1、11.1 归纳推理授课人：杨绍慧1、教材版本北师大版高中数学选修 2-2二、教材的地位和作用 推理与证明思想贯穿于高中数学的整个知识体系，选修 2-2 第一章推理与证明是新课标教材的亮点之一，本章内容分为推理与证明两部分，其中第一节归纳与类比将归纳推理与类比推理的一般方法进行了必要的总结和归纳，同时也对后继知识的学习起到引领的作用。三、课时划分 归纳与类比的教学分两个课时完成：第一课时内容为归纳推理;第二课时内容为类比推理。本节课为第一课时。四、三维教学目标 1.知识与技能目标 理解归纳推理的概念，了解归纳推理的作用；掌握归纳推理的一般步骤，会利用归纳进行一些简单的归纳推理。 2.过程与方法目
2、标 学生通过积极主动地参与课堂活动，经历归纳推理概念的获得过程，了解归纳推理的含义;通过体验哥德巴赫猜想、多面体的欧拉定理的产生过程，增强学生的成功体验，并由此认识利用归纳推理能猜测和发现一些新事实、得出新结论的作用并明确归纳推理的一般过程；通过具体解题，感受归纳推理探索和提供解决问题的思路和方向的作用；通过自主学习归纳推理的一般方法，建构归纳推理的思维方式。 3.情感态度与价值观目标 运用数学史实、数学家的事迹激励学生，促其积极向上，形成良好品德素质；通过主动探究、合作学习、相互交流，培养不怕困难、勇于探索的优良作风，增强了数学应用意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度
3、；通过我国古今数学领域数学家杨辉和陈景润取得的杰出成就和事迹，培养学生的民族自尊心和自豪感，增强热爱祖国的思想感情。 五、教学重点归纳推理的含义与作用 六、教学难点 利用归纳推理进行简单的合情推理 7、教学方法启发发现法、问题谈论法28、教学过程设计 情景引入请同学们打开课本，第一章是推理与证明，当大家看到推理二字时可能想到更多的是和我们的生活有密切联系。情景 1：警察破案的推理判断情景 2：医生诊断病情其实我们数学学科中，也有很多推理的例子，引出情景 3：数学中的一个推理：两直线相交，对顶角相等 和 是对顶角1由 和 得， 2 思考交流请同学们举出一些日常生活和学习中进行推理的例子。通过同学
4、们的踊跃发言及时引导，关键是分析由已知到未知的思维过程。 提出问题问题 1：什么叫推理？教师通过刚才举的一些例子，分析得出推理的含义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。并对推理做出两点说明：（1）推理一般包括合情推理和演绎推理；（2）归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。此时引入：法国著名数学家、天文学家拉普拉斯（P。S。Laplace,1749-1827）曾说：“在数学这门科学里，我们发现真理的主要工具是归纳和类比”。由此说明归纳推理和类比推理的重要性。今天的学习内容是其中的归纳推理，并引出问题 2：怎样的推理是归纳推理呢？既然发现数学真理是有这样一种归纳推理的
5、方法，我们可以追溯数学家的脚步去追寻，他们通过归纳发现了哪些真理，或者是得到了哪些重要的结论？来看以下的例题：例 1：观察以下各等式，试通过归纳，猜想出有关正整数的结论。6=3+3， 8=3+5，10=3+7， 12=5+7，14=7+7， 16=5+11，。通过学生交流讨论，观察分析可以得出结论： 一个大于 4 的偶数可以表示成两个奇素数之和。告诉同学们，这就是著名的哥德巴赫猜想。激发同学们的成功体验，并对哥德巴赫及哥德巴赫猜想作介绍。关于哥德巴赫猜想大数学家欧拉没有给出证明，几百年过去了依然没有人给出证明，但是提到哥德巴赫猜想的时候不得不提的就是我国著名数学家陈景润。 1973 年，数学奇
6、才陈景润发表了著名论文大偶数表示为一个素数与不超过两个素数乘积之和（“1+2”）。把几百年来人们未曾解决的哥德巴赫猜想的证明大大推进了一步，引起轰动，在国际上被命名为“陈氏定理”。他有着超人的勤奋和顽强的毅力，多年来孜孜不倦地致力于数学研究，废寝忘食，每3天工作 16 个小时以上。在遭受疾病折磨时，他都没有停止过自己的追求，为数学事业的发展作出了重大贡献。他的事迹和拼搏献身的精神在全国各地广为传颂，成为一代又一代青少年心目中传奇式的人物和学习楷模。教师通过对陈景润的事迹进行介绍，培养学生的民族自尊心和自豪感，增强热爱祖国的思想感情。 例 2：在一个凸多面体中，试通过归纳、猜想其顶点数（V）、棱
