1、二重积分 习题课,一、主要内容二、典型例题,定 义,几何意义,性 质,计算法,二重积分,一、主要内容,性质 与定积分相类似的性质（线性性、对称性 对区域的可加性、比较性、估值、中值）,计算,主要内容,定义,对称性,D关于x轴对称（x轴上方部分为D1),D关于y轴对称（y轴右边部分为D1),D关于x轴、y轴均对称（第一象限部分为D1),二重积分的计算,X型,X-型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,（）直角坐标系下,Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,Y型,（）极坐标系下,(3)二重积分的换元法：,注意以下几点,1 根据被
2、积函数和积分区域的特点，合理选择坐标系和积分次序。,注意以下几点,2 积分的关键是定限，定限的关键是将D用联立不等式表示出来。,（1）直角坐标系：先判断区域的类型，若为X型，先将区域D投影到x轴上，定出x的变化范围a,b, 然后用过a,b内任意点且平行于y轴的直线去穿D,得到,注意以下几点,2 积分的关键是定限，定限的关键是将D用联立不等式表示出来。,（2）极坐标系：先定出 的变化范围 然后以 内任意角为极角，从原点引一条射线去穿D, 得到,注意以下几点,利用函数的奇偶性与积分区域的对称性 计算。,二、典型例题,利用重积分的性质或交换积分次序来证明等式或不等式。,2 重积分与二次积分的转化。,3 重积分的计算。,思考题,思考题解答,例1,解,举 例,1、计算二重积分,2,解,先去掉绝对值符号，如图,答案：,5,解,6,证,7,解,8、,9、,
