1、高中数学必修2 知识点第一章立体几何初步1. 柱、锥、台、球的结构特征（ 1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。（ 2）棱锥： 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体（ 3）棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分（ 4）圆柱： 以矩形的一边所在的直线为轴旋转 , 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体（ 5）圆锥： 以直角三角形的一条直角边为旋转轴 , 旋转一周所成的曲面所围成的几何体（ 6）圆台： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分（ 7
2、）球体： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体2. 空间几何体的表面积和体积：（ 1）侧面积公式： 直棱柱 S ch（ c 为底面周长， h 为高） 正棱锥 S1 ch （ c 为底面周长， h 为斜高）2 正棱台1S2(c1c2 ) h （ c1、 c2 分别为上下底面的周长， h 为斜高） 圆柱 S 2rh （ r 为底面半径， h 为高） 圆锥 Srl （ r 为底面半径， l 为母线长） 圆台 S(r1r2 )l （ r1、 r2 分别为上下底面半径， l 为母线长）（ 2）体积公式： 棱柱 VSh（S 为底面积， h 为高） 棱锥 V1 Sh （S 为底面积， h
3、 为高）3 棱台 V1 ( S1S1 S2 S2 )h （ S1、 S2分别为上下底面积， h 为高）3 圆柱 VShr 2 h （S 为底面积， r 为底面半径， h 为高） 圆锥 V1Sh1r 2 h （S 为底面积， r 为底面半径， h 为高）33 圆台 V1 ( S1S1 S2 S2 )h （ S1、 S2分别为上下底面积， h 为高）31高中数学必修2 知识点（ 3）球：球的表面积公式： S 4 R2球的体积公式： V4R3 （ R 表示球的半径）3球的任意截面的圆心与球心的连线垂直截面，若设球的半径为R，截面圆的半径是r ，截面圆的圆心与球心的连线长为d，则： d 2R2r 2
4、。3. 空间几何体的三视图正视图（从前向后）；侧视图（从左向右）；俯视图（从上向下） .4. 空间几何体的直观图斜二测画法斜二测画法特点：x o y 450 ；原来与 x 轴平行的线段仍然与 x 平行且长度不变；原来与 y 轴平行的线段仍然与 y 平行，长度为原来的一半。第二章直线与平面的位置关系1. 平面的基本性质： 公理 1：若一条直线上的 两点在一个平面内，则这条 直线上所有点都在这个平面内。 （判断直线是否在平面内）公理 2：经过不在同一直线上的三点 ，有且只有一个 平面 。（确定一个平面）推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论 2：经过两条相交直线，有且只有
5、一个平面。推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理 3：若两个平面有一个公共点，则它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 （判断两平面是否相交） 公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行。 （说明具有传递性）2高中数学必修2 知识点2. 空间中直线与直线之间的位置关系（ 1）空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。注意：两条异面直线所成的角(0, ；2两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。判断空间两条直
6、线是异面直线的方法：a. 平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不过B 的直线是异面直线；b. 利用反证法，先假设两条直线平行或相交，再证出矛盾即可。3. 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系（ 1）直线与平面有三种位置关系：直线在平面 内 有无数个公共点直线与平面 相交 有且只有一个公共点直线在平面 平行 没有公共点注意：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a来表示aa =Aa（ 2）两个平面的位置关系：相交（有一条公共直线）、平行（没有公共点）。4. 直线、平面 平行的判定定理和性质定理（ 1）线面平行的判定定理：平面外 一条直线 与此平面内的一条直线平行，则
