1、难点 5 求解函数解析式求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力.难点磁场() 已知 f(2cosx)=cos2 x+cosx,求 f(x1).案例探究例 1(1)已知函数 f(x)满足 f(logax)= (其中 a0,a1,x 0),求 f(x)的表)12达式.(2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足| f(1)|=|f(1)|=| f(0)|=1,求 f(x) 的表达式.命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算
2、能力和综合运用知识的能力.属题目.知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域.错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错.技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法.解：(1)令 t=logax(a1,t0;01,x0;01 时 f(x)等于( )A.f(x)=(x+3)21 B.f(x)=(x 3)21C.f(x)=(x3) 2+1 D.f(x)=(x1) 21二、填空题3.()已知 f(x)+2f( )=3x,求 f(x)的解析式为_.14.()已知 f(x)=ax2+bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,
3、则 f(x)=_.三、解答题5.() 设二次函数 f(x)满足 f(x2)=f (x2), 且其图象在 y 轴上的截距为 1，在x 轴上截得的线段长为 ，求 f(x)的解析式.6.() 设 f(x)是在( ,+) 上以 4 为周期的函数，且 f(x)是偶函数，在区间2，3上时，f(x )=2(x3) 2+4，求当 x1,2时 f(x)的解析式.若矩形 ABCD 的两个顶点 A、 B 在 x 轴上，C、D 在 y=f(x)(0x 2) 的图象上，求这个矩形面积的最大值.7.()动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A出发顺次经过 B、C、D 再回到 A，设 x 表示 P 点的行程，
4、f (x)表示 PA 的长，g (x)表示ABP 的面积，求 f(x)和 g(x),并作出 g(x)的简图.8.()已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期 T=5，函数 y=f(x)(1 x1)是奇函数，又知 y=f(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在 x=2时，函数取得最小值，最小值为5.(1)证明：f(1)+f(4)=0;(2)试求 y=f(x),x1,4的解析式；(3)试求 y=f(x)在 4，9上的解析式.参考答案难点磁场解法一：(换元法）f(2cos x)=cos2xcos x=2cos2xcos x1令 u=2cosx(1u3),则 cosx=2u
5、f(2cos x)=f(u)=2(2u) 2(2u) 1=2u 27u+5(1u3)f(x 1)=2(x1) 27( x1)+5=2x 211x+4(2x4)解法二：(配凑法）f(2cosx)=2cos 2xcos x1=2(2 cos x)27(2cos x）+5f(x)=2x 27x5(1x 3),即 f(x1)=2( x1) 27(x1)+5=2x 211x +14(2x4).歼灭难点训练一、1.解析：f(x )= .34mff(x )= =x,整理比较系数得 m=3.34答案：A2.解析：利用数形结合，x1 时，f (x)=(x+1)21 的对称轴为 x=1,最小值为1，又y=f(x)
6、关于 x=1 对称，故在 x1 上，f (x)的对称轴为 x=3 且最小值为1.答案：B二、3.解析：由 f(x)+2f( )=3x 知 f( )+2f(x)=3 .由上面两式联立消去 f( )可得 f(x)1= x.2答案：f(x)= x24.解析：f(x)= ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1) 2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2 a+b）x+a+b=bx+x+1.故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a= ,b= ,f(x)= x2+ x.11答案： x2+ x1三、5.解：利用待定系数法，设 f(x)=ax
7、2+bx+c,然后找关于 a、b、c 的方程组求解，f(x)= .7826.解：(1)设 x1,2,则 4x2,3,f (x)是偶函数，f(x)=f(x), 又因为 4 是f(x)的周期，f(x )=f(x )=f(4x)=2( x1) 2+4.(2)设 x0，1 ，则 2x+23,f (x)=f(x+2)=2(x1) 2+4,又由(1 ）可知 x0,2时，f(x)=2( x1) 2+4,设 A、B 坐标分别为(1 t ,0）,(1+t,0)(0t 1 ,则| AB|=2t,|AD|=2t 2+4,S)矩形 =2t( 2t2+4)=4t(2t 2),令 S 矩 =S， =2t2(2t 2)(2
8、t 2)( )3=8,当且仅当 2t2=2t 2,即 t= 时取等号.S 2 即 S ,S max= .764367864969617.解：(1)如原题图，当 P 在 AB 上运动时，PA=x; 当 P 点在 BC 上运动时，由 RtABD 可得 PA= ;当 P 点在 CD 上运动时，由 RtADP 易得 PA=2)1(x;当 P 点在 DA 上运动时，PA=4x,故 f(x)的表达式为：2)3(1xf(x)= )43( 42106 )( 2xx(2)由于 P 点在折线 ABCD 上不同位置时，ABP 的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对 P 点的位置进行分类求解.如
9、原题图，当 P 在线段 AB 上时，ABP 的面积 S=0；当 P 在 BC 上时，即 1x2时，S ABP = ABBP= (x1） ；当 P 在 CD 上时，即 2x3 时，S 21ABP= 11= ；当 P 在 DA 上时，即 3x4 时，S ABP= (4x).1故 g(x)= )43( )4212 )1( )210 0xx8.(1)证明：y=f(x)是以 5 为周期的周期函数，f(4)=f(45)=f(1),又 y=f(x)(1x 1)是奇函数，f(1)= f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.(2)解：当 x1,4时，由题意，可设 f(x)=a(x2) 25(a0),由 f(
10、1)+f(4)=0 得a(12) 25+a(42) 25=0，解得 a=2,f(x)=2( x2) 25(1 x4).(3)解：y=f( x)(1x1)是奇函数， f(0)= f(0), f(0)=0, 又 y=f(x) (0x1)是一次函数，可设 f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12) 25= 3,又 f(1)=k1=k,k=3.当0x1 时，f( x) =3x,当1x0 时，f (x)=3x,当 4x6 时，1x51,f(x)=f(x5)=3(x 5)=3x+15, 当 6x9 时，1x54,f (x)=f(x5)=2(x5) 2 25=2(x7)25.f(x)= .)9( )7(264 5
