1、椭圆综合题练习 1. 设 , AB 分别为椭圆 () 22 22 10 xy ab ab += 的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且 4 x = 为它的右准线. (1) 求椭圆的方程； (2) 设 P 为右准线上不同于点() 4,0 的任意一点，直线 , AP BP 分别与椭圆交于异于 , AB 的 点 , MN . 若 () 4,3 P ，求 BM BP 的值； 求证：点 B 在以 MN 为直径的圆内. 解：(1) 椭圆的方程为 22 1 43 xy += (2) 5 2 由(1)得()() 2,0 , 2,0 AB - ，设 () 00 , Mxy M 点在椭圆上 () 22 00 3
2、 4 4 yx =- 又点 M 异于顶点 A，B， 0 22 x - ， 0 BM BP ，则 MBP 为锐角，从而 MBN 为钝角 故点 B 在以 MN 为直径的圆内 2. 已知椭圆 22 1 43 xy += ，过点 () 1,0 F 引两条互相垂直的直线 1 l ， 2 l 与椭圆分别交于 A，C 与 B，D点，求四边形 ABCD 面积 S 的取值范围. 解法一 ( 目标函数法) 当 1 l ， 2 l 中有一条直线的斜率不存在时， 4 AC = ， 3 BD = ，则 1 6 2 ABCD SA C B D = ； 当 1 l ， 2 l 斜率都存在时，不妨设 1 l 的斜率为 k，则
3、 2 l 的斜率为 1 k - ，设() 11 , Axy ，() 22 , Bxy 1 l 的直线方程为 ( ) 1 ykx =- ，联立 22 1 43 yk xk xy =- += ，消去 y，得到 () 22 2 2 34 8 4 1 20 kx kx k +-+- = ，所以 2 12 2 8 34 k xx k += + ， 所以 () 2 12 2 11 2 1 2 22 23 4 k AC x x k + =- + = + ， (由焦半径公式或弦长公式得到)， 同理可得 2 2 2 2 1 12 12 12 12 34 1 34 k k BD k k +- + = + +- x
4、 y P N M B A x y F O D C B A l 2 l 1所以 () () () 2 2 22 2 22 22 1 1 1 12 12 12 12 =72 22 3 43 4 4334 ABCD k kk SA C B D kk kk + + = + +令 2 1 tk =+ ，则 1 t ， 记 () () () 22 2 2 2 11 72 72 72 72 11 3141 1 2 1 11 4 9 12 24 ABCD tt Sf t tt tt tt t = = = = +- + - +- - + 因为 () 1 0,1 t ， 2 11 4 9 4 9 12, 244
5、t - + ，所以 () 288 ,6 49 ft ； 综上，四边形 ABCD 面积的取值范围为 288 6 49 ， . 3. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E： () 22 22 10 xy ab ab += 的焦距为 2，且过点 6 2, 2 . (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 若点 A，B 分别是椭圆 E 的左、右顶点，直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴，点 P 是椭圆上异于A，B 的任意一点，直线 AP 交 l 于点 M，过点 M 垂直于 PB 的直线为 m. 求证：直线 m 过定点，并求出定点坐标. 解：(1) 由题意得，22 c = ，所以 1 c = ，又
6、 22 23 1 2 ab += ， 消去 a 可得， 42 2530 bb - = ，解 得 2 3 b = 或 2 1 2 b =- (舍去)， 则 2 4 a = ，所以椭圆 E 的方程为 22 1 43 xy += . (2) 设() 11 , Pxy 直线 BP 的斜率为 1 2 1 2 y k x = -直线 m 的斜率为 1 1 2 m x k y - = ， 则直线 m 的方程为 () 1 0 1 2 2 x yy x y - -= - () 1 0 1 2 2 x yxy y - =- + () 1 11 111 22 24 2 x xy x yyx - - =-+ +()
7、() 22 11 1 111 244 2 2 xy x x yxy -+ - =+ +() () () 22 11 11 1 1 11 1111 241 2 3 22 2 2 1 2 xx xx x x xxx yx yyyy -+- - - - =+ =+=+ + ， 所以直线 m 过定点() 1,0 - . 4. 已知椭圆 C 中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，短轴长为23. (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 若直线 l： ( ) 0 yk xmk =+ 与椭圆交于不同的两点 M，N(M，N 不是椭圆的左、右顶点)， 且以 MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点 A. 求证：直线
