1、1,混沌理论及其应用 绪论,2,第1章 前言,1.1线性与非线性 1.2非线性系统和混沌现象 1.3混沌研究的发展及意义 1.4 课程内容简介,3,1.1 线性与非线性,如果在某个坐标系下,函数f具有叠加原理的性质:y1=f(x1) , y2=f(x2) , y1+y2=f(x1+x2) ,f(ax)=af(x)我们就说这个函数是线性的. 反之,该函数为非线性的.,4,牛顿第二定律研究自由落体:通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单(数理方法)建立微分方程组只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体以往和未来的全部运动状态,5,无阻尼单摆,6
2、,研究手段,线性问题: 线性方程普适方法 非线性问题: 非线性方程很难找到普遍的解决方法，只能对具体问题做具体分析针对个别问题的特点采取特殊的处理方法,有时加很强的约束条件 20世纪60年代开始，电子计算机的应用,“计算物理”和“实验数学” ，非线性的研究广泛开展,7,实验系统: 力学实验,电路实验,光学系统,生物系统,化学反应等 计算机数值计算方法: 建立模型和描述方程,编写程序,模拟系统的演化,并分析系统的性质 理论解析分析: 有时+计算机分析,8,1.2 非线性系统和混沌现象,非线性广泛存在自然界和社会生活中,线性行为只是平衡态附近的近似结果,自然界本质是非线性的. 弹性振动 1.简谐振
3、动: 振子质量m=1,角频率 ,x为位移, 势能牛顿第二定律: 线性系统,9,2. 实际系统中一维弹性系统的势能一般为:非线性系统,10,达芬(Duffing)振子,周期力,磁铁,感应器,铁条,y,Duffing方程,Chaos in dynamical systems p.2-3,11,两个稳态 一个非稳态,12,双稳态系统,x,13,不规则运动,14,15,16,17,18,Experiment of Shaw(1984),Drop 1Drop 2Drop 3Drop n,19,Experiment of Shaw(1984),The time sequence:,Define the t
4、ime interval:,Try to find inflow rate vs. the time intervals,The time interval sequence:,20,Experiment of Shaw(1984),Inflow rate increasing,Regular Period 1,Regular Period 2,Regular Period 4,Regular Period 8,Irregular chaos,To chaos: double period bifurcation,21,Chuas circuit,22,Chuas circuit,方程解 VS
5、. 电阻 R,23,Greater,Regular Closed Orbits Limited cycle,Period 1,Case 1,24,Decrease,Regular Closed Orbits,Period 2,Case 2,25,Decrease,Regular Closed Orbits,Period 4,Case 3,26,sufficient small,Irregular Random Nonperiodic orbit disclosed orbit,Chaos,Case 4,27,Attractors of Chuas circuit,28,29,实验现象的观察一,
6、周期一,周期二,30,实验现象的观察二,周期四,周期五,31,实验现象的观察三,周期三,单吸引子,32,实验现象的观察四,阵 发 混 沌,33,虫口模型,虫口模型1: 虫口增长率与现有的虫口数成正比解考虑实际外界因素影响: 资源不足,不同区域间作用,34,模型2 虫口过密,考虑虫与虫之间争夺有限的资源是限制虫口增长的主要因素,35,变换迭代Logistic map ,虫口模型,36,Logistic 映象,图1-1 Logistic映象的分叉与混沌,37,变量空间分岔的自相似行为,38,典型的混沌系统,非线性映象系统(时间离散、变量连续),(2) 帐篷映射,(1) Logestic 映象,39
