1、2014-12-3ANSYS非线性有限元分析主讲人：孙岩桦西安交通大学，机械工程学院机械电子及信息系统研究所课程名称：有限元方法及CAE软件课程代码：0121832014-12-3 2第一章 非线性有限元概述2014-12-3 31.1 非线性行为1.2 非线性分析的应用第一章 非线性有限元概述2014-12-3 4非线性结构的基本特征是结构刚度随载荷的改变而变化。如果绘制一个非线性结构的载荷位移曲线，则力与位移的关系是非线性函数。F u 当载荷增加时，载荷位移曲线的斜率也在改变。在本例中结构是“软化”的。1.1 非线性行为2014-12-3 5引起结构非线性的原因有很多，它们可分成以下三种主
2、要类型：1.几何非线性大应变，大位移，大旋转2.材料非线性塑性，超弹性，粘弹性，蠕变3.状态改变非线性接触，单元死活1.1 非线性行为2014-12-3 6如果一个结构承受大的变形，它改变的几何构形可导致非线性行为。大位移、大应变和大旋转是几何非线性的例子。 在轻微的横向载荷下，杆的端部是极度柔性的，当载荷增加时，杆的几何形状改变（变弯曲）并减少了力臂（由于载荷移动），从而导致杆的刚度在较高载荷下不断增大。1.1 非线性行为几何非线性2014-12-3 7非线性的应力应变关系是产生结构非线性的一个普遍原因。钢 橡 胶应变 应变应力 应力1.1 非线性行为材料非线性2014-12-3 8许多非线
3、性问题是与状态相关的。例如一段绳索可以是松驰的或拉紧的。一个装配件的两部分可能接触或脱离接触。 在这个接触例题中，接触面积未知，它取决与施加载荷的大小。1.1 非线性行为状态改变非线性2014-12-3 9 不能使用叠加原理! 结构响应与路径有关，也就是说加载的顺序可能是重要的。 结构响应与施加的载荷可能不成比例。1.1 非线性行为分析方法特点2014-12-3 101.1 非线性行为1.2 非线性分析的应用第一章 非线性有限元概述2014-12-3 11一些典型的非线性分析的应用包括： 非线性屈曲失稳分析 金属成形研究 碰撞与冲击分析 制造过程分析（ 装配、部件接触等） 材料非线性分析 （塑
4、性材料、聚合物）1.2 非线性分析的应用2014-12-3 12宽翼悬臂梁的侧边扭转失稳 一个由于几何非线性造成的结构稳定性问题1.2 非线性分析的应用2014-12-3 13橡胶底密封 一个包含几何非线性（大应变与大变形），材料非线性（橡胶），及状态非线性（接触的例子。1.2 非线性分析的应用2014-12-3 14轴上装配花键，接触非线性的例子1.2 非线性分析的应用2014-12-3 15第二章 非线性方程求解及收敛2014-12-3 16第二章 非线性方程求解及收敛2.1 非线性方程组的解法2.2 Newton-Raphson迭代法2.3 收敛准则2.4 载荷步、子步与平衡迭代步2.5
5、 非线性求解控制选项2.6 非线性求解过程2.7 ANSYS中的几何非线性2014-12-3 172.1 非线性方程组的解法 按照几何、材料、状态非线性理论建立的描述物理过程的最终方程都是非线性的。 在非线性分析中很难找到一种通用的适合各种类型非线性及各种非线性程度的解法。 各种解法均有各自的适用范围，选择不当可能引起收敛困难甚至发散。 因此一般通用的非线性有限元程序都提供几种解法以备用户选用。2014-12-3 182.1 非线性方程组的解法 求解一个结构的平衡问题通常等于求解结构的总位能的驻值问题。结构总位能 ： 公式（1） 用虚功原理使公式（1）变分为零即得到有限元的平衡方程： 公式（2
6、） 是 的函数。 ( ) TU u u F ( ) ( ) 0P u F K u u F ( )K u u2014-12-3 192.1 非线性方程组的解法增量法增量法：就是将荷载分成一系列的荷载增量，即ANSYS中的荷载步或荷载子步。要点：在每一个荷载增量求解完成后，继续进行下一个荷载增量之前，调整刚度矩阵以反映结构刚度的变化。 公式（3） 公式（4） 1 11 1i i iTi i iK u Fu u u 增量法的优点：可以追踪结构变形历程，这对于材料或几何非线性（特别是极限值屈曲分析）十分有用。增量法的缺点：随着荷载步增量的增加而产生积累误差，导致荷载位移曲线飘移。2014-12-3 2
