1、运筹学期末习题课三、已知线性规划问题 )5,1(03. 0)(max23221 145jxtbxast ctczj当 0 时，用单纯形法求得最终表如下：1t2要求：1. 确定 的值；23213121321 , aabc2. 当 0 时， 在什么范围内变化上述最优解不变；tt3. 当 0 时， 在什么范围内变化上述最优基不变。12四、某公司准备以甲、乙、丙三种原料生产 A、B、C、D 四种型号的产品，每一单位产品对各原料的消耗系数、价格系数及原料成本等已知条件如下表：产品原料 A B C D原料成本（百元/公斤）原料限量（公斤）甲 1.5 2 4 3 4 5500乙 4 1 2 1 5 3500
2、丙 2 3 1 2 2 2000单位产品价格（百元/公斤） 45 35 40 301为解决“在现有原料量限制下，如何安排 A、 B、C、D 四种产品的产量，使总利润（这里利润简化为销售收入与原料成本之差）最大”这一问题，可建立一线性规划模型，令 x1、x 2、x 3、x 4 依次表示各型号产品的计划产量，试列出这个模型，并记该模型为模型 1；2利用一解线性规划的程序解上述问题（模型 1） ，得到的部分结果如下：OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 19923.08VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1 230.769226 0.000000X2 100.00
3、0000 0.000000X3 1238.461548 0.000000X4 0.000000 4.3846151x234x 55/23x0 1/2 1 1/2 05/211 -1/2 0 -1/6 1/3jjzc0 -4 0 -4 -2ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 1.3846153) 0.000000 1.2307694) 0.000000 4.000000RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGEDRIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABL
4、ERHS INCREASE DECREASE2 5500.000000 1499.999878 4025.0000003 3500.000000 500.000000 749.9999394 2000.000000 6192.307617 250.000000根据以上计算结果，分析并回答以下问题：（1）最优生产方案和最大总利润是什么？按此方案生产，现有的原料是否还有剩余？哪一种有剩余？余多少？（2）如果市场上甲原料的价格为 4.5（百元/公斤） ，那么从市场上购得1000 公斤的甲原料扩大生产是否合算（即总利润是否增加）？为什么？（3）若 D 产品的价格系数增大到 34（百元/公斤） ，原最优
5、解会否发生变化？为什么？（4）在原考虑的 A、B、C、D 四种型号产品基础上，如果又提出产品 E，它对甲、乙、丙的消耗系数分别为 5、6、2，价格系数为 74（百元/公斤） ，那么原最优方案是否要改变，为什么？（5）若在本题已有已知条件基础上，还要考虑各产品的生产准备费用（视为固定成本） ，其中 A 产品的生产准备费为 1000（百元） ，B 产品的生产准备费为 800（百元） ，C 产品的生产准备费为 950（百元） ，D 产品的生产准备费为750（百元） ，而且由于某些原因，A、B、C 三种产品至多生产其中的两种。写出考虑这些新增条件下（不考虑产品 E） ，使生产利润最大的生产计划模型（不
6、解） 。五、某化学制药厂有 m 种有害副产品，它们的数量为 bi(i=1,m)。按照规定，必须经过处理，制成 n 种无害物后才能废弃。设 aij 为每制成一单位第j（j=1,n）种无害物可以处理掉第 i 种有害物的数量，cj 为制成一单位第 j种无害物的费用。1现欲求各无害物的产量 xj 以使总的处理费用为最小，请写出此问题的线性规划模型；2写出此问题的对偶规划模型，并解释对偶规划模型的经济意义。六 给出线性规划问题 )3,21(0743132max12jxxxzj用单纯形法求解得最终单纯形表见下表。2 3 1 0 0CB 基 B x1 x2 x3 x4 x52 x1 1 1 0 -1 4 -
7、1 3 x2 2 0 1 2 -1 1jjzc0 0 -3 -5 -1 试分析下列各种条件下最优解(基)的变化： (1)目标函数中变量 x3的系数变为 6；(2)分别确定目标函数中变量 xl和 x2的系数 c1、c 2在什么范围内变动时最优解不变；（3）约束条件右端项由 变为 ；13（4）增加一个新的变量 ；7,66cPx十六、 某服装厂设计了一款新式女装准备推向全国，如直接大批生产与销售，主观估计成功与失败概率各为 0.5，其分别的获利为 1200 万元与-500 万元，如果取消生产销售计划，则损失设计与准备费用 40 万元。为稳妥起见，可先小批试销，试销的投入需 45 万元，根据历史资料与
