1、1求三角函数最值的方法三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，不易让学生掌握，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。求函数的最值是历届高考数学考查的热点之一，以三角函数为载体的问题已成为高考中的热点问题。1、一角一次一函数形式在学习了三角函数的内容以后可以知道，要求关于三角函数最值只能转化到 或者 这种形式才BxAy)sin( BxAyBxAy )tan(,)cos( 可以求其最值，我把这种形式称为“一角一次一函数形式”。例1：求 的最值。s3si解： )cos23in1(coinxxy)si3s(i2 i(当 即 时，kx Zkx,
2、62maxy当 即 时，2325变式1：再加上 是，结果如何？,0x在化到 y 时，)3sin(2 32,6,20xx， .1,)si(x,y变式2: 求函数 ， 的最值.xcosin12,解： ，)4ta(1txy 3,64,x当 时， ；当 时， .23miny12xmaxy变式3： ， ，求4sincosi41)(2xxf 3,2的最大值与最小值.)(xf解：（先观察角之间的关系，最好能转化为同角，然后看同角是三角函数的次数，在化为同一个函数名） 2)cos(132cos41)( xxxf ssin38 )6sin(8x.65,32,4xx当 时，.8)(minf当 时，3x.23)(a
3、xf在这个解题过程中，运用到了转化思想，化归到我们已经学习过的三角函数中去，通过一些倍角公式，与同角合并公式, 的转化，把它转化到 “一角一次)sin(cossin2xbaxba )(tanb一函数形式”，此时对于同一个角度是同次的。所以说把 化xbaycossin成 的形式是解决问题普遍方法)si(xAy2、一角二次一函数形式当三角函数转化为“一角一次一函数形式”有困难的时候，该如何呢？例2 求函数 的最值.472cosincos2xxy分析：先观察这个解析式可知，对于同一个角而言，不是同次时转化不到“一角一次一函数形式”时，肯定对同角而言是一次与二次的，所以有可能化归到二次函数去。解： 4
4、71cos2s1cosxxy 47cos2x241,minaxy3变式1：求 的最值.2cossinxy解： 4)(ix 4)sin(2si1xxsin(2cos2x4)i()4(in12 x27si)(si234n2x当 即 时， ，1)si( Zk, 29miny当 即 时， .xx2i此题这样做在思考上有一定的困难，但是我们可以思考到 与xcosi是有关联的， ，由此可设 cosinxxcosin1cosin2tin， ，由此化归到了一元)4(2x,2237tty二次函数，比上面的思维应该简单一点。所以以后见到 与xcosi同时出现时，借助它们之间的联系用 换元法 。利用一些三角公式进行
5、cosin变量替换，是求三角最值的一种常用技巧。对同一个角，有一次，两次出现，一般都可以转化到“一角二次一函数形式”。3、利用有界性（ ， ）1sin1cos三角函数中还有很多最值问题并不可以有上面两种方法解决，就有下面的例题来展示：例3 求函数 的值域.2sin3xy分析：不能转化到“一角一次一函数”与“一角二次一函数”这两种形式，但与我们以前所学的求 的最值，联系比较密切，借助分离变量或者说是1xy反表示解决这一题目。解： ， 因为 ,所以 .2sin3xy2siy1sinx132y4由此可得 ， 函数的值域为 .3y3,解二： ，2sinx2sin3x1ii32sin3x（用变量分离的方
6、法更简便）y3,变式1：求函数 的值域.2sincox解：由题意得 ，所以 yy3为其 中 (2)sin(32yx， ， )辅 助 角 )sin(2x11所以函数的值域为 .1321yy解 得 ： 1,解二：（此题还可以与几何图形相联系）由题意得 )2(sin0cosi3x设点 ，则 可以看成是单位圆上的动点 P 与点),2()co,(inQxP)(iQ连线的斜率，有图象可得 ，31k2k3yy这个代数问题通过解析几何解决了，体现了数形结合的数学思想。 这些过程中主要是让学生在学习的过程中，要会与以前所学知识的联系，把新的问题化归或转化到已经学过的知识中去。这就要求要把知识的传授和能力的培养相结合，注重数学思想方法的教学，而学生们一旦掌握了一种新的数XQ OP2P1Y5学思想和方法，思维就提高到一个新的层次，解答数学问题的能力就有较大的提高，因为“数学的精神和本质在于它的思想和方法” 。在这个求三角函数最值基本的过程中，让学生深刻的了解其中的数学思想方法，掌握“通性通法” ，也就掌握了学习数学的“万能”钥匙。数学思想方法是人人能懂，处处有用的，这就是新课程标准倡导的“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念。
