1、 第 1 页 共 14 页第一章 空间几何体1.1 柱、锥、台、球的结构特征1.2 空间几何体的三视图和直观图1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法4 斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图1.3 空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积 2
2、rlS4 圆台的表面积 2Rl5 球的表面积 24R（二）空间几何体的体积1 柱体的体积 hSV底2 锥体的体积 底313 台体的体积 hS)下下上上（4 球体的体积 34RV第一章 空间几何体一、选择题1有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )主视图 左视图 俯视图(第 1 题)A棱台 B棱锥 C棱柱 D正八面体2如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 的等腰梯1形，那么原平面图形的面积是( )A2 B C D21 2 2 3棱长都是 的三棱锥的表面积为( )1A B2 C3 D43 34长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3，4，5，且它的
3、 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A25 B50 C125 D都不对5正方体的棱长和外接球的半径之比为( )A 1 B 2 C2 D 33336在ABC 中，AB2，BC 1.5，ABC 120，若使ABC 绕直线 旋转一周，则所形BC成的几何体的体积是( )A B C D 292725237若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为 5，它的对角线的长分别是 9 和 15，则第 2 页 共 14 页这个棱柱的侧面积是( )A130 B140 C150 D1608如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为3 的正方形，EF AB ，EF ，且 EF 与
4、平面 ABCD 的距离为232，则该多面体的体积为( )A B5 9C6 D 219下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误的是( )A用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C水平放置的矩形的直观图是平行四边形D水平放置的圆的直观图是椭圆10如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )(第 10 题)二、填空题11一个棱柱至少有_个面，面数最少的一个棱锥有_个顶点，顶点最少的一个棱台有_条侧棱12若三个球的表面积之比是 123，则它们的体积之比是_13正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，O 是上底面 ABCD
5、的中心，若正方体的棱长为 a，则三棱锥OAB 1D1 的体积为_14如图，E，F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是_15已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 、 、23，则这个长方体的对角线长是_，它的体积为6_16一个直径为 32 厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高 9 厘米则此球的半径为_厘米三、解答题17有一个正四棱台形状的油槽，可以装油 190 L，假如它的两底面边长分别等于 60 cm 和 40 cm，求它的深度18 *已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之
6、比提示：过正方体的对角面作截面第 3 页 共 14 页19如图，在四边形 ABCD 中，DAB90，ADC135，AB 5，CD2 ，AD2，求四边形 ABCD 绕 AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积(第19题)20养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为 12 m，高 4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大 4 m(高不变)；二是高度增加 4 m(底面直径不变)(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第二章
7、 直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 450，且横边画成邻边的 2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母 、 等表示，如平面 、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD等。3 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为ALBL = L AB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个
8、平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A、B、C。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P =L，且 PL公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平
9、行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。D CBACBAP L共面直线=ac第 4 页 共 14 页公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角 (0， )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。2.1.3 2.1.4
10、 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a=A a2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符