8、 l 过定点，并求出定点的坐标. 解：(1) 设椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b，半焦距为 c，则 B M P A O m l x y 222 22 223 c b abc = = =+ ，解得 2 3 a b = = ， 椭圆 C 的标准方程为 22 1 43 xy += (2) 由方程组 22 1 43 xy yk xm += =+ 消去 y，得 () 22 2 34 8 4 1 20 kx k m x m +- = . 由题意 ()() () 2 22 84 3 441 2 0 km k m =-+- ，整理得 22 34 0 km +- 设 () 11 , Mxy ，() 22 , N
9、xy ，则 12 2 8 34 km xx k += - + ， 2 12 2 41 2 34 m xx k - = + . 由已知， AM MN ，且椭圆的右顶点 () 2,0 A ， ( ) ( ) 121 2 220 xxy y - -+= . 即 ()() () 22 12 1 2 124 0 kxx k m x x m +-+ + + = ， 也即 () () 2 22 22 41 2 8 124 0 34 34 mk m kk mm kk - + +- += + ， 整理得 22 71 640 mm kk += . 解得 2 mk =- 或 2 7 k m =- ，均满足 当 2
10、mk =- 时，直线 l 的方程为 2 yk xk =- ，过定点 ( ) 2,0 ，不符合题意舍去； 当 2 7 k m =- 时，直线 l 的方程为 2 7 ykx =- ，过定点 2 ,0 7 ， 故直线 l 过定点，且定点的坐标为 2 ,0 7 . 5. 如图， 已知椭圆 1 E 方程为 () 22 22 10 xy ab ab += ，圆 2 E 方程为 222 xya +=， 过椭圆的左顶点 A 作斜率为 1 k 的直线 1 l 与椭圆 1 E 和圆 2 E 分别相交于 B，C. (1) 若 1 1 k = 时，B 恰好为线段 AC 中点，试求椭圆 1 E 的离心率 e； (2)
11、若椭圆 1 E 的离心率 1 2 e = ， 2 F 为椭圆的右焦点，当 2 2 BA BF a += 时，求 1 k 的值； (3) 设 D 为圆 2 E 上不同于 A 的一点，直线 AD 的斜率为 2 k ，当 2 1 2 2 k b ka = 时，试问直线 BD 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 解：(1) 当 1 1 k = 时，点 C 在 y 轴上，且 () 0, Ca ，则 , 22 aa B - ， 由点 B 在椭圆上，得 22 22 22 1 aa ab - += ， 2 2 1 3 b a = ， 22 2 22 2 1 3 cb e aa = -
12、= ， 6 3 e = (2) 设椭圆的左焦点为 1 F 由椭圆定义知， 12 2 BF BF a += ， 1 BF BA =，则点 B 在线段 1 AF 的中垂线上 2 B ac x + = - ， O B C D A x y 又 1 2 c e a =， 1 2 ca = ， 3 2 ba = ， 3 4 B a x = - 代入椭圆方程得 72 1 48 B yaa = = ， 1 21 2 B B y k xa = = +(3) 直线 BD 过定点() ,0 a ， 证明如下： 设 () ,0 Pa ，() , BB Bx y ，则： () 22 22 10 BB xy ab ab
13、+= 2 22 22 2 122 2 2 2 22 1 BB B AD PB PB BB B yy y aa aa b kk k k bb x a x a b x a b a = = = - = - +- - ， 所以 PB AD ，又 PD AD 所以 P，B，D 三点共线，即直线 BD 过定点() ,0 a 6. 如图，已知椭圆 C： () 22 22 10 xy ab ab += 的离心率为 3 2 ，以椭圆 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T： ( ) ( ) 2 22 20 xy r r += ，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 求 T
14、M TN 的最小值，并求此时圆 T 的方程； (3) 设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S，O 为坐标原点， 求证： OR OS 为定值. 解：(1) 由题意， 得 2 a = ， 3 2 c e a = ， 3 c = ， 22 1 bac =-= ； 故椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y += . (2) 点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设 () 11 , Mxy ，() 11 , Nx y - ，不妨设 1 0 y . 由于点 M 在椭圆 C 上，所以 2 2 1 1 1 4 x y =- (*) 由已知 ( )