7、0F u真实解.误差.有限元解2.1 非线性方程组的解法增量法 对飘移进行平衡修正，可以大大提高增量法的精度。应用最广的就是在每一级载荷增量上用New ton-Raphson或其变形的迭代法。 uk u*FkF2F1u 牛顿迭代法构造线性函数：求其零点： 2.1 非线性方程组的解法迭代法(x) 0f ( ) ( )( ) ( )n n nL x f x x x f x 1( ) 0nL x 1 ( )( )nn n nf xx x f x 2014-12-3 222.1 非线性方程组的解法迭代法迭代法公式： 公式（5）割线刚度法： ，收敛性差，因此很少应用。切线刚度法： New ton-Rap
8、hson迭代法： 11 ( )i i i i i iu u K K u F 1 1i i FK K 1 1i i TK K 1 u割线刚度f1( )nf x ( )nf x2014-12-3 23第二章 非线性方程求解及收敛2.1 非线性方程组的解法2.2 Newton-Raphson迭代法2.3 收敛准则2.4 载荷步、子步与平衡迭代步2.5 非线性求解控制选项2.6 非线性求解过程2.7 ANSYS中的几何非线性2014-12-3 24Ansys中，Newton-Raphson 法迭代求解使用下列方程：KTu = Fa - Fnr这里:KT = 切向刚度矩阵 u = 位移增量Fa = 施加
9、的载荷矢量Fnr = 内力矢量目标是迭代至收敛 (后面定义)。 Fa u1 2 3 4KTNewton-Raphson法基于增量加载与迭代，使系统达到平衡。优点：对于一致的切向刚度矩阵有二次收敛速度。2.2 Newton-Raphson迭代法 11 ( )i i i i iu u K K u F 2014-12-3 25切向刚度矩阵 代表多维空间中载荷位移曲线的斜度，为得到平方的收敛速度，切向刚度矩阵需要是全一致的。切向刚度矩阵KT由四部分组成：KT = Kinc + Ku + K - KaKinc：主切向刚度矩阵。Ku ：初始位移矩阵，考虑了与单元形状与位置改变有关的刚度K： 初始应力矩阵，
10、 考虑了与单元应力状态有关的刚度；它结合了应力刚化效应。Ka ：初始载荷矩阵， 考虑了与压力载荷取向改变有关的刚度，取向改变是由变形引起的。2.2 Newton-Raphson迭代法切向刚度2014-12-3 26Newton-Raphson 法需要一个收敛的度量以决定何时结束迭代。 给定外部载荷（Fa），内部载荷（ Fnr ,由单元应力产生并作用于节点），在一个体中，外部载荷必须与内力相平衡。 Fa - Fnr = 0收敛是平衡的度量。2.2 Newton-Raphson迭代法力平衡2014-12-3 27Newton-Raphson 迭代过程如下所示：a)基于 u0 时的结构构形，计算出切
11、向刚度KT；b)计算出不平衡力F；c)计算出位移增量u ；d)结构构形更新为 u1；e)在 u1中计算出内力Fnr 。迭代中的Newton-Raphson 不平衡量R: 位移Fa u1Fnr uF u0载荷 R KT2.2 Newton-Raphson迭代法收敛 nrai FFFR 不平衡量 R 在计算过程中不可能等于零。当不平衡量小到误差允许范围内时，可中止迭代，得到平衡解。2014-12-3 28虽然使用一致切向刚度的Newton-Raphson法具有平方的收敛速度，但它不能保证一定收敛！只有初始构形在收敛半径以内， Newton-Raphson 才可以保证收敛。F u位移载荷 收敛半径 如果 ustart 在收敛半径内将收敛，否则将发散。ustart ? 2.2 Newton-Raphson迭代法收敛半径2014-12-3 29ANSYS 使用了许多求解工具，既使用渐变式加载（在收敛半径内开始求解），又扩大收敛半径。渐变式加载 扩大收敛半径F uustart F1 F uustart 2.2 Newton-Raphson迭代法收敛半径2014-12-3 30Full Newton-Raphson（F.N.R）在一个荷载步或子步内每次迭代后重新形成一次刚度矩阵缺点：消耗机时！优点：适用于高度非线性问题。2.2 Newton-Raphson迭代法 F.N.RF u