11、号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab= b作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平
12、面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作L，直线 L 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。Lp 2第 5 页 共 14 页2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、两个平面互相垂直的判定
13、定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。第二章综合检测题一、选择题1若直线 a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是( )A相交 B平行C异面 D平行或异面2平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为( )A3 B4 C5 D63已知平面 和直线 l，则 内至少有一条直线与 l( )A平行 B相交 C垂直 D异面4长方体 ABCDA 1B1C1D1 中
14、，异面直线 AB，A 1D1 所成的角等于( )A30 B 45 C60 D 905对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面 ，使得( )Aa，b Ba，b Ca，b Da，b6下面四个命题：若直线 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面；若直线 a，b 相交，b，c 相交，则 a，c 相交；若 a b，则 a，b 与 c 所成的角相等；若 ab，bc，则 a c.其中真命题的个数为( )A4 B3 C2 D17在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E，F 分别是线段 A1B1，B 1C1 上的不与端点重合的动点，如果 A1EB 1F，有下面四个结论：EFAA 1；EF AC；
15、EF 与 AC 异面；EF 平面 ABCD.其中一定正确的有( )A B C D8设 a，b 为两条不重合的直线， ， 为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是( )A若 a，b 与 所成的角相等，则 a bB若 a ，b ， ，则 a bC若 a，b，a b，则 D若 a，b，则 ab9已知平面 平面 ，l ，点 A，Al，直线 AB l，直线 ACl，直线m ， n ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )AAB m BAC mCAB DAC10(2012大纲版数学( 文科)已知正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1、CC 1 的中点，那么直线 AE 与 D1
16、F 所成角的余弦值为( )A B. .45 35C. D34 3511已知三棱锥 DABC 的三个侧面与底面全等，且 ABAC ，BC2，则以 BC 为棱，以3面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为( )A. B. C 0 D33 13 1212如图所示，点 P 在正方形 ABCD 所在平面外，PA平面 ABCD，PAAB，则 PB 与 AC 所成的角是( )A90 B60 C45 D30二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25分把答案填在题中的横线上)13下列图形可用符号表示为_第 6 页 共 14 页14正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，二面角 C1ABC
17、的平面角等于_15设平面 平面 ，A，C，B ，D，直线 AB 与 CD 交于点 S，且点 S 位于平面 ，之间，AS 8，BS6，CS 12，则 SD_.16将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABD C，有如下四个结论：ACBD；ACD 是等边三角形；AB 与平面 BCD 成 60的角；AB 与 CD 所成的角是 60.其中正确结论的序号是_三、解答题(本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分) 如下图，在三棱柱 ABCA 1B1C1 中，ABC 与A 1B1C1 都为正三角形且 AA1面ABC，F、F 1 分别是 AC，A
18、1C1 的中点求证：(1)平面 AB1F1 平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1.18(本小题满分 12 分)如图所示，在四棱锥 PABCD 中， PA平面ABCD，AB4 ，BC3，AD 5，DAB ABC 90 ，E是 CD 的中点(1)证明：CD 平面 PAE；(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD所成的角相等，求四棱锥 PABCD 的体积19(12 分) 如图所示，边长为 2 的等边PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面，BC2 ，M 为 BC 的中2点(1)证明：AMPM；(2)求二面角 PAMD 的大小第 7 页 共
19、14 页20(本小题满分 12 分)(2010辽宁文，19)如图，棱柱 ABCA 1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形，B1CA 1B.(1)证明：平面 AB1C平面 A1BC1；(2)设 D 是 A1C1 上的点，且 A1B 平面 B1CD，求A1D DC1 的值21(12 分) 如图， ABC 中，ACBC AB，ABED 是边长为 1 的正方形，平面 ABED底面22ABC，若 G，F 分别是 EC，BD 的中点(1)求证：GF 底面 ABC；(2)求证：AC平面 EBC；(3)求几何体 ADEBC 的体积 V.分析 (1)转化为证明 GF 平行于平面 ABC 内的直线 AC；(2)
