1、2019/11/1,信息科学技术学院 信息安全系,1,信息安全数学基础,吴 汉 炜 ,2019/11/1,2,信息安全,2019/11/1,3,课程内容,数论,代数(群、环、域),椭圆曲线,选用教材：信息安全数学基础陈恭亮 著 参考书目： 初等数论 潘承洞 潘承彪 著 数论与密码杨思熳计算数论 顔松远著 “Commutative Algebra”第1、2卷 O. Zariski & P. Samuel 著 “Primality and Cryptography”E. Kranakis 著 椭圆曲线密码学导论张焕国 等译,2019/11/1,4,2019/11/1,5,信息安全数学基础 第1章：
2、整数的可除性,数的集合：，-3，-2，-1，0，1，2，3， 在数学中有一门称为“整数论”的分支 早在公元前50年左右，在我国第一部数学专著九章算术(作者不详)的第一章中就开始讨论整数，介绍了辗转相除法 它与公元前三世纪欧几里德所著几何原本中介绍的辗转相除法是各自独立地总结出来的 五世纪时，在我国的孙子算经中更有闻名于世的中国剩余定理(即孙子定理)，也对整数做了研究,整数论是研究整数的学科,整数,什么叫整数？ 整数的一部分最简单的数学模型就是自然数自然数的严格定义是在集合论的基础上，由Peano(皮亚诺)给出了自然数公理 如果有一些对象(可数集)，除了它们的数目之外其它性质我们不予考虑的话，我
3、们就可以用自然数来数它们,无穷大,总有一些数目由于太大而没有名称。这种现象或许就是人们第一次碰到无穷大 这在古代就已经导致这种严肃的问题：有没有大得不能数的数？ 阿基米德在一本题为数沙器(公元前200年)的书中回答了 他列举了一系列增长很快的数目，并且通过体积的估计而证明：这些数目当中有些数目比地球上甚至比太阳系中的沙粒的数目还大,素数的数目是有限多还是无穷多？,有了研究的对象集合，再建立对象集合上的运算。 一些乘法的经验表明，有些数是一些比1大的其它数的乘积 而有些数，就没有这种性质-质数(素数) 在欧几里德的原本中，已经有一个简单而巧妙的推理能够得出结论：质数无穷多 计算机只能处理有限数和
4、有限个数，计算机的计算模型，硬件体系结构的设计与实现，代数编码，软件设计与实现，计算机通信及密码学等，都广泛使用了整数理论 而数学可以处理无穷大,数论特点,任意两个整数可以相加，相减，相乘，结果仍是整数 但两个整数不一定能在整数的范围内相除，这是整数系统的特点(乘法) 研究整数就针对这一特点加以分析 实际上，研究整数的性质基本上就是要研究整除性和因数分解等问题以及其它一些有关的问题,数论内容,介绍数论中一些最基本的事实 介绍整数的一些最基本的性质 有时似乎在叙述或证明一些尽人皆知非常明显的事实。实则并非如此有些事情，我们习而不察，知其然而不知其所以然。有些事情，虽然知道，却知道的不确切 若未特
5、别指明，凡出现的数都是指整数,本章主要内容：,整除的概念 欧几里得算法(*) 整数的表示 最大公因子与广义欧几里得算法(*) 最小公倍数 素数与算数基本定理(*) 素数定理,2019/11/1,12,13,1.1 整除的概念 欧几里得除法,一、整除基本概念及性质,14,2019/11/1,15,16,17,18,19,20,练习：,1. 设a，b是两个给定的非零整数，且有整数x，y使得ax+by=1.证明：若a|n且b|n，则ab|n2. 设 是整系数多项式。若d|b-c，则d|,2019/11/1,21,解答：,1.证明：由n=n(ax+by)=(na)x+(nb)y,及ab|na，ab|n
6、b 得证。na=k1(ab) ; nb=k2(ab)(na)x+(nb)y=ab(k1*x+k2*y) 2.证明：又 得证。,2019/11/1,22,23,二、素数(质数)及其判别法,24,P*P=n1*p=n,25,26,27,28,29,P|n-p1*p2*=1,30,三、欧几里得除法(带余除法),31,32,33,2019/11/1,34,2019/11/1,35,36,37,38,39,2019/11/1,40,2019/11/1,41,42,思考题,作业,归纳法证明,120%7=1 160%7=6,43,1.2 整数的表示,44,45,46,47,48,例1 表示整数642为二进制
7、,因为：,49,二进制,十进制和十六进制换算表,50,一般地,将十进制转换为二进制比转换为十六进制要容易些.因此要将十进制转换为十六进制,可先将十进制转换为二进制,再将二进制转换为十六进制.(四位二进制数对应一个十六进制数),1.3 最大公因数与广义欧几里得除法,一、最大公因数,51,52,53,54,55,如何才能计算出两个整数的最大公因数哪？(*),方法1：直接分解两个整数 但当整数很大时不可行(后面我们会讲到大整数分解是很困难的事情)方法2：广义欧几里得算法/辗转相除法,2019/11/1,56,57,58,二、广义欧几里得除法,59,求最大公因数的步骤(*)：,2019/11/1,60