7、,(3) 圆映象(Circle map),一维映象：不可逆映象可以产生混沌运动可逆映象不存在混沌 可逆 一对一，逆映象唯一 不可逆逆映象不唯一,40,(4) 标准映象(Standard map),mod,可逆二维映象无论耗散与否均可产生混沌运动,41,非线性振子(时间连续、变量连续),(1) Lorenz方程,Lorenz的混沌吸引子,42,(2) Rossler方程,Rossler混沌吸引子,43,(3) Duffing方程,Duffing方程混沌吸引子,非线性自洽系统3维及以上可能产生混沌运动。含时非自洽系统2维以上可能产生混沌运动,44,时空混沌系统,(1) 耦合映象(时间、空间离散，变
8、量连续),(1.14),45,(2) 耦合振子(空间离散，时间变量连续),时空混沌，f(x)为Rossler局域动力学,46,(3) 非线性偏微分方程(时间、空间和变量都连续),() 反应扩散方程,() Ginzburge-Lanlau方程(振荡介质) () Hodgkin-Huxley方程(可激发介质)() Navier-Stokes方程等(Flow trbulence),47,本世纪以来混沌研究一些重要人物和重要进展： Poincare哈密顿系统中复杂性行为(混沌)的发现 KAM哈密顿系统中规则轨道和不规则轨道的并存与转换 Lorenz耗散系统混沌行为 Birkhoff共振轨道及相关的复杂
9、性 Feigenbaum与混沌相关的普适常数与普适函数,1.3 混沌研究的发展,48,SmaleSmale马蹄及相关符号动力 Ruelle-Takens准周期到混沌道路 Sinai少体系统各态历经和混沌 Mandelbrot分形及多重分形 Hohenberg, Kaneko时空混沌 Ott, Grebogi, York OGY混沌控制 Pecora , Carrol 混沌同步,49,Poincare(庞加莱)19世纪末20世纪初研究三体问题,太阳,地球,月亮 等,结论: 对一个确定性系统, 在一定范围内, 无法求出精确解,其解是随机的.这一结论与牛顿力学成功预言天体轨道(天体力学)存在矛盾,5
10、0,17世纪牛顿建立经典力学力学系统服从拉普拉斯确定性拉普拉斯：“我们应该把宇宙的现在状态看成它过去状态的结果，并且作为今后状态的原因”(确定性世界观的代表)天体力学: 预言行星和月球的运动三体或多体问题: 微扰理论成功的例子:月食,日食时间, 海王星,冥王星存在自由落体确定性、可预言、轨道描述,51,确定性与随机性,拉普拉斯：“我们应该把宇宙的现在状态看成它过去状态的结果，并且作为今后状态的原因”(确定性世界观的代表)自由落体确定性、可预言、轨道描述麦克斯韦：“这个世界的真正逻辑是概率的计算”(随 机性世界观的代表)掷骰子随机性、不可预言、概率描述确定性和随机性本质的认识和讨论物理学界,哲学
11、界,52,KAM理论(Kolmogorov- Anold- Moser)1954, 前苏联数学家Kolmogorov(柯尔莫哥罗夫)提出定理,1963, 其学生Anold(阿诺德)给出定理的严格证明, 1973, 瑞士数学家Moser(莫塞)给出改进的证明.不可积系统:,53,不存在能量以外的解析不变量，力学系统运动的稳定性成了大问题。KAM不从整体的不变量行为讨论，而就给定的具体环面的稳定性问题讨论 图像：在 时大多数环面微小变化，环面原有基本特性得以保持。少量环面被极大破坏和变形。被破坏环面测度小，但稠密地镶嵌于未被破坏的环面之间，这使整体的解析不变量不存在 天文学家：星球系统运动稳定，K
12、AM环面保护天文制度不受威胁 物理学家：有不稳定的环面， 和 N 越大，不稳定环面越占优势,54,Lorenz方程，1963第一次对耗散系统发现了混沌运动混沌之父 (i) 运动限制在有限区域 () 运动轨道非周期，在计算范围内不重复 () 运动轨道的初值敏感性 () 自相似行为和奇怪吸引子,55,混沌研究的意义,(1) 传统力学开辟了新天地力学没有完成，其中的不可积和混沌系统的研究 正在展开 (2) 统计物理进入新的领地由于混沌运动，少自由度系统力学需要引入统计物理方法，统计物理不再限于传统热力学系统 混沌的研究缩小了确定论和随机论之间的鸿沟一些完全确定性的系统，由于“失之毫厘，差之千 里”的
13、初值敏感性的混沌特点，导致长时间行为的随 机性和概率描述的必要性,56,(4) 利用混沌的成果推动湍流及其控制的研究湍流及其控制的研究是数个世纪的重要课题湍流行为太复杂，人们期待沿着简单系统的混沌多自由度的时空混沌湍流的线索推动湍流研究，期望混沌研究成果会给湍流 研究提供新的、有用的途径 (5) 与混沌动力学相联系的新规律的研究分岔序列; 吸引子的多重分形结构;普适性和标度律等等,57,1.4 课程内容2. 研究非线性动力学系统的基本方法 3. 分岔简介 4. 混沌的产生及相关的普适行为 5. 混沌系统的动力学行为 6. 混沌控制 7. 混沌同步 8. 混沌密码 作业计算机求解参数为1,2,3,3.2,3.5,3.8,4.0,