7、该直线与此平面平行。 ( 线线平行，则线面平行 )（ 2）面面平行的判定定理： 一个平面内的 两条相交直线 与另一平面平行， 则这两个平面平行。注：判断两平面平行的方法有三种：用定义（一般与反证法结合）；判定定理；垂直于同一条直线的两个平面平行。3高中数学必修2 知识点（ 3）线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面 与此平面的交线与该直线平行。 ( 线面平行 , 则线线平行 )（ 4）面面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。注：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。5. 直线与平面 垂直的判定定理和性质定
8、理（ 1）线面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直线与此平面垂直。（ 2）面面垂直的判定定理： 一个平面过 另一个平面的 垂线，则这两个平面垂直。（ 3）线面垂直性质定理 1：垂直于平面的直线，则垂直该平面内的任意直线。（ 4）线面垂直性质定理 2：垂直于同一个平面的两条直线平行。（ 5）面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。其它结论：（ 1）平行于同一个平面的两个平面平行。（ 2）垂直于同一条直线的两个平面平行。（ 3）若一个平面与两条平行线中的一条垂直，则这个平面与另一条也垂直。4高中数学必修2 知识点
9、（ 4）若一个直线与两个平行平面中的一个垂直，则这条直线与另一个平面也垂直。6. 二面角（ 1）二面角概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形. 二面角范围： 0,2 AlB（ 2）二面角的记法：二面角 - l - 或 -AB- ；（ 3）二面角的计算：在二面角 - l - 的棱 l 上任取一点 O，以点 O为垂足，在半平面和内分别做垂直于棱 l 的射线 OA和 OB，则角 AOB为二面角的平面角7. 求距离和体积的方法（ 1）求距离：距离公式；勾股定理；反用体积公式等；（ 2）求体积：体积公式；等体积变换；割补法等；第三章直线与方程1. 直线的倾斜角定义： x 轴正向与直线向上方向
10、 之间所成的角叫直线的倾斜角。倾斜角的取值范围是0 1802. 直线的斜率 k k tan （900 ）；当倾斜角900 时，直线的斜率不存在。 过两点 P1( x1 , y1 ) 、 P2 (x2 , y2 ) ( x1y2y1x2 ) 的斜率公式： kx1x2b直线的方向向量 va, b ，则直线的斜率为 k =( a0) .3. 截距：直线与 x 轴交点的横坐标叫做直线在 x 轴上的截距 ；直线与 y 轴交点的纵坐标叫做直线在 y 轴上的截距 。xx1x24. 中点坐标公式 ： A(x1, y1) 、 B( x2 , y2 ) 两点的中点 M ( x, y) 满足：y2y1y225高中数
11、学必修2 知识点5. 直线方程点斜式： yy1k (xx1 ) 直线斜率 k，且过点 x1, y1注意：当直线的斜率为0时， k=0，直线的方程是yy1。=当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示它的方程是x=x1。斜截式： ykxb ，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式： yy1xx1（ x1x2 , y1 y2 ）直线两点x , y， x, y2y2y1x2x1112截矩式 ： xy1 其中直线 l与 x 轴交于点 (a,0) , 与 y 轴交于点 (0,b) , 即 l 与 x 轴、 y 轴的截ab距分别为 a,b一般式： AxByC0 （ A，
12、 B 不全为 0）注意特殊的方程：平行于x 轴的直线： y b （b 为常数）；平行于 y 轴的直线： xa （a 为常数）；6. 两直线平行与垂直（ 1）两直线的平行位置关系（点斜式或斜截式）： 平行： l1 l 2k1k2 且 b1 b2 ； 垂直： l1l 2k1 k21（注：当直线的斜率不存在时，要特殊处理）（ 2）两直线的平行位置关系（一般式） ：直线 l1 : A1 x B1 yC1 0 ，l 2 : A2 x B2 y C 2 0 平行： l1 l 2A1B1C1 ；A2B2C2 重合： l1=l2 垂直： l1l2A1 A2B1B20 相交：6高中数学必修2 知识点（ 3）有关
13、结论：与直线 ykxb 平行的直线方程可设为： ykxm （ mb ）与直线 AxByC0平行的直线方程可设为：AxBym0 （ mC ）与直线 AxByC0垂直的直线方程可设为：BxAym07. 两条直线的交点l1 : A1 x B1 y C1 0l 2 : A2 xB2 y C20 相交，交点坐标即方程组A1 xB1 yC10的一组解 。A2 xB2 yC20方程组无解l 1 / l 2；方程组有 无数解l1 与 l 2 重合8. 距离公式（ 1）两点间距离公式： 设 A(x , y)，（Bx, y ）x1 )2( y2y1 )21122 ，则 | AB | ( x2（ 2）点到直线距离公
