，理论上已可解！,8,根据模式串T的规律： T1Tk-1=Tj-(k-1) Tj-1 由当前失配位置j(已知) ，可以归纳出计算新起点 k的表达式。,next j ,
6、0 当j1时 /不比较 max k | 1kj 且T1Tk-1=Tj-(k-1) Tj-1 1 其他情况,讨论： （1） next j 的物理意义是什么？ （2） next j 具体怎么求？即KMP算法的实现,令k = next j （k 与j 显然具有函数关系），则,取T首与Tj处最大的相同子串,新起点 k怎么求？,9,（1） next j 有何物理意义？,nextj函数表征着模式T中最大相同前缀子串和后缀子串（真子串）的长度。 可见，模式中相似部分越多，则nextj函数越大，它既表示模式T字符之间的相关度越高，也表示j位置以前与主串部分匹配的字符数越多。 即：nextj越大，模式串向右滑动
7、得越远，与主串进行比较的次数越少，时间复杂度就越低（时间效率）。,next j max k |1kj 且T1Tk-1=Tj-(k-1) Tj-1 ,模式串从第1位往右直到K-1位,模式串从j的前一位往左经过K-1位,想一想：如果主串和模式均为二进制码流，用KMP算法效果如何？,T=a b a a b c a c,再想一想：如果主串是外存中一个大文件，用KMP算法效果又如何？,（2） next j 具体怎么求？即KMP算法的实现,10,计算Nextj的方法： 当j=1时，Nextj=0； /Nextj=0表示根本不进行字符比较 当j1时，Nextj的值为：模式串的位置从1到j-1构成的串中所出现
8、的首尾相同的子串的最大长度加1。 无首尾相同的子串时Nextj的值为1。 / Nextj=1表示从模式串头部开始进行字符比较,（2） next j 怎么计算？,怎样计算模式T所有可能的失配点 j 所对应的 nextj？,11,从两头往中间比较,模 式 串 T： a b a a b c a c可能失配位 j： 1 2 3 4 5 6 7 8 新匹配位k=nextj :,0,1,1,2,2,3,1,2,讨论：,j=1时, next j 0；/属于“j=1”情况; j=2时, next j 1；/ 找不到1kj的k，属于“其他情况”；,刚才已归纳：,j=3时, k=2，只需查看T1=T2成立否，No
9、则属于其他情况,j=4时, k=2，3，要查看T1=T3 及T1T2=T2 T3 是否成立,j=5时, k=2，3，4，要查看T1=T4 ，T1T2=T3T4 和T1T2T3=T2T3T4,以此类推，可得后续nextj值。,可用演示程序验证,nextj与s无关，可以预先计算,例：,12,下一个要讨论的问题是：如何用递推方式来求出最大相同子串的长度呢？换言之，如何让电脑替我们求出最大相同子串呢？这个问题一旦解决，整个KMP算法就可以掌握得很透彻了。,void get_next(SString T, int / get_next,递推法编程，参见教材P83程序,13,求解nextj流程图（递推）,
10、注：递归与递推的区别：,递推：由“小”到“大”递进； 递归：由“大”到“小”嵌套。,递归法（第1章自测卷4.2题）： long int fact(n)int n; long f;if(n1)f=n*fact(n-1);else f=1;return(f); ,递推法： fact=1; for ( i=1; i=n; i+) fact*= i;,例如：求f(n)=n!,15,第一步，先把模式T所有可能的失配点j 所对应的nextj计算出来； 第二步：执行定位函数Index_kmp （与BF算法模块非常相似）, KMP算法的实现即Index( )操作的实现,Int Index_KMP(SStrin
11、g S, SString T, int pos) /见教材P82 i=pos; j=1;while ( iT0) return i-T0; /子串结束，说明匹配成功else return0; /Index_KMP,前面定义的next函数在某些情况下还是有缺陷的， 例如模式aaaab与主串aaabaaaab匹配时的情况：,S: a a a b a a a a b,T: a a a a b,i: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,a a a a b,a a a a b,a a a a b,讨论： next j 是否完美无缺？,先用演示程序验证,似乎慢了一点？能否再提速？,先计算nextj：,此时
12、效率不高的原因为：子串前4位相同时，主串字符若与其中一个不相等，则不必再与其余3个比较。而实际上还在依次比较。,a a a a b,17,void get_nextval(SString T, int / get_nextval,next函数的改进算法见教材P84算法4.8， 称为nextval j ,18, KMP算法的时间复杂度,注意：由于BF算法在一般情况下的时间复杂度也近似于O(n+m)，所以至今仍被广泛采用。,而此时KMP的情况是：由于指针i无须回溯，比较次数仅为n,即使加上计算nextj时所用的比较次数m，比较总次数也仅为n+m=O(nm)，大大快于BF算法。,回顾BF的最恶劣情况
13、：S与T之间存在大量的部分匹配，比较总次数为： (n-m+1)*mO(n*m),因为主串指针i不必回溯，所以从外存输入文件时可以做到边读入边查找“流水作业” ！,KMP算法的用途：,第4章小结,串,s = a1a2 an,模式匹配即子串定位运算，即如何实现 Index(S,T,pos)函数,BF算法古典 KMP算法快速（用nextj或nextvalj),本章结束,20,彩票程序中的随机数据可以用malloc()随机开的地址（二进制数可转为十进制数）表示出来吗？若能，将地址转为十进制再对36取余即可。如果地址值不随机，那么可以研究一下malloc()吗？,Dian答: 这个思路的确不错，不过ma
14、lloc()函数开新地址一定不是真随机的，这属于操作系统中的内存分配策略，我们一时难以了解其具体内核。但如果由我来设计操作系统，我会尽量让malloc()函数一个挨一个的开新单元，以最大限度减少碎片。 *_,实验现象：释放后再开内存，地址可能完全一样,21,答疑：,教材P72第4行中：“用V替换主串S中出现的所有与T相等的不重叠的子串”一句，很费解！,答：假设T=xxxx，V=yyyy,S=!#$%&*xxxxxx&*%$&， 那么，在S中有多少个T呢？考虑重叠情况将有3种，不考虑重叠情况就只有1种了。Replace(&S,T,V)函数如下：,strytpe replace(strytpe s, strytpe t, strytpe v) int i;i=index(s,t);while(i=0) /找不到t子串则index(s,t)返回-1 delete( ,每找到一个就立即替换一个,