15、2,0 T - ，则 () 11 2, TM x y =+ ， () 11 2, TN x y =+- ， () 2 2 11 2 TM TN x y =+- () 2 2 2 2 1 11 1 1 55 8 1 21 43 44 455 x xx x x =+-=+ =+- . 由于 1 22 x - ，故当 1 8 5 x =- 时， TM TN 取得最小值 1 5 - . 由(*)式， 1 3 5 y = ，故 83 , 55 M - ，又点 M 在圆 T 上，代入圆的方程得到 2 13 25 r = . P O N M S T R x y 故圆 T 的方程为：() 2 2 13 2 2
16、5 xy += (3) 设() 00 , Pxy ，则直线 MP 的方程为： () 01 00 01 yy yy xx xx - -= - - ， 令 0 y = ，得 10 01 01 R xy xy x yy - = - ，同理： 10 01 01 S xy xy x yy + = + ，故 22 22 10 01 22 01 RS xy xy xx yy - = -( * *) 又点 M 与点 P 在椭圆上，故 () 22 00 41 xy =-， () 22 11 41 xy =-，代入(*)式，得： ( ) ( ) ( ) 22 22 22 10 01 01 22 22 01 01
17、41 41 4 4 RS yy yy y y xx yy yy - - = = - . 所以 4 RS OR OS x x = 7. 如图，平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： () 22 22 10 xy ab ab += 的左、右焦点分别为 1 F ， 2 F ，点 () 3,1 P 在椭圆上， 12 PF F 的面积为22. (1) 求椭圆 C 的标准方程； 若 1 3 PQF = ，求 12 QF QF 的值. (2) 直线yxk =+与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数 k 的值. 解：(1) 由条件，可知 22 91 1 ab += ， 2
18、2 c = 又 222 abc =+ ，所以 2 12 a = ， 2 4 b = ， 所以椭圆的标准方程为 22 1 12 4 xy += 当 1 3 PQF = ， 有 ( ) 12 2 22 1212 43 23 2 QF QF QF QF QF QF c += +-= ， 所 以 12 16 3 QF QF = (2) 设() 11 , Axy ，() 22 , Bxy ，由 22 1 12 4 xy yxk += =+ ，得 22 4631 20 xk xk +-= 12 3 2 k xx += -， 2 12 31 2 4 k xx - = ， 2 12 12 4 k yy - =
19、 因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点，则 2 12 12 60 OA OB x x y y k =+=- = ， 解得 6 k = ，此时 120 0 = ，满足条件，因此 6 k = . 8. 如图，F 是椭圆 () 22 22 10 xy ab ab += 的一个焦点，A，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为 1 2 .点 C 在 x 轴上， BC BF ，B，C，F 三点确定的圆 M 恰好与直线 1 l ： 330 xy + = 相切. (1) 求椭圆的方程； (2) 过点 A 的直线 2 l 与圆 M 交于 P，Q 两点，且 2 MP MQ = - ，求直线 2 l 的方程. F 2
20、 F 1 P Q O x y 解：(1) ( ) ,0 Fc - ， () 0, 3 Bc ， 3 BF k = ， 3 3 BC k = ， ( ) 3,0 Cc 且圆 M 的方程为 ( ) 2 22 4 xc y c -+= ，圆 M 与直线 1 l ： 330 xy + = 相切， 13 0 3 2 13 c c + + = + ，解得 1 c = ， 所求的椭圆方程为 22 1 43 xy += (2) 点 A 的坐标为() 2,0 - ，圆 M 的方程为() 2 2 14 xy -+= ， 过点 A 斜率不存在的直线与圆不相交，设直线 2 l 的方程为 () 2 ykx =+ ， 2 MP MQ = - ，又 2 MP MQ = 1 cos 2 MP MQ PMQ MP MQ = = - 120 PMQ = ，圆心 M 到直线 2 l 的距离 1 1 2 dr = ，所以 2 2 1 1 kk k + = + ， 2 4 k = 所求直线的方程为 22 20 xy + = . C B F A O x y
