1、切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段学习目标1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度， “切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。2.切线长定理对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。3.弦切
2、角、顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。直线 AB 切O 于 P，PC、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个）4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。6.遇到圆的切线，可联想“角”弦切角， “线”切线的性质定理及切线长定理。7.与圆有关的比例线段定理 图形 已知 结论 证法相交弦定理O 中，AB、CD 为弦，交于 PPAPBPCPD 连结 AC、BD ，证：APCDPB相交弦定理的推论O 中，AB 为直径，CDAB 于PPC2PAPB 用相交弦定理切割线定理O 中，PT 切O 于 T，割线PB 交O 于 APT2
3、PAPB 连结 TA、TB，证：PTB PAT切割线定理推论PB、PD 为O的两条割线，交O 于 A、CPAPBPCPD 过 P 作 PT 切O于 T，用两次切割线定理圆幂定理O 中，割线 PB交O 于 A，CD为弦PCPDr 2OP 2PAPBOP 2r 2r 为O 的半径延长 PO 交O 于M，延长 OP交O 于 N，用相交弦定理证；过 P 作切线用切割线定理勾股定理证8.圆幂定理：过一定点 P 向 O 作任一直线，交O 于两点，则自定点 P 到两交点的两条线段之积为常数| |（R 为圆半径） ，因为 叫做点对于O 的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。【典型例题】例1.如图1，正方形 AB
4、CD 的边长为1，以 BC 为直径。在正方形内作半圆 O，过 A 作半圆切线，切点为 F，交 CD 于 E，求 DE：AE 的值。解：由切线长定理知：AF AB 1 ，EFCE设 CE 为 x，在 RtADE 中，由勾股定理图 1 ， ，例2.O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E，若 AE6cm，BE 2cm，CD 7cm，那么CE_cm。图 2 解：由相交弦定理，得AEBECEDEAE6cm，BE 2cm，CD7cm， ，即CE3cm 或 CE4cm 。故应填3或4。点拨：相交弦定理是较重要定理，结果要注意两种情况的取舍。例3.已知 PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，则 _。_。解
5、：PPPACB ，PACPBA， ， 。又PA 是圆的切线，PCB 是圆的割线，由切割线定理，得 ，即 ，故应填 PC。点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形，推出所需结论.例4.如图3，P 是O 外一点，PC 切O 于点 C，PAB 是O 的割线，交O 于 A、B 两点，如果 PA：PB1：4 ，PC12cm，O 的半径为10cm ，则圆心 O 到 AB 的距离是_cm。图 3解：PC 是O 的切线， PAB 是O 的割线，且 PA：PB1：4PB4PA又PC12cm由切割线定理，得 ，PB4624（cm）AB24 618（cm）设圆心 O 到 AB 距离为 d cm，由勾股定理，得故应填
6、 。例5.如图4，AB 为O 的直径，过 B 点作O 的切线 BC，OC 交O 于点 E，AE 的延长线交 BC 于点 D， （1 ）求证：；（2）若 ABBC2厘米，求 CE、CD 的长。图 4点悟：要证 ，即要证CEDCBE。证明：（1）连结 BE（2）。又 ， 厘米。点拨：有切线，并需寻找角的关系时常添辅助线，为利用弦切角定理创造条件。例6.如图5，AB 为O 的直径，弦 CDAB，AE 切O 于 A，交 CD 的延长线于 E。求证：证明：连结 BD，AE 切O 于 A， EADABD ， 图 5AEAB，又 ABCD ，AECDAB 为O 的直径ADB90EADB90ADEBADCDA
