1、1椭圆经典精讲 1、基本概念、基本图形、基本性质题 1、题面：集合 的关系可表述为（ 12|),(4|),(2 yxByxA与）.A. B. C. D.AB = B答案：D. 变 式 一题面：设双曲线的左，右焦点为 F1，F 2，左，右顶点为 M，N，若PF 1F2 的一个顶点 P在双曲线上，则PF 1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点的位置是( )A在线段 MN 的内部B在线段 F1M 的内部或 NF2 内部C点 N 或点 MD以上三种情况都有可能答案：C.详解： 若 P 在右支上，并设内切圆与 PF1，PF 2 的切点分别为 A，B，则|NF1| NF2|PF 1|PF 2|(|PA|
2、| AF1|)(|PB| BF2|)| AF1|BF 2|.所以 N 为切点，同理 P 在左支上时， M 为切点变 式 二题面：若直线 mxny4 和圆 O：x 2y 24 没有交点，则过点(m ，n)的直线与椭圆 x291 的交点个数为( )y24A至多 1 个 B2 个C1 个 D0 个答案：B.详解：由题意得 2，即 m2n 24，则点(m ，n) 在以原点为圆心，以 2 为半径的4m2 n2圆内，此圆在椭圆 1 的内部x29 y242题 2、题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。若容器底面与桌面成角为 ，则这个椭圆的离心率是 。60答案：解题步骤： 由图，短轴就是内径 ，
3、长轴为 ，2r4r即： ，2,3arbc.3e变 式 一题面：已知椭圆 1(ab0)的两顶点为 A(a,0)，B(0 ，b)，且左焦点为 F，FABx2a2 y2b2是以角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为( )A. B.3 12 5 12C. D.1 54 3 14答案：B.详解： 由题意得 a2b 2a 2(ac) 2，即 c2aca 20，即 e2e10，解得 e.又 e 0，故所求的椭圆的离心率为 . 1 52 5 12变 式 二604r2r3题面：(2012新课标全国卷)设 F1， F2 是椭圆 E： 1( ab0)的左、右焦点，P 为x2a2 y2b2直线 x 上一点
4、，F 2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为( )3a2A. B.12 23C. D.34 45答案：C.详解：由题意可得|PF 2| F1F2|，2 2c，3a4c， e .(32a c) 34题 3、题面：椭圆 与圆 的公共点个数是 。2143xy2()1xy答案：1.变 式 一题面：已知椭圆 C1： 1(a 1b 10)和椭圆 C2： 1(a 2b 20) 的焦点相同x2a21 y2b21 x2a2 y2b2且 a1a 2.给出如下四个结论：椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点；a a b b ； ；a 1a 2b 1b 2.21 2 21 2a1a2 b1b2其中
5、，所有正确结论的序号是( )A BC D答案：C.详解： 由已知条件可得 a b a b ，可得 a a b b ，而 a1a 2，可知两椭圆21 21 2 2 21 2 21 2无公共点，即正确；又 a a b b ，知正确；由 a b a b ，可得21 2 21 2 21 21 2 2a b b a ，则 a1b2，a 2b1 的大小关系不确定， 不正确，即不正确；21 2 21 2a1a2 b1b2a 1b 10，a 2b 20，a 1a 2b 1b 20，而又由( a1a 2)(a1a 2)(b 1b 2)4(b1b 2)，可得 a1a 2b 1b 2，即正确综上可得，正确的结论序号
6、为 .变 式 二题面：设椭圆 1(ab0)的离心率 e ，右焦点为 F(c,0)，方程x2a2 y2b2 12ax2bxc 0 的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1，x 2)( )A必在圆 x2y 22 内B必在圆 x2y 22 上C必在圆 x2y 22 外D以上三种情形都有可能 答案：A,详解：由已知得 e ，则 c .又 x1x 2 ，x 1x2 ，所以ca 12 a2 ba cax x (x 1x 2)22x 1x2 b0)的左，右焦点，Ax2a2 y2b2是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点， F 1AF260.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)
7、已知AF 1B 的面积为 40 ，求 a，b 的值3答案：(1) e .12(2) a10，b5 . 3详解：(1)由题意可知，AF 1F2 为等边三角形，a2c，所以 e .12(2)法一：a 24c 2，b 23c 2，直线 AB 的方程为 y (xc)3将其代入椭圆方程 3x24y 212c 2，得 B ，(85c， 335c)所以|AB| c.1 3|85c 0| 165由 SAF 1B |AF1|AB|sin F 1AB a c a240 ，解得 a10，b512 12 165 32 235 3.3法二：设|AB|t.因为|AF 2|a，所以| BF2|ta.由椭圆定义|BF 1|
8、BF2|2a 可知，|BF 1|3at，再由余弦定理(3at) 2a 2t 22atcos 60可得，t a.由 SAF 1B a a a240 知，85 12 85 32 235 3a10，b5 . 3题 6、8题面：过椭圆 C： 上一点 向圆 O： 引两条切线1482yx),(0yxP42yxPA、PB， （A，B 为切点） ，若 ，则 P 点的坐标是 .AB答案： .(2,0)解题步骤： 连接 ， ；（几何思考的意识、辅助线添加习惯） ；O标注三个垂直符号；（把初中的习惯恢复起来）看出是矩形；进一步明确是正方形； ，且意识到 ；|2P2a椭圆上到中心的距离等于半长轴的点只有长轴端点。变
9、式 一题面：设 F1，F 2 分别是椭圆 y 2 1 的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，x24且 PF1PF 2，则点 P 的横坐标为( )A1 B.83C2 D.2263答案：D.详解：由题意知，点 P 即为圆 x2y 23 与椭圆 y 21 在第一象限的交点，解方程组x24Error!得点 P 的横坐标为 .263变 式 二题面：已知圆 2:30()Mxymx的半径为 2，椭圆2:13xyCa的左焦点为(,0)Fc，若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线与圆 M 相切，则 a 的值为（ ）9A 34B1 C2 D4答案：C.详解：由题意得 ，即 （m0） ,则圆心 M 的坐标为（1,0）234m211m直线 l 与圆 M 相切 ，即有 ，c4a2
