1、大自然的數學遊戲,系列之一,黃金比例,前言,中世紀的物理學家、天文學家家科卜勒(J.Kepler1571-1630)：幾何學有兩大寶藏，一個是畢氏定理；另一個是黃金分割。前者是金礦，而後者是珍貴的鑽石礦,什麼是黃金比例,設AB是一線段，今C將線段AB分割成兩段，使短段：中段 中段：長段 這樣的分割方式叫做黃金分割，而這一比值就稱為黃金比,黃金矩形,長和寬的比為1：0.618的矩形，被喻為比例最勻稱的矩形。已被廣泛應用於藝術創作及建築中,黃金分割矩形,黃金分割的特性,黃金分割很周全地考慮到分割後部分的比，同時也顧慮到全局的比；這樣的比例很適中，讓人看了有舒適、和諧的感覺。 自我相似性：不論採用什
2、麼樣大小的標度對它做測量，其形不變，且不論多麼小的部分都是整體形狀的縮小。,幾何圖形中的黃金比,五角星形內部隱藏著一個五邊形，畫出這個五邊形的對角線，就產生一個小的倒五角星形，再畫出它的每條對角線又可得到一個小小的五角星形這個過程可以不斷地進行下去。,畢氏學派的代表徽章-正五角星,最令畢氏學派對五角星形著迷的並不是它能夠自我複製的特性，而是隱藏在它線條之內的黃金比例。例如， F分割線段CA G分割線段CF,黃金三角形,頂角為36角的等腰三角形，其底與腰之比恰為黃金比。如圖，可不斷製造出黃金三角形。,黃金橢圓,短軸與長軸之比為0.618的橢圓 以黃金橢圓之焦距為直徑的圓，其面積與此黃金橢圓相等。
3、,黃金螺線,黃金矩形，切下正方形後，剩下的矩形依舊是一個黃金矩形 ，繼續重複此步驟，無限地分割下去 可得一螺旋狀曲線，此曲線稱為黃金螺線。,生活中的黃金比,我們慣常使用的35照片，寬長之比為0.6，幾乎就是黃金矩形,拍照,拍照時，主體位置應以安排在畫面縱與橫各三等分的黃金分割線之四個交叉點的其中一點為佳 三等分點比值約為0.67，近似黃金比。應用於生活上的東西必須講求其方便性，,電視新聞報導,你有沒有注意到，電視新聞報導時，主播的位置經常被安排在畫面的黃金分割點，而非正中央。,紙張,目前，我們看的書、報、雜誌，其紙張的裁切寬與長之比就接近黃金比率。這樣的矩形讓人看起來舒服，被稱爲黃金矩形。原為
4、黃金矩形的紙張，對折後仍是黃金矩形。如8開、16開、32開等，都近似於的黃金矩形。 一般的紙張之長寬並未符合黃金比，其設計完全是為了材料的充分利用。例如，一張A3的影印紙對折就變成A4，再對折就變成A5了；而且在此過程中，長與寬都維持相同的比值。如此一來，造紙公司在裁切時就一點也不會浪費紙材了。,影印紙,自然界的黃金比,鸚鵡螺縱切面 ，其由小長大，但螺線始終保持固定的角度，形狀並未變異，只是”由小長大”而已，互為相似形（角度決定形狀）,鸚鵡螺,黃金角生長的葉序,等角螺線,所謂等角螺線就是向徑和切線的交角永遠不變的曲線,飛蛾撲火,蛾的飛行路線成螺線形，非黃金螺線，是等角螺線。 飛蛾在燈火附近飛行
5、時，其飛行機制乃是提醒它們必須與燈火保持同一個角度的飛行距離，以策安全 然其眼部構造為複眼，複眼之構造反而使其與燈火保持的飛行角度始終小於90度，當飛蛾感覺飛離燈火，其實是循環著燈火，向燈火趨近。,動物軀幹也有黃金比 頭到前肢：前肢至臀,蝴蝶展翅後呈現黃金矩形,楓葉的葉脈和葉子寬度,藝術中的黃金比,黃金比被譽為最美的比例，在藝術及建築上被廣為運用來製造最佳視覺效果,達文西 / 蒙娜麗莎,這幅畫本身的尺寸即為黃金分割 若在蒙娜莉莎臉部周圍畫一矩形，也是黃金分割：同樣地，她身體許多部份也都是黃金分割。 達文西在藝術上對黃金分割的運用，可能是受到他的朋友佩西歐里(Luca Pacioli)在1509