14、式： 点 P x0 , y0到直线 l1 : AxByC0 的距离dAx0By0 CA2B 2（ 3）两平行直线距离公式 ：已知两条平行直线 l1 和 l2 的一般式方程为 l1 ： AxByC10 ，l 2 ： AxByC20 ，则 l1与 l2 的距离为 dC1C2A2B29. 对称关系（ 1）点与点对称的坐标关系： 点 P( x, y) 关于点 M (x0 , y0 ) 的对称点 P 是 ( x , y ) ，则： x0xx2；y0yy2（ 2）点关于直线对称的坐标关系：设点 P( x1 , y1 ) ， Q( x2 , y2 ) 关于直线 l : AxBy C 0 对称，则：y2y1B
15、；x2x1AAx1x2By1y2C022（ 3）特殊的对称：点 P ( x0 , y0 ) 关于原点对称的点的坐标为：(x0 ,y0 ) ；7高中数学必修2 知识点第四章圆与方程1. 圆的方程：（ 1）标准方程：xa 2yb 2r 2 ，圆心 a,b ，半径为 r ；（ 2）一般方程：x2y2DxEyF 0当 D 2E 24 F0 时，方程表示圆，此时圆心为D ,E ，半径为 r1D 2E 24F222当 D 2 E 2 4F 0 时，表示一个点；当 D 2 E 2 4F 0 时，方程不表示任何图形。（ 3）求圆方程的方法：一般都采用 待定系数法 ：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用
16、圆的标准方程，需求出 a， b， r ；若利用一般方程，需要求出 D， E， F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点 ，以此来确定圆心的位置。2.点和圆的位置关系 ：（ 1）几何法：若点 P 与圆心 C 的距离为 d，圆的半径为 r，则： d r 点在圆外； d r 点在圆上； d r 点在圆内。（ 2）代数法：对于点 P( x0 , y0 ) 和圆 (x a) 2( yb) 2r 2 或 x2y2Dx Ey F 0 ，则：点 P 在圆内(x0a) 2( y0b)2r 2x02y02Dx0Ey0F0点 P 在圆上(x0a) 2( y0b)2r 2x02y02Dx0Ey0F0点
17、 P 在圆外(x0a) 2( y0b)2r 2x02y02Dx0Ey0F03.直线与圆的位置关系：（ 1）几何法：直线与圆相离dr ； 直线与圆相切d r ； 直线与圆相交d r ；（ 2）代数法：Ax ByC0，消去 y 得一元二次方程 f ( x)0 ，则：联立方程组，得y 2DxEy Fx20直线与圆相离0 ； 直线与圆相切0 ； 直线与圆相交0 ；8高中数学必修2 知识点4.圆的性质（ 1）圆的切线的几何特征：0 过切点的半径垂直切线；rddr ）。 圆心到切线的距离等于半径（AB（ 2）直线被圆截得的 弦长：2 r2d2| AB |（即：半径、弦心距、半径长构成一个直角三角形。）5.
18、 切线方程计算（ 1）过圆外一点的切线方程： k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，求解 k，得到方程【一定两解】（ 2）过圆上一点的切线方程：圆 (x-a) 2+(y-b) 2=r 2，圆上一点为 (x 0， y0) ，则过此点的切线方程为 (x 0 -a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r26. 圆与圆的位置关系：222 ， C 2 : x a 2222设圆 C1 : x a1y b1ry b2R两圆的位置关系常通过 两圆半径的和 （差），与 圆心距（d）之间的大小比较来确定。当 dRr 时两圆外离，此时有公切线四条；当 dRr 时两圆外切，连心
19、线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当 Rrd R r 时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当 dRr 时，两圆 内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当 dRr 时，两圆 内含；当 d0时，为同心圆。注意： 1. 已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线；2. 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点；三角形的相关性质：1. 外心（垂直平分线）；内心（角平分线）；垂心（三条高）；重心（三条中线）；2. 三角形的中位线平行于第三条边且等于第三条边的一半；3. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1 ；4. 等边三角形“三线合一”；四边形的相关性质：1. 平行四边形对角线平方和等于四边的平方和；9