8、专家估计，试销成功与失败的概率分别为 0.6 和 0.4，又据过去情况大批生产销售为成功的例子中，试销成功的占 84%，大批生产销售失败的事例中试销成果的占 36%。试根据以上数据，先计算在试销成功与失败两种情况下，进行大批量生产与销售时成功与失败的各自概率，再画出决策树按 EMV 准则确定最优决策。十三、某航空公司在 A 市到 B 市的航线上用波音 737 客机执行飞行任务。已知该机有效载客量为 138 人。按民用航空有关条例，旅客因有事或误机，机票可免费改签一次，也有在飞机起飞前退票的。为避免由此发生的空座损失，该航空公司决定每个航班超量售票（即每班售出票数为 138+S 张） 。但由此会
9、发生持票登机旅客多于座位数的情况，这种情况下，航空公司规定，对超员旅客愿改乘本公司后续航班的，机票免费（即退回原机票款） ；若换乘其他航空公司航班的，按机票价的 150%退款。据统计前一类旅客（改乘本公司）占超员中的80%，后一类（换乘他公司）占 20%。又据该公司长期统计，每个航班旅客退票和改签发生的人数 i 的概率 p（i）如表 3 所示。表 3i 0 1 2 3 4 5 6 7 8p(i) 0.18 0.25 0.25 0.16 0.06 0.04 0.03 0.02 0.01试确定该航空公司从 A 市到 B 市的航班每班应多售出的机票张数 S，使预期的收益最大。 九、某汽车公司有两家汽
10、车配件制造厂 A 和 B，负责向两个服务配送中心C 和 D 供应汽车配件。运送的道路网络及各路段的允许通过容量如下图所示。设配件制造厂的供应数量无限制，求向 C、D 的供应量最大的运送方案和相应的最大供应量（求解的主要过程可在图上标出） 。1235466020403040204030AB7CD405070 5060107080十一双代号网络计划如图，图中箭线下不带括弧的数值表示正常工作时间，括弧内的数值表示最短工作时间，箭线上的数值表示直接费率（赶工单位时间增加的费用） ，箭线上没有数字表示该工作不能赶工（即在现有条件下不能缩短工作时间） 。设起始时间为 0，要求：354 7621A H9G7
11、E2D9C4B84(3)3(2)3()3(2)(3)4 F34(2)(6)(1) 对上述网络计划进行审查时，发现少了一项工作 M，它的紧前工作为A，紧后工作为 G，M 工作所需时间为 5 天，且不能赶工。画出增加 M 后的网络计划（可在原图上添加） ；(2) 在图上标出（增加 M 后）正常工作时间下的关键线路（用双线或其它色笔）并写出以下时间参数工作 D 的最早完成时间 EF2-5 =工作 H 的最迟开始时间 LS3-7 =工作 E 的自由时差 FF4-6=工作 A 的总时差 TF1-2 =此时的计算工期=(3) 如果要求工期比原计划提前 2 天，并要求以尽可能小的总费用实现该工期，哪些工作应
12、赶工，赶工几天？ 调整后该网络计划有几条关键线路（要求具体说明调整的过程和调整后各条关键线路）十二、某施工单位提交的一项目的网络计划如下图所示，箭线下面的数字为该工作（工序）的正常工作时间（天） ，要求工期 18 天。654321A HGEDCB4 3866531监理工程师在审查该图时发现工作 D 的紧前工作除 B 外还应有 A，请在图中把这一关系正确表示出来，并指出该网络计划的关键线路（在图上用双线或色笔标出）和（计算）工期；2当上述网络计划尚未实施时，建设单位提出需增加工作 M，它的紧前工作为 A 和 B，紧后工作为 E 和 G，M 工作所需时间为 9 天。画出增加 M 后的网络计划，并指
13、出此时的关键线路（在图上用双线或色笔标出）和（计算）工期；3增加工作 M 后，如工期仍要求 18 天，施工单位经分析后，考虑有些工作可以适当赶工，并估算出赶工 1 天所需增加的费用（直接费率） ，如下表所示（表中未列出的工作不能赶工）：工作名称 正常时间 最短时间 直接费率（百元天）A 4 2 6B 3 2 3C 5 4 2D 6 4 1E 6 4 2G 8 7 3给出使工期仍为 18 天且增加赶工费最少的方案（要求写出每步调整的工作，调整的天数及最后方案的网络计划，并在最后方案的网络计划中标出关键线路） 。七、一复合系统的结构如下图示意，它由 4 个部件串联组成。第 k 个部件的功能由该部件
14、专用的元件 Ek 完成，为提高系统的可靠性，第 k 个部件可由 xk个相同的元件 Ek 并联构成，若每个元件的可靠度为 pk，则第 k 个部件的可靠度为 。xkpr)1(E1E2E2E11 2E3E33E4E44已知 4 种元件的可靠度及价格见下表： 元件 单价 ck（元/个） 可靠度 pkE1 35 0.95E2 20 0.90E3 25 0.85E4 10 0.80要求设计中所用元件的总费用不超过 150 元，又因空间限制，第 3、4 个部件最多由 3 个元件并联，应如何设计使整个串联系统的总可靠性最大？要求：1以 xk (k=1,2,3,4)为变量，列出该问题的数学规划模型。2若用动态规