6、年的三本討論黃金分割書藉影響。,違反黃金比的後果,達文西維特魯威的人體(Vitruvian man),歐元,米勒 / 拾穗,米勒 / 拾穗,仔細觀察整幅圖的佈局，地平線、人物分布、彎腰的動作都是黃金分割,埃及金字塔,埃及金字塔為正四角錐體， 塔高與底部正方形邊長之比為黃金比。,帕德能神廟 (Parthenon at Athens)是黃金矩形的最佳代言人,所有藍線與紅線之比都是黃金比例,多倫多電視塔,巴黎艾非爾鐵塔,人體中的黃金比,德國心理學家古斯塔夫費希納(18011887)和伍得特(18321920)發現人們在選擇圖片，卡片， 包裹及其他矩形物事時，經常不自覺傾向選擇具黃金矩形比例的結果 之
7、後，費希納又測量了22家博物館和藝術長廊的2萬張畫，收集了數據， 但是發現黃金比率並不和這些名畫的高、寬比率有絕對相關。,隱藏在人體中的黃金比,人在精神愉快時的腦電波頻率下限約8赫茲，上限約12.9赫茲，上下限之比近於黃金比,隱藏在人體中的黃金比,舒張壓與收縮壓之比近似黃金比,血壓,正常血壓：收縮壓120mmHg 且舒張壓80 mmHg 高血壓前期：收縮壓 120139mmHg 或 舒張壓 8089 mmHg 第一期高血壓：收縮壓 140159mmHg 或 舒張壓 9099 mmHg 第二期高血壓：收縮壓160mmHg 或 舒張壓100mmHg,隱藏在人體中的黃金比,通常我們在環境溫度為222
8、4時能有最舒適的感覺，身體的新陳代謝、生理節奏和機能可處在最佳狀態。而人體的正常體溫為37，它和0.618的相乘積正好是22。,人體中的黃金比,長邊代表的是肚臍至腳底的距離 短邊代表的是頭頂至肚臍的距離 長邊除以短邊的數字 數字大於1.62時，【解決之道】避免穿著連身的衣服，褲子最好選擇低腰的 數字小於1.62時，【解決之道】 褲子最好選擇高腰的，選擇高跟的,米洛的維納斯雕像,人的肚臍位於人體身高的黃金分割點。 肚臍以上，頸部是黃金分割點； 肚臍以下膝蓋是黃金分割點。 身材婀娜多姿的美女大多符合此黃金比。 古希臘人早就發現了這個人體比例的奧秘，並將它充分運用於藝術雕塑中。米洛的維納斯雕像，象徵
9、愛與美的女神，被視為女性體型美的標準古希臘人早就發現了這個人體比例的奧秘，並將它充分運用於藝術雕塑中。,臉中的黃金比,頭-眉-下巴 眼-鼻-下巴 人中-下唇-下巴 三個黃金分割構成了五官端正的完美臉形,手指中的黃金比,米開朗基羅/ 大衛雕像,在佛羅倫斯共有三具大衛像， 一具在米開朗基羅廣場， 一具在Piazza della Signoria，另一具在美術館裡。原置地Piazza della Signoria與米開朗基羅廣場上的都是複製品，真版已被移放在美術館裡。左圖是真版,結論,美豈能有規格化的標準？各人審美觀不同，環肥燕瘦各有所好；尤其在這個反形式的時代，一切講求個人風格，唯美不再獨美。,漫
10、畫中的人物，腿不是太長就是太短；就是因為脫離現實， 所以才令人入迷。,方方正正的、修長灑脫的、仙風道骨的 字體，哪一種美？恐怕各有千秋吧！,民族性的不同也會影響我們對美的看法吧！ 中國人愛正方形可能更甚於愛黃金矩形呢！,結論,黃金比例所呈現的美感往往是因人而異，黃金比例在藝術創作之中，並沒有佔據那樣顯著的地位，黃金比例反而是在數學，以及最意想不到的大自然現象裡 ，展露它的重要性。,人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。,