20、转化为证明 AC 垂直于平面 EBC内的两条相交直线 BC 和 BE；(3) 几何体 ADEBC 是四棱锥 CABED.第 8 页 共 14 页22(12 分) 如下图所示，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AC3，BC 4，AB 5，AA 14，点 D 是AB 的中点(1)求证：ACBC 1；(2)求证：AC 1 平面 CDB1；(3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值第 9 页 共 14 页第一章 空间几何体参考答案A 组一、选择题1A 解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台2A 解析：原图形为一直角梯形，其面积 S (1 1)22 2
21、3A 解析：因为四个面是全等的正三角形，则 S 表面 4 34B 解析：长方体的对角线是球的直径，l 5 ，2R5 ，R ，S4 R25022 255C 解析：正方体的对角线是外接球的直径6D 解析：VV 大 V 小 r2(11.51) 337D 解析：设底面边长是 a，底面的两条对角线分别为 l1，l 2，而 15 25 2， 9 25 2，1ll而 4a 2，即 1525 29 25 24a 2，a8，S 侧面 48516021l8D 解析：过点 E，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V2 32 32 41159B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段
22、，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变10D 解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选 D.二、填空题11参考答案：5，4，3解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台12参考答案：12 3 2r1r 2r 31 ， 1 3( )3( )312 3 1r32r213参考答案： 解析：画出正方体，平面 AB1D1 与对角线 A1C 的交点是对角线的三等分361a点，三棱锥 OAB 1D1 的高 h a，V Sh 2a2 a a331346另法：三棱锥 OAB 1D1 也可以看成三棱锥 AOB 1D1，它的高为 AO
23、，等腰三角形 OB1D1 为底面14参考答案：平行四边形或线段15参考答案： ， 解析：设 ab ，bc ，ac ，则 V = 6236abc ，c ，a ，b1，l 6321 3616参考答案：12解析：VShr 2h R3，R 124274三、解答题17参考答案：V (S S)h，h 7531 SV 3601 42609318参考答案：如图是过正方体对角面作的截面设半球的半径为 R，正方体的棱长为 a，则 CCa，OC a，OCR2CACOA(第 18 题)在 RtCCO 中，由勾股定理，得 CC 2OC 2OC 2，即 a2( a)2R 2第 10 页 共 14 页R a，V 半球 a
24、，V 正方体 a 262633V 半球 V 正方体 219参考答案：S 表面 S 下底面 S 台侧面 S 锥侧面 52 (25)522(604 )VV 台 V 锥 ( r 1r2 )h r2h133 4820 解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m，则仓库的体积V1 Sh ( )24 (m3)31656如果按方案二，仓库的高变成 8 m，则仓库的体积V2 Sh ( )28 (m3)(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成 16 m，半径为 8 m棱锥的母线长为 l 4 ，2 5仓库的表面积 S184 32 (m2)如果按方案二，仓库的高变成 8 m棱锥的母线
25、长为 l 10，26仓库的表面积 S261060 (m2)(3) 参考答案：V 2V 1，S 2S 1，方案二比方案一更加经济些详解答案1答案 D2答案 C解析 AB 与 CC1为异面直 线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：第一类与 AB 平行与 CC1 相交的有： CD、C1D1与 CC1 平行且与 AB 相交的有： BB1、AA1，第二类与两者都相交的只有 BC，故共有 5 条3答案 C解析 1直线 l 与平面 斜交时，在平面 内不存在与 l 平行的直线，A 错；2l 时，在 内不存在直线与 l 异面，D 错；3l时，在 内不存在直线与 l 相交无论哪种情形在平面 内都有无
26、数条直线与 l 垂直4答案 D解析 由于 ADA1D1，则 BAD 是异面直线 AB，A1D1 所成的角，很明显 BAD90.5答案 B解析 对于选项 A，当 a 与 b 是异面直线时， A 错误；对 于选项 B，若 a，b 不相交， 则 a 与 b 平行或异面，都存在 ，使 a， b，B 正确；对于选项 C，a，b，一定有 ab，C 错误；对于选项D，a ，b，一定有 ab，D 错误6答案 D解析 异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内，a c，而在空 间中，a 与 c 可以平行，可以相交，也可以异面，故错误7答案 D解析 如图所示由于 AA1平面 A1
27、B1C1D1，EF平面 A1B1C1D1，则 EFAA1，所以 正确；当E，F 分 别是线 段 A1B1，B1C1 的中点时，EF A1C1，又 ACA1C1，则 EFAC，所以不正确；当 E，F 分别不是线段 A1B1，B1C1 的中点时， EF 与 AC 异面，所以不正确；由于平面 A1B1C1D1平面ABCD，EF平面 A1B1C1D1，所以 EF平面 ABCD，所以 正确第 11 页 共 14 页8答案 D解析 选项 A 中，a，b 还可能相交或异面，所以 A 是假命 题；选项 B 中，a， b 还可能相交或异面，所以 B 是假命 题；选项 C 中， ，还可能相交，所以 C 是假命题；
28、选项 D 中，由于 a，则a或 a，则 内存在直线 la，又 b，则 bl，所以 ab.9答案 C解析 如图所示：ABlm；ACl，mlACm；AB lAB .10答案 命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用35解析 首先根据已知条件，连接 DF，然后则角 DFD1 即为异面直线所成的角，设边长为 2，则可以求解得到 DFD 1F，DD12，结合余弦定理得到结论511答案 C解析 取 BC 中点 E，连 AE、DE，可证 BCAE，BCDE，AED 为二面角 ABC D 的平面角又 AEED ，AD2，AED 90，故选 C.212答案 B解析 将其还原成正方体 ABCDP
