1、第 9 讲 圆锥曲线解题规律（上）题一：如图 A、B 是抛物线 y2=2px（p0）上的两点，满足 OAOB（O 为坐标原点）求证：A、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值。直线 AB 经过一个定点。题二：如图，M 是抛物线上 y2=x 上的一点，动弦 ME、MF 分别交 x 轴于 A、B 两点，且MA=MB. （1）若 M 为定点，证明：直线 EF 的斜率为定值； （2）若 M 为动点，且EMF=90，求EMF 的重心 G 的轨迹题三：如图所示，抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(1,2)， A(x1， y1)，B(x2， y2)均在抛物线上(1)写出该抛物线的方程及其
2、准线方程；(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y2 的值及直线 AB 的斜率题四：已知 12,AB是椭圆21(0)xyab的顶点（如图）,直线 l与椭圆交于异于顶点的 ,PQ两点,且 2/l若椭圆的离心率是 32,且 2|5ABxO A BEFM（）求此椭圆的方程；（）设直线 1AP和直线 BQ的倾斜角分别为 ,试判断是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由 题五：已知曲线 c上任意一点 P 到两个定点 F1(- 3，0)和 F2( 3，0)的距离之和为4 （1）求曲线 的方程；（2）设过(0，-2)的直线 l与曲线 c交于 C、D 两点，且 ODC(0为坐标原
3、点） ，求直线 l的方程题六：已知点 A（1，0） ， B（1，1）和抛物线. ， O 为坐标xy4:2原点，过点 A 的动直线 l 交抛物线 C 于 M、 P，直线 MB 交抛物线 C 于另一点Q，如图.（I）证明: 为定值;（II）若 POM 的面积为 ，求向量O 5与 的夹角；OMP() 证明直线 PQ 恒过一个定点.第 10 讲 圆锥曲线解题规律（下）题一：已知抛物线 C： 的一点，与其焦点的距离为3)0(,2上 横 坐 标 为pxy4.（1）求 的值；（2）设动直线 与抛物线 C 相交于 A、B 两点，且这两点位于pb直线 的两侧.问在直线 上是否存在与 b 的取值无关的定点 M ,
4、使得:yl l若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由。平 分 ？被 直 线 lAMB题二：椭圆 与过点 的直线有且只有一个公共点 ，byax2)0(1)1,0(,2BAT且椭圆的离心率 .()求椭圆方程；()设 分别为椭圆的左、右焦点，e2312F、为线段 的中点，求证： 。MAFTAM1题三：已知椭圆两焦点 1、 2在 y轴上，短轴长为 2，离心率为 2， P是椭圆在第一象限弧上一点，且 12PF，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点。 （1）求 P 点坐标；（2）求证直线 AB 的斜率为定值题四：设椭圆 过点 ，且焦点为2:(0)xyC
5、ab(2,1)M1(2,0)（）求椭圆 的方程；（）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，(4,1)PlC,ABQ满足 ，证明：点 总在某定直线上AQBAQ题五：已知抛物线 y24x ，过点(0，2)的直线交抛物线于 A、B 两点，O 为坐标原点(1)若 4，求直线 AB 的方程(2)若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点(n,0)，求 n 的取OA OB 值范围题六： ABC 为直角三角形， C =90，若 轴上，且yMOA在),40(，点 C 在 x 轴上移动.（）求点 B 的轨迹 E 的方程；（）过点)(21ABM的直线 l 与曲线 E 交于 P、 Q 两点，
6、设 N（0， a） （ a0)则直线 MF 的斜率为k，方程为 200().ykxy由 ，消2002()yx201得解得 将 k 换成-k，可得 F 点坐标2001(1),EEkyyx (定值)00220014(1)()2FEFk kykyx所以直线 EF 的斜率为定值（2） 直线 ME 的方程为90,5,1,MAB当 时 所 以 200()ykxy由 得2002yxy200(1),Ey同理可得 200(),.F设重心 G（ x, y） ，则有22220000(1)()333MEFyyx 消去参数 得0212().973x题三： y24 x，准线方程是 x1.详解：根据两直线倾角互补， kPA
7、 kPB，利用斜率公式求解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为 y22 px.点 P(1,2)在抛物线上，2 22 p1，得 p2.故所求抛物线的方程是 y24 x，准线方程是 x1.(2)设直线 PA 的斜率为 kPA，直线 PB 的斜率为 kPB.则 kPA (x11)， kPB (x21)y1 2x1 1 y2 2x2 1 PA 与 PB 的斜率存在且倾角互补， kPA kPB. .y1 214y21 1y2 214y2 124y由（1）-（2）得直线 AB 的斜率 (利用点差法可推得 k)21214ABykx题四： 详解：（）由已知可得 235cab，所以 .1,2ba椭圆方程为214
