1、中山纪念中学蔡 瑞 琼,3.2.1几类不同增长的函数模型,,教科书第三章的章头图,澳大利亚兔子数：“爆炸式增长”,,阿基米德与国王下棋的故事,大米指数型爆炸式增长,,基本概念,1.数学模型：,就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述.,2.数学模型方法：,是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.,,例题讲解,例1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:,方案一:每天回报40元，,方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元，,方案三:第
2、一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一倍，,解:设第x天所得回报是y元,常函数,正比例函数,指数型函数,进行描述,你会选择何种方案？,,o,x,y,20,40,60,80,100,120,140,4,2,6,8,10,12,3,5,7,9,1,11,底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。,,三种方案所得回报的增长情况,,三种方案累计的回报数:,结论: 投资8天以下(不含8天),应选择第一种投资方案;投资810天,应选择第二种投资方案;投资11天(含11天)以上,则应选择第三种投资方案.,,o,x,y,20,40,60,80,100,120,140,4,2,6,8,10,12
3、,三个函数的图象,3,5,7,9,1,11,底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。,,范例讲解,例2.某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金 y (单位:万元)随销售利润x的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励模型: 其中哪个模型能符合公司的要求?,其中X与Y分别要满足什么条件？,,分别做出函数,的图象,,(1)确定奖金总数不超过5万的模型：,通过函数图像直观的观察,利用函数的值域来确定,结论： 符合要求。,分析步骤：,(2)计算按模型 奖励时，奖金是否
4、不超过利润的25,,令,作出函数 的图象：,,由图象可知它是递减的，因此,即,所以，当x 10,1000 时，,说明按模型 奖励，奖金不会超过利润的25。,综上所述，模型 确实能符合公司要求。,,,幂函数、指数函数、对数函数的增长差异,以函数 为例，研究三类函数增长的差异,请在图象上分别标出使不等式成立的自变量x的取值范围.,,通过图像和表格，容易看出，随着x的增大，各、函数值的变化及相应增量规律为：,直线型均匀上升，增量恒定；,指数型急剧上升，增量快速增大；,对数型缓慢上升，增量逐渐减少；,幂函数型虽上升较快，但随着x的不断增大上升趋势远不如指数型，几乎有些微不足道，其增量缓慢递增.,幂函数
5、、指数函数、对数函数的增长差异,,在区间(0, ,+)上,尽管函数y=logax(a1)，y=ax(a1)与y=xn(n0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上。随着x的增大，y=ax（a1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度,而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢. 因此总存在一个x0,当x x0时,就会有 logaxxn ax,,探究,你能用同样的方法,讨论一下函数y=logax(0a1)，y=ax(0a1)与y=xn(n0)在区间(0, +)上衰减情况吗?,,函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述. 学习了：常数函数、一次函数、指数函数、幂函数、对数函数的图像变化趋势及增量差异；直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解了它们的增长差异性,课堂小结,Thank You !,学习数学是为了什么？,