15、划方法求解，选取状态变量 sk 为安排至第 k 个部件前的总可用费用，x k 为决策变量，写出以下表达式：（1）第 1 阶段状态集合 ；1S（2）第 3 阶段状态为 s3 时的允许决策集合 ；)(3sD（3）状态转移方程；（4）阶段指标 ；),(kxv（5）递推方程（逆序递推，含终端条件） 。3按动态规划方法计算第 3 阶段状态为 75 时的最优指标函数 f3（75）和最优决策 x*3(75)。八、某投资者拟对 A 与 B 两种基金进行投资，投资期限 5 年。该投资的收益有两部分：一是长期的至第 5 年末的红利收入，年利率分别为 IA=0.06 和IB=0.04，计复利且 5 年间利率不变（例
16、如，第 1 年初投入 A 基金 1 元，5 年后红利收入(1+0.06) 5 元） ；二是短期的每年利息收入，两种基金在不同年份的利率iAk 和 iBk 见下表（例如，第 1 年初投入 A 基金 1 元，除 5 年后的红利收入外，一年后还有 0.02 元的利息收入） 。年份基金 1 2 3 4 5A 0.020 0.023 0.024 0.026 0.030B 0.050 0.050 0.055 0.045 0.055该投资者第 1 年初投入资金 50000 元，以后第 2 至 5 年初每年还再投入10000 元（不包括已投资的利息收入） ，收益计算方法相同（如第 2 年初投入 A基金 1 元
17、，第 5 年末红利收入(1+0.06) 4 元，同时第 2 至 5 年末还有年利息） 。所有投入基金的资金（包括年利息）在第 5 年末之前不得支取。现投资者需决定每年初的资金（当年投入资金加已投资金的短期年利息）对基金 A 和 B 的分配额，以使第 5 年末总收入最大。十一、某工程所有关键工序组成的网络图如下图所示，图中弧（即关键工序）上的数字为各工序压缩工时所需的费用（单位：百元/天） 。现该工程需将工期压缩一天，试求出使总压缩费用最小的压缩方案（即应在哪些工序上压缩） ，以及该最小的压缩费用。12354 62326 34631 1十四、某牙科诊所有 1 名牙医。统计表明牙医以平均每小时看
18、3 名病人的效率工作，平均每小时在诊所内的病人为 14 人。若可设病人到达的平均间隔和牙医每看 1 名病人的平均工作时间均服从负指数分布， （1）求病人的平均达到率；（2）如果某病人上午 10：10 到达，那么预计这名病人最可能何时能离开？十五、某公司近期向市场推出了一种新产品多功能复印-打印机。该产品的多功能很受顾客欢迎，但一旦需停下来维修则要同时耽误多项工作，因此，顾客要求尽量缩短维修等待时间。为此，公司的技术服务部在每个销售区域设置了一位技术服务代表专门负责该产品的维修服务工作。假设顾客要求维修的电话是完全随机地到达，平均每天到达 3 个，而当技术服务代表连续工作时，平均每天完成 4 项
19、维修任务。（1）该服务系统能否看作一个 M/M/1 排队系统？为什么？（2） 假设该系统可看作一个标准的 M/M/1 排队系统，求出系统的服务强度（技术服务代表的繁忙率）和顾客的平均等待（不包括维修）时间。（3）现公司希望将顾客的平均等待时间降为不超过 天，为此需将每个技41术服务代表的服务区域缩小为达到率不超过多少？这时每个技术服务代表的服务强度将降为多少？ 十七、甲乙二人玩一种游戏，甲有两个球，乙有三个球，在互不知道的情况下将球分别投入 A、B 两个箱中(每人都不允许有剩余球 )。设甲投入两箱中球数分别为 和 ，乙投入两个箱中球数分别为 和 ；若 甲赢 ,若1n2 1m2,1n)(1m甲赢
20、 ；若 甲输 ，若 甲输 ；在其,2m)(,1n)(1n,)(2它情况下双方无输赢（即值为 0） ，试将此问题表示成一个二人零和对策，即写出甲、乙的可选策略和甲的损益矩阵（不必求解） 。十八、离某国总统选举日还剩两天，民意测验表明尚有大约 10%的选民未确定态度，主要集中在 S 和 T 两市。甲、乙两候选人都认为争取这 10%的选民对于选举的成功是至关重要的，各自制定三个备选策略 s1，s 2和 s3进行最后的竞选活动。s 1为两天花在 S 市；s 2为两天花在 T 市；s 3为 S 和 T 市各一天。竞选班子估计在各局势的结局下，候选人甲多得的选票数（以百万计）如下表：乙1s2s3s1s1
21、1 023 1 2甲 31 4 21为求解该矩阵对策问题，可先尽量将问题简化。可将上表所示的得失矩阵中去掉 1 列，请指出可去掉哪一列？为什么？2请列出上述去掉 1 列后的矩阵相应的线性规划模型，只列出其中一个人（如乙的）经变量变换（变换后的变量等于原变量除以目标值 V，并设变换后的甲、乙变量向量分别为 X 和 Y ）简化后的模型即可。3用单纯形法对乙的模型（经变量变换简化后的 Max 型）求解，已得到其单纯形终表如下表：CB XB B-1b1y11y30y40y50y6y4 0 0 1 1/2 1/2y1 1 0 0 1/2 1/2y3 1 1 0 1/4 3/4j请填完此表，指出该表相应的最优解和最优值，并将此还原为甲、乙的最优混合策略。