7、数(E)、面数(F)满足的关系。教师通过对三棱锥、长方体、十二面体等多面体顶点数（V）、棱数(E)、面数(F)的分析并结合表格：多面体 顶点数（V） 棱数 (E) 面数(F)三棱锥 4 6 4四棱锥 5 8 5五棱锥 6 10 6三棱柱 6 9 5五棱柱 10 15 7长方体 8 12 6八面体 6 12 8十二面体 20 30 12得出结论： （多面体的欧拉定理）教师在此对大数学家欧拉作简单介绍：莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler ，1707 年 4 月1783 年 9 月），瑞士数学家、自然科学家。13 岁时入读巴塞尔大学，15 岁大学毕业，16 岁获得硕士学位。他从 19 岁开始
8、发表论文，直到 76 岁，他那不倦的一生，共写下了 886 本书籍和论文，其中在世时发表了 700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了 47 年。欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作。他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的 17 年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和 400 余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。通过欧拉的事迹，引导同学们要有克服困难、顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，打出字幕：欧拉永远是我们可敬的老师！通过这两个例子的分析、讲解，引导同学们得出归纳推理的概念：
9、所谓归纳推理，就是根据某一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理（简称归纳）。简单点说就是：由部分到整体、由个别到一般。在此基础上提出问题 3：上述的归纳推理是怎样的过程呢？（即如何进行归纳推理）由学生总结出归纳推理的思维过程：V-E+F=2（）猜测一般性结论观察、实验推广、概括4 初步运用1.已知下列不等式： ,.32,32,13试归纳出一般性的结论。这个问题让学生充分思考，看学生归纳的结果是否符合归纳推理的形式，并引导学生对归纳的结论进行证明。在此基础上提出问题 4：归纳推理的结论是否成立呢？从归纳推理前提和结论之间的关系分析不难发现，归纳推
10、理的结论不一定正确，并引导学生看课本上的一段话：1640 年，著名数学家费马对形如的数进行计算时发现当 时对应的 都是素数， 也是素12n 3,21n12n 124数。于是，他归纳出一个猜想：“所有形如 （ ）的数都是素n.3,数。”对于大一点的 ，验证这个猜想是很难的事情。直至近百年后的 1732 年，n瑞士数学家欧拉发现 不是素数，从而否定了这个猜想。67041125至此，下一个问题可以自然地提出来了。问题 5：归纳推理所得的结论并不可靠，为什么还要学习归纳推理呢？让学生充分思考，并发言。积极引导，并得出：由于事物的普遍性寓于事物的特殊性之中。归纳可以为我们提出论断的猜想提供基础与依据。它
11、是一种重要的思维方法，是发现数学定理的一个重要方法。2。课后第 7 页 练习 1杨辉三角的前五行是11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1试写出第 8 行，并归纳、猜想出一般规律。让学生充分思考，并发言。再介绍我国古代数学家杨辉，以及杨辉三角这一发现比欧洲发现这一规律要早近 400 年。其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位。中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。 回顾小结回顾本节课内容，我们学到了推理、归纳推理的概念，归纳推理的思维特点等学科知识；并激励同学们从数学家身上学到一些勤奋、顽强、勇于探索等优良品质。 课后作业猜测一般性结论5课本第 7 页习题 1-1：第 1 题，第 2 题。 板书设计1.1 归纳推理例 1 练习 1例 2
