1、NCS20170607 项目第一次模拟测试卷理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 分，考试时间 分150120钟注意事项：1答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上0.5书写作答若在试题卷上作答，答题无效3考试结束后，监考员将答题卡收回参考公式： 圆锥侧面积公式： ，其中 为底面圆的半径， 为母线长Srlrl第卷
2、（选择题部分，共 60 分）一选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集 ，集合 ，集合 ，那么 （ ）UR|lgAxy|1Byx()UACBA. B. C. D.0,1(0,1)(,)2若复数 ，其中 为虚数单位，则复数 的虚部是（ ）3i21zizA. B. C. D. i3已知 均为第一象限的角，那么 是 的（ ）,siniA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4设某中学的高中女生体重 (单位： )与身高 (单位： )具有线性相关关系，根据一组样ykgxcm本数据 (
3、 ， )，用最小二乘法近似得到回归直线方程为 ，,)ixy1,23in 0.85.71yx则下列结论中不正确的是（ ）A. 与 具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点 (,)xyC. 若该中学某高中女生身高增加 ，则其体重约增加1cm0.85kgD. 若 该 中 学 某 高 中 女 生 身 高 为 ， 则 可 断 定 其 体 重 必 为60295若圆锥曲线 的离心率为 ，则 （ ）2:Cxmy2A. B. C. D. 333136执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ）SA. B. C. D.2log102log319267已知函数 的周期为 ，若 ，则 （ ()sin()0,)fx
4、Ax()1f3()2f）A. B. C. D. 21128如图，在平面直角坐标系 中，直线 与圆 相交于xoy21yx24y两点，则 （ ）,ABcsAOBA. B. C. D. 510510909109我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有 钱）;乙复语甲丙,各将公等所持钱，半以益我，钱成七9十;丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱A. B. C. D. 2832567010某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为 ） ，1则这个几何体的体
5、积是（ ）A. B. C. D. 3643163211抛物线 的焦点为 ，设 是抛物线上的28yxF2(,)(,)AxyB两个动点，若 ，则 的最大值为（ ）124FA. B. C. D. 33562312定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，R()fx(2)(fxf1,x()ln1fx若函数 有 个零点，则实数 的取值范围为 （ ）()gxfm7mA. B. 1ln2lln1l,(,)868ln2l(,)68C. D. (,) 11,第卷（非选择题部分，共 90 分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作
6、答.二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分.13在多项式 的展开式中， 项的系数为 65(12)xy3xy14已知单位向量 的夹角为 ， ，则 在 上的投影是 ,e12aea1e15如图，直角梯形 中， ， ， ，ABCDC/ADB22CDA若将直角梯形绕 边旋转一周，则所得几何体的表面积为 16已知 ，在这两个实数 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这24xy,xy个等差数列后三项和的最大值为 三解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 12 分)已知等差数列 的前 项和为 ，且 .nanS1345
7、,aS（）求数列 的通项公式；na（）令 ，求 数列 的前 项和 1()bnb22nT18(本小题满分 12 分) 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过 ）：30空气质量指数 (0,5(,10(,150(,20(,25(,30空气质量等级 级优1级良2级轻度污染3级中度污染4级重度污染 级严重污染6该社团将该校区在 年 天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图6如下图，把该直方图所得频率估计为概率（）请估算 年（以 天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；075（）该校 年 月 、
8、 、 日将作为高考考场，若这三天中某天出现 级重度污染，需2189 5要净化空气费用 元，出现 级严重污染，需要净化空气费用 元，记这三天净化620空气总费用为 元，求 的分布列及数学期望X19(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 中，平面 平面 ，底面 为等PABCDPABCDA腰梯形， ， ， ， 为正三角形./ABCD24（）求证： 平面 ；（）设 的中点为 ，求平面 与平面 所成二面角的平面角的余弦值 E20(本小题满分 12 分) 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，左、右焦2:1(0)xyCab12,A点分别为 ，离心率为 ，点 ， 为线段 的中点.12,F1(4,0)B2F1AB（
9、）求椭圆 的方程；C（）若过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 的交于 两点，已知直线 与 相交Bl ,MN1M2N于点 ，试判断点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由G21 （本小题满分 12 分）已知函数 是自然对数的底 2()24)()xfxea0,xaRe， )（）若 是 上的单调递增函数，求实数 的取值范围；()fx0,)（）当 时，证明：函数 有最小值，并求函数 最小值的取值范围1,2a()fx()fx请考生在第（22） 、 （23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22
10、（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数，xoy1C,Pa21xaty） 以 为极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程aRO 2C为 2cos40（）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；1C2（）已知曲线 与曲线 交于 、 两点，且 ，求实数 的值2AB2PABa23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， 21fxaxR（）若不等式 有解,求实数 的取值范围；()a（）当 时，函数 的最小值为 ,求实数 的值af3NCS20170607 项目第一次模拟测试卷理科数学参考答