8、xy（） 是定值 理由如下：由（） ，A 2（2，0） ，B（0，1） ，且 l/A2B，所以直线 l的斜率 21ABk设直线 l的方程为 12,(),()2yxmPyQx,214xym联 立，220xm .08)(422即 ，且 21mx, ,PQ两 点 不 是 椭 圆 的 顶 点1 21tan,tan2APBQyykkxx 又因为 mxyxy2211,，21tat xy12()x21 2112()()()xmm212 1() ()()0()xxtanttan()0又 ,0,)2,( 是定值题五：214xy； l的方程是 yx或 2yx详解：（1）根据椭圆的定义，可知动点 M的轨迹为椭圆，其
9、中 a， 3c，则21bac所以动点 M 的轨迹方程为214xy（2）当直线 l的斜率不存在时，不满足题意当直线 的斜率存在时，设直线 l的方程为 k，设 1(,)Cx， 2(,)Dy， 0OCD， 120xy 12y， yk， 21()4yk 12()40 由方程组21,4.xyk得 241620kx则 12264kx，122x，代入，得 2224k即 4，解得， 或 所以，直线 l的方程是 yx或 yx题六： ; PQ 过定点 E（1，4）.5详解：（I）设点 、 M、 A 三点共线，PyyM),(),(212122, ,44APky即 4,1421221 yy即.52121OM(II)设
10、 POM=，则 .cos| P由此可得 tan=1. 5in|,25SROM又 (0,)4, 4.OM故 向 量 与 的 夹 角 为()设点 、 B、 Q 三点共线，yQ,32 ,QMBk3132213313,44(),40.yyy即 即 即即, 32322y即.(*)04)(43232yy ,443232yykPQ)(232xyyPQ的 方 程 是直 线即 .4)(,4)( 3232232 xyyxyy 即由（*）式， 代入上式，得)(32 ).1()(32x由此可知直线 PQ 过定点 E（1，4）.第 10 讲 圆锥曲线解题规律（下）题一： ;存在点 M(-1，2)2p详解： (1)由已知
11、得： 2,0,423pp所 以又(2) 016)(4)(2)4(0),(),(),( 2121212212 ayayykMBAM代 入 坐 标 得 ： 满 足 条 件 ， 由 已 知 得 ，设 存 在 点令由 代 入 后 得从 而 有 ：得 ， bybxb 4,021,16)4()(24( aa解 得 ：所以存在点 M(-1，2)满足题意题二：21.xy详解：（I）过点 、 的直线方程为AB1.2xy因为由题意得有惟一解，21,xyab即 有惟一解，222()04xab所以 （ ） ，故 (4)ba240.ab又因为 即 所以 从而得 3,2e23,ab2.21,故所求的椭圆方程为 21.xy
12、（II）由（I）得 故 从而6,2c126(,0)(,)F6(1,0).4M由解得 所以 因为21,xy12,x1(,).2T1tan,2AFT又 得1tan,2TAM2tan,6TF6tan1TM,2因此 1.题三： (,2)详解：（1）设椭圆方程为21yxab，由题意可得 2,2abc，方程为24yx12(0,)(,)F，设 00(,),)Pxy则 100200,Py 22100()1Fxy点 0(,)x在曲线上，则 1.4x 22004yx从而22004()y，得 0y，则点 P的坐标为 (1,)（2）由（1）知 1/PFx轴，直线 PA、PB 斜率互为相反数，设 PB 斜率为 (0)k
13、，则 PB 的直线方程为： 2(1)yk 由 2(1)4ykx得2 2()()()0kxx设 ,By则 221Bkk同理可得2Akx，则 24ABkx28(1)()BBy所以：AB 的斜率 ABBykx为定值题四：214xy详解：(1)由题意： ，解得 ，所求椭圆方程为 222cab24,ab214xy(2) 设点 Q、A、B 的坐标分别为 。12(,),(,)xyxy由题设知 均不为零，记 ,则 且,PAPQB01又 A，P，B，Q 四点共线，从而 ,AP于是 ， 124x12y， 从而 ， （1） ， （2）214xx 21yy 又点 A、B 在椭圆 C 上，即21,(3)xy 24,()x （1）+（2）2 并结合（3） ， （4）得 y即点 总在定直线 上(,)Qxy20xy题五：AB 的方程为 y( 1) x2. n 的取值范围为(2，) 2详解：(1)设直线 AB 的方程为 y kx2 ( k0)，代入 y24 x 中得，k2x2(4 k4) x40设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .4k 4k2 4k2y1y2( kx12)( kx22) k2x1x22 k(x1 x2)4 .8k
