1、第五节对数与对数函数,知识点一 对数及其运算,1.对数的定义,如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.,2.对数的常用关系式,N,3.对数的运算法则,logad,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,一个重要应用：指数式与对数式互化.,(1)若2x3，则x_.,解析由2x3，得xlog23.,答案log23,答案81,两个常用结论：对数恒等式，换底公式.,答案3,(4)log29log34_.,答案4,两个易混公式：logaMN，logaMn.,(5)loga(MN)logaMlogaN易混用为loga(
2、MN)logaMlogaN若logm2logm52，则m_.,答案6log53,知识点二 对数函数的图象与性质,1.图象与性质,(0，),R,(1，0),1,0,y0,y0,y0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.,yx,两个易错点：定义域，单调性应用.,一个函数关系：互为反函数.,答案log32,对数式的化简与求值解题方法,对数运算的一般思路,(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积
3、、商、幂的运算.,点评在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式.,突破对数函数的图象及其应用求解方法,对数函数图象的特点,利用对数函数的图象可求解的两类热点问题,(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对称型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.,【例2】 (1)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为(),A.3 B.2 C.1 D.0,解析(1)
4、在同一直角坐标系下画出函数f(x)2ln x与函数g(x)x24x5(x2)21的图象，如图所示.f(2)2ln 2g(2)1，f(x)与g(x)的图象的交点个数为2，故选B.,答案(1)B(2)A,点评第(1)问的关键是画出f(x)与g(x)的图象，根据特殊点对应的函数值，判断两图象的位置关系，从而判断交点个数；第(2)问的关键是求出f(2x)的解析式，确定图象分界点.,突破对数函数的性质及应用的解题方略,比较对数式的大小的常见情形及方法,(1)当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；(2)当底数不同、真数相同时，可转化为同底(利用换底公式)或利用函数的图象，数形结合解决；(3)当底数
5、不同、真数不同时，可利用中间值(如“0”或“1”)进行比较.,利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：,一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.,A.acb B.bcaC.cba D.cab,答案(1)D(2)B,数形结合思想在解决恒成立问题中的应用策略,数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.,答案B,方法点评(1)应用数形结合的思想方法解决此类问题的关键是正确画出相关函数在给定区间上的图象，使之符合要求，然后根据图象列出不等式(组)进行求解.(2)应用数形结合的思想方法求参数的值或范围时要注意参数的几何意义对函数图象的影响，变动函数的图象，观察参数值的变化以求其范围.,