7、BADBC，例7.如图6，PA 、PC 切O 于 A、C，PDB 为割线。求证：ADBC CDAB点悟：由结论 ADBCCDAB 得 ，显然要证PADPBA 和PCD PBC证明：PA 切O 于 A， 图 6PADPBA又APDBPA，PADPBA同理可证PCDPBCPA、PC 分别切O 于 A、CPAPCADBCDCAB例8.如图7，在直角三角形 ABC 中，A90，以 AB 边为直径作O，交斜边 BC 于点 D，过 D 点作O 的切线交 AC 于 E。求证：BC2OE。点悟：由要证结论易想到应证 OE 是ABC 的中位线。而 OAOB，只须证AECE 。证明：连结 OD。 图 7ACAB，
8、AB 为直径AC 为O 的切线，又 DE 切O 于 DEAED，ODDEOB OD ，B ODB在 RtABC 中，C90 BODE90CEDCEDECAEECOE 是 ABC 的中位线BC2OE例9.如图8，在正方形 ABCD 中，AB1， 是以点 B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点 E 是边 AD 上的任意一点（点 E 与点 A、D 不重合） ，过 E 作 所在圆的切线，交边 DC 于点 F，G 为切点。当DEF45时，求证点 G 为线段 EF 的中点；图 8解：由DEF45，得，DFEDEFDEDF又ADDCAEFC因为 AB 是圆 B 的半径， ADAB，所以 AD 切圆 B
9、于点 A；同理，CD 切圆 B 于点C。又因为 EF 切圆 B 于点 G，所以 AEEG，FCFG 。因此 EG FG，即点 G 为线段 EF 的中点。【模拟试题】 （答题时间：40 分钟）一、选择题1.已知：PA、PB 切O 于点 A、B，连结 AB，若 AB8，弦 AB 的弦心距3，则PA（ ）A. B. C. 5 D. 82.下列图形一定有内切圆的是（ ）A.平行四边形 B.矩形C.菱形 D.梯形3.已知：如图1直线 MN 与O 相切于 C，AB 为直径，CAB40，则MCA 的度数为（ ） 图 1 A. 50 B. 40 C. 60 D. 554.圆内两弦相交，一弦长8cm 且被交点平
10、分，另一弦被交点分为 1：4，则另一弦长为（ ）A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 16cm5.略 6. PT 切O 于 T，CT 为直径，D 为 OC 上一点，直线 PD 交O 于 B 和 A，B 在线段PD 上，若 CD2 ，AD3 ，BD4，则 PB 等于（ ）A. 20 B. 10 C. 5 D. 二、填空题7. AB、CD 是O 切线，ABCD，EF 是O 的切线，它和 AB、CD 分别交于 E、F，则EOF_度。8.已知：O 和不在O 上的一点 P，过 P 的直线交O 于 A、B 两点，若PAPB24，OP5 ，则 O 的半径长为_。9.若 PA 为O 的切线，A
11、为切点，PBC 割线交O 于 B、C，若 BC20，则 PC 的长为_。10.正ABC 内接于O，M 、N 分别为 AB、AC 中点，延长 MN 交O 于点 D，连结BD 交 AC 于 P，则 _。三、解答题11.如图2， ABC 中，AC2cm，周长为8cm，F、K、N 是ABC 与内切圆的切点，DE 切O 于点 M，且 DEAC，求 DE 的长。图 212.如图3，已知 P 为O 的直径 AB 延长线上一点，PC 切O 于 C，CDAB 于 D，求证：CB 平分DCP。图 313.如图4，已知 AD 为O 的直径，AB 是O 的切线，过 B 的割线 BMN 交 AD 的延长线于 C，且 BMMNNC，若AB ，求O 的半径。图 4【试题答案】一、选择题1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空题 7. 90 8. 1 9. 30 10. 三、解答题：11.由切线长定理得BDE 周长为4，由BDEBAC，得 DE1cm12.证明：连结 AC，则 ACCBCDAB ，ACBCDB，A 1PC 为O 的切线， A2，又1 2，BC 平分DCP13.设 BMMNNCxcm又又OA 是过切点 A 的半径， OAAB 即 ACAB在 RtABC 中，由勾股定理，得，由割线定理： ，又半径为 。