11、案及评分标准一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C C D D C B B D B A D A二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分，满分 20 分13 ; 14. ; 15. ; 16. 02(32)3102三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17. 【解析】 （）设等差数列 的公差为 ，由 可得 ，- 2 分nad345S135aa即 ，所以 ，解得 - 4 分2533(1)d- 6 分)
12、2n（）由（）可得： .- 7 分12(1)2()n nnb22122(4(434()1nnT - 9 分22213()( - 122)(184nn分18.【解析】 （）由直方图可估算 年（以 天计算）全年空气质量优良的天数为2017365（天） - 4 分(0.1)365.9.0（）由题可知， 的所有可能取值为： ， ， ， ， ，X12030， ，- 6 分5则： ，34()(512P3()()51PXC1233408720)(0C129()(05X2 23314740)()00P1(5)(0C360X的分布列为1203040506P6425715927131- 10 分648274927
13、31010030050602515111EX（元） - 12 分919.【解析】 （）在等腰梯形 中，过点 作 于点 ，ABCDEAB如图所示：有 ,3,2AE在 中，有 ，即BD2又因为平面 平面 且交线为 ， 平面 .-5 分PPD（） 由平面 平面 ，且 为正三角形, 为 的中点，P ，得 平面 EBC如图所示，以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，过点 平行于 所在DAxByDPE直线为 轴，建立空间直角坐标系.z由条件 ，则 ， ， 2AD1E3E23则 ， ， ， - 6 分(0,)(1,0)(,30)(,)P在等腰梯形 中，过点 作 的平行线交 延长线于点 如图所示
14、：BCBADF则在 中，有 ， ， - 7 分RtFF,0C（另解:可不做辅助线，利用 求点 坐标）2A ， ，设平面 的法向量(1,30)D(1,03)PD11(,)nxyz则 ，取 ，则 ， ，11nxyzx1y1z面 的法向量 - 9 分PC1(3,)n同理有 ， ，设平面 的法向量(0,)E2,3)PBPBE22(,)nxyz则 ，2220nzBxyz取 ，则 ， ，面 的法向量 -10 分21y23E2(3,10)n设平面 与平面 所成二面角的平面角为 ，PEDC 1231765cos, 2n即平面 与平面 所成二面角的余弦值为 - 12 分B20.【解析】 （）设点 ，由题意可知：
15、 ，即 12(,0)(,AaFc42ac2c又因为椭圆的离心率 ，即 1ea联立方程可得： ，则,c223bc所以椭圆 的方程为 - 5 分C243yx（）方法一：根据椭圆的对称性猜测点 是与 轴平行的直线 上Gy0x假设当点 为椭圆的上顶点时，直线 的方程为 ，此时点 ，Ml34yN83(,)5则联立直线 和直线 可得点1:320Alxy2:6ANlx1,2G据此猜想点 在直线 上，下面对猜想给予证明： - 7 分G1x设 ，联立方程 可得：12(,)(,)MxyN2(413)xyk222(34)6410,kxk由韦达定理可得 ， （*）- 9 分12234xk2126k因为直线 ， ，11
16、:()AMyl 22:()ANylx联立两直线方程得 （其中 为 点的横坐标）即证：2()xG，123yx即 ，即证 - 11 分1221(4)(4)kxkx121240()60xx将（*）代入上式可得 2260363403kkk此式明显成立，原命题得证所以点 在定直线上 上- 12 分G方法二：设 ， 两两不等，123(,)(,)(,)MxyNxy123,x因为 三点共线，所以 ，,B22122112 23()()44(4)()xyx整理得： - 8 分12125()80xx又 三点共线，有： 1,AG31yx又 三点共线，有： 将与两式相除得：2,N2322221321 1 13 223(
17、)()()()4()xxxyyxx 即 ，- 10 分23112122()()()xxx将 即 代入得：12158012125()4023()9x解得 （舍去）或 ，所以点 在定直线 上- 12 分34x3xG1方法三：显然 与 轴不垂直，设 l的方程为 ， .l ()ykx12(,)(,)MxyN由 得 .- 7 分2()143ykx222(4)640,kx设 ， 两两不等，23(,),MNyGx123,则 ， ，12kx124k2212114|()4,3kxxx由 三点共线，有： 1,AMG312yx由 三点共线，有： 2,N32与两式相除得：- 10 分32121121221()(4)(
18、)3()813xyxkxxx 解得 （舍去）或 ，所以点 在定直线 上- 12 分343G21.【解析】 （） ，()()()()()xx xfeeaea依题意：当 时，函数 恒成立，即 恒成立，0x0f2记 ，则 ，(1)2eg2()1()xxeeg(1)0xe所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ；- 6 分x,()0g2a（）因为 ，所以 是 上的增函数，()20xfeayfx,)又 ， ，所以存在 使得04fa(1)6f (0,1t()0ft且当 时 ，当 时 ，所以 的取值范围是 - 8 分t2a0tt,又当 ， ，当 时， ，(,)x(fx(,)()fx所以当 时， 且有t 2min
19、()24tfftea(1)()02tefta(由（）知 ,在 上单调递减，又 , (1teag0)g且 ,故 )0)2,t , - 10 分2min(4(1)()t ttfxftee(01)t记 ，则 ，2)the2 2)t tthe（ -所以 ，即最小值的取值范围是 - 12 分(1(0t(,)22.【解析】 （）曲线 参数方程为 ,其普通方程 ，- 2 分1C21xaty 10xya由曲线 的极坐标方程为 ,2 2cos4022cos4s ,即曲线 的直角坐标方程 .- 5 分2240xy2C24yx（）设 、 两点所对应参数分别为 ，联解 得AB12,t12aty2140ta要有两个不同
20、的交点，则 ,即 ，由韦达定理有2()4()0a124ta根据参数方程的几何意义可知 ，12,PAtBt又由 可得 ，即 或 - 7 分2PAB12tt12t12t当 时，有 ，符合题意- 8 分12t 2130364att当 时，有 ，符合题意- 9 分12t2119t综上所述，实数 的值为 或 - 10 分a36423.【解析】 （）由题 ，即为 ()21fx|12ax而由绝对值的几何意义知 ，- 2 分|a由不等式 有解， ，即 ()21fx|1|204a实数 的取值范围 - 5 分a0,4（）函数 的零点为 和 ，当 时知fax21a- 7 分31()2()()xfxax如图可知 在 单调递减，在 单调递增，()f,)2,)2a，得 （合题意） ，即 - 10 分min13afx44a