29、QRS ，显见 PBSC，ACS 为正三角形， ACS60.13答案 AB14答案 45解析 如图所示，正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，由于 BCAB，BC1AB，则C 1BC 是二面角C1AB C 的平面角又BCC 1 是等腰直角三角形， 则 C1BC45.15答案 9解析 如下图所示，连接 AC，BD，第 12 页 共 14 页则直线 AB，CD 确定一个平面 ACBD.，ACBD，则 ， ，解得 SD9.ASSB CSSD 86 12SD16答案 解析 如图所示， 取 BD 中点，E 连接 AE，CE，则 BDAE，BDCE，而 AECEE， BD平面 AEC，AC平面 AEC，
30、故 ACBD，故 正确设正方形的边长为 a，则 AECE a.22由知 AEC90是直二面角 ABDC 的平面角，且AEC90，ACa，ACD 是等边 三角形，故 正确由题 意及知，AE平面 BCD，故 ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的角，而 ABE45，所以不正确分别 取 BC，AC 的中点为 M，N，连接 ME，NE，MN.则 MNAB，且 MN AB a，12 12MECD，且 ME CD a，12 12EMN 是异面直线 AB，CD 所成的角在 RtAEC 中，AECE a，ACa，22NE AC a.MEN 是正三角形， EMN60 ，故 正确12 1217证明 (1)在正三
31、棱柱 ABCA 1B1C1 中，F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点，B1F1BF，AF1C1F.又 B1F1AF 1F 1，C1FBF F ，平面 AB1F1平面 C1BF.(2)在三棱柱 ABCA 1B1C1 中， AA1平面 A1B1C1，B1F1AA1.又 B1F1A1C1，A1C1AA 1A 1，B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1.18解析 (1)如图所示，连接 AC，由 AB4， BC3， ABC90，得 AC5.又 AD5，E 是 CD 的中点，所以 CDAE.PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 PACD.而
32、 PA，AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CD平面 PAE.(2)过点 B 作 BGCD，分别与 AE，AD 相交于 F，G，连接 PF.由(1)CD 平面 PAE 知，BG平面 PAE.于是BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且 BGAE.由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角AB4，AG 2 ，BGAF，由题意，知PBA BPF，因为 sinPBA ，sinBPF ，所以 PABF .PAPB BFPB由DABABC 90知，AD BC，又 BGCD，所以四 边形 BCDG 是平行四边形，故 GDBC3.于是 AG 2.第 1
33、3 页 共 14 页在 RtBAG 中，AB4，AG 2，BGAF，所以BG 2 ，BF .于是 PABF .AB2 AG2 5AB2BG 1625 855 855又梯形 ABCD 的面积为 S (53) 416，所以四棱 锥 PABCD 的体积为12V SPA 16 .13 13 855 12851519解析 (1)证明：如图所示，取 CD 的中点 E，连接 PE，EM，EA，PCD 为正三角形，PECD，PEPDsinPDE2sin60 .3平面 PCD平面 ABCD，PE平面 ABCD，而 AM平面 ABCD，PEAM.四 边形 ABCD 是矩形，ADE，ECM，ABM 均为直角三角形，
34、由勾股定理可求得 EM ，AM ，AE3，3 6EM2AM 2 AE2.AMEM.又 PEEME，AM平面 PEM，AMPM.(2)解：由(1)可知 EMAM，PMAM，PME 是二面角 PAMD 的平面角tanPME 1，PME45.PEEM 33二面角 PAMD 的大小为 45.20解析 (1)因为侧面 BCC1B1 是菱形，所以 B1CBC1，又已知 B1CA1B，且 A1BBC 1B，所以 B1C平面 A1BC1，又 B1C平面 AB1C所以平面 AB1C平面 A1BC1 .(2)设 BC1 交 B1C 于点 E，连接 DE，则 DE 是平面 A1BC1 与平面B1CD 的交线因为 A
35、1B平面 B1CD，A1B平面 A1BC1，平面 A1BC1平面 B1CDDE ，所以 A1BDE.又 E 是 BC1 的中点，所以 D 为 A1C1 的中点即 A1D DC11.21解 (1)证明：连接 AE，如下图所示ADEB 为正方形，第 14 页 共 14 页AEBDF ，且 F 是 AE 的中点，又 G 是 EC 的中点，GFAC，又 AC平面 ABC，GF平面 ABC，GF平面 ABC.(2)证明：ADEB 为正方形，EB AB，又 平面 ABED平面 ABC，平面 ABED平面 ABCAB ，EB平面 ABED，BE平面 ABC，BEAC.又 ACBC AB，22CA2CB 2A
36、B 2，ACBC.又 BCBEB，AC 平面 BCE.(3)取 AB 的中点 H，连 GH，BCAC AB ，22 22CHAB，且 CH ，又平面 ABED平面 ABC12GH平面 ABCD，V 1 .13 12 1622解析 (1)证明：在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，底面三 边长 AC3，BC4， AB5， ACBC.又 C1CAC.AC平面 BCC1B1.BC1平面 BCC1B，ACBC1.(2)证明：设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连接 DE，又四 边形 BCC1B1为正方形D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点，DE AC1.DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1平面 CDB1.(3)解：DE AC1，CED 为 AC1 与 B1C 所成的角在CED 中，ED AC1 ，12 52CD AB ，CE CB12 ，12 52 12 2cosCED .252 225异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 .225