8、,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,是否也有(a，d)=1和(b，c)=1？,2019/11/1,76,由定理5知道(a,b,c)=(d,b,c)=1成立 不一定(a,d)=1 (5,24)=1 如：5*5-1*24=1 6*6+-1*35=1 (6,35)=1,77,78,79,80,81,82,欧几里得除法的应用：,2019/11/1,83,84,85,86,87,88,1.4 整除的进一步性质及最小公倍数,一、整除的性质,89,90,91,8|2*20 但是8|2与8|20都不成立,2019/11/1,92,93,练习：,设k是正整
9、数，证明：(1)(ak, bk)=(a, b)k(2)设a，b是正整数，若(a，b)=1，ab=ck，则a=(a, c)k，b=(b, c)k提示： (a, b)=1(ak-1, b)=1 a=a(ak-1, b)=(ak, ab)=(ak, ck),2019/11/1,计算机科学与技术学院,94,95,二、最小公倍数,96,97,98,99,100,101,102,103,104,1.5 素数 算术基本定理,105,106,107,2019/11/1,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,每个正整数可表示成素数幂的乘积 素数是否有无穷多个？
10、如果有无穷多个，那么作为无穷大量，素数个数具有怎样的形状？ 对正实数x，以(x)表示不超过x的素数个数 例如：(15) = 6，(10.4) = 4，(50) = 15,2019/11/1,119,定理1 素数有无限多个,2019/11/1,计算机科学与技术学院,120,2019/11/1,计算机科学与技术学院,121,2019/11/1,122,费尔马-业余数学家之王,2019/11/1,123,费尔马(Pierre de Fermat，16011665)法国著名数学家 1601.8.17出生于法国图卢兹。父亲开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业 小时候受教于他的叔叔 14岁时，才进入博蒙
11、德洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律 还没大学毕业，便买好了“律师”和“参议员”的职位。 1631年毕业返回家乡以后，便成为图卢兹议会的议员 直到去世都没失去官职，而且逐年得到提升 1646年，费马升任议会首席发言人，还当过天主教联盟的主席等职。费马的官场生涯没有突出政绩 费马生有三女二男，长子整理了费马的数学论著并积极出版费马的数学论著数学论集,对数论的贡献主要有： 费马大定理：n2的整数，则方程xn+yn=zn没有满足xyz0的整数解。由英国数学家怀尔斯证明(1995年)，证明过程是相当艰深的！ 费马小定理：ap-a0(mod p)，其中p是素数，a是正整数，证明比较简
12、单错误贡献 1640年，费马说他发现形如Fn=2(2n)+1的数全是素数，比如当n=04时，3，5，17，257，65537都是素数，不过从第五个数开始由于数字过大，费马并没有进行验算。但后来在1732年时，大数学家欧拉发现，n=5时，641*6700417=4294967297却是个合数。并且以后被发现的数都是合数，最大的是n=1495时的Fn,2019/11/1,124,125,126,2019/11/1,127,2019/11/1,128,证明可参考：素数定理的初等证明 潘承洞 潘成彪 著,2019/11/1,129,2019/11/1,130,2019/11/1,131,问题：当n为素数时，2n-1一定是素数吗？,211-1=2047=23*89,2019/11/1,132,2019/11/1,133,134,高斯函数x和x的定义及其性质,135,136,137,本章主要内容,138,本章重点：,整除的概念和性质 欧几里得除法及其应用（求最大公因子及线性表达式） 最大公因子和最小公倍数的性质 素数的判定方法 了解素数定理及素数的分布情况； 习题： 1,2,4,7,8,13,17,18,22,28,29,32,33,34,35,39,46,47,49,50,51,52,54,55,56 其他选作,2019/11/1,139,
