1、1量子力学习题及解答第一章 量子理论基础11 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 与温度 T 成反比，即mT=b（常量） ；m并近似计算 b 的数值，准确到二位有效数字。解 根据普朗克的黑体辐射公式， （1）dvechvdkTv183以及 ， （2）， （3）vv有 ,18)(5kThcvedcd这里的 的物理意义是黑体内波长介于 与 +d 之间的辐射能量密度。本题关注的是 取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对 的一阶导数为零，由此可求得相应的 的值，记作 。但要注m意的是，还需要验证 对 的二阶导数在 处的取值是否小于零，m如果小于零，那么前面求得的 就是要求的
2、，具体如下：m015186 kThckThceekhcTe)1(5如果令 x= ，则上述方程为kThcxe)(这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xkhcTm把 x 以及三个物理常量代入到上式便知 K3109.2这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。12 在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV，求其德布罗意波长。2解 根据德布罗意波粒二象性
3、的关系，可知E=hv，hP如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ ） ，那么2cEe动ep2如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为 3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即 ，因此利用非相对论性的电子的V6105.能量动量关系式，这样，便有 phnmEchee71.035.24296在这里，利用了 eVhc624以及eVce62105.最后，对 Ehe2作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强
4、，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。13 氦原子的动能是 （k 为玻耳兹曼常数） ，求 T=1K 时，氦TE23原子的德布罗意波长。解 根据，eVK310知本题的氦原子的动能为 ,5.233kTE显然远远小于 这样，便有2c核Ech2核nmm37.01105249363这里，利用了 eVec962 107.310934核最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为 T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为 kT，这样，其相庆的德布罗意波长就为 TkchEc22据此可知，当体系的
5、温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。14 利用玻尔索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场 H=10T，玻尔磁子 ，试计算运能12409TJMB的量子化间隔E，并与 T=4K 及 T=100K 的热运动能量相比较。解 玻尔索末菲的量子化条件为 nhpdq其中 q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿
6、运动轨道积一圈，n 是正整数。（1）设一维谐振子的劲度常数为 k，谐振子质量为 ，于是有221xE这样，便有)21(kxEp这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据 2kx可解出 Ex这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔索末菲的量子化条件，有 xx nhdxkdkE)21()21(kxx )()(22hndxEx12为了积分上述方程的左边，作以下变量代换； sikx这样，便有 hnEd2ico222coss dk4 hndkE2cos22这时，令上式左边的积分为 A，此外再构造一个积分 2siB这样，便有（1）222
7、cos,dkEBAk22,cos)(dk这里 =2，这样，就有（2）0sinEBA根据式（1）和（2） ，便有 k这样，便有 hnE2 khnE2,其中 2h最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有 BqR2p这时，玻尔索末菲的量子化条件就为 20)(nhdqBR2又因为动能耐 ，所以，有2pE2)(q,BnN5其中， 是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，2qMB而且 BME具体到本题，有 JJ232410910根据动能与温度的关系式 kT3以及 JeVKk23106.10可知，当温度
8、T=4K 时，E29.45.当温度 T=100K 时， JJ204.显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。15 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有 2chv
9、Ee此外，还有hcpE于是，有 2e2chenm312604.5.尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。第二章波 函数和薛定谔方程2.1 证明在定态中，几率流与时间无关。证：对于定态，可令6)r()r()r(m2i e)r
10、(eeei )(2iJ e)r t(ftr( * EtiEti*EtiEti*Eti 、可见 无关。tJ与2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikrikr ee1)2( 1)( 从所得结果说明 表示向外传播的球面波， 表示向内(即向原点) 2传播的球面波。解： 分 量只 有和 rJ21在球坐标中 sinr1er0 rmkr rikrii eerrimiJ ikrikrikik302 022 01*11 )()( ( )(2 )( 同向。表示向外传播的球面波。rJ1、 rmkr r)1ikr(1)i1(2i e(ereri )(2iJ)( 30 022 0ikrikrikikr*2 可见，
11、反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。J与2补充：设 ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否ikxe归一化？7dx*波函数不能按 方式归一化。1)(2其相对位置几率分布函数为表示粒子在空间各处出现的几率相同。122.3 一粒子在一维势场axU， ， 0 )(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。解： 无关，是定态问题。其定态 S方程tx与)()()()(2xExdm在各区域的具体形式为： )()()( 0 1112 xxUxx： )()( 22Edma： )()()( 3332 xxUxx由于(1)、(3)方程中，由于 ，要等式成立，必须0)(1x2即粒子不能运动到势阱以外的地方去。方程(
12、2)可变为 0)(2)(xmEdx令 ，得2k0)()(22xkdx其解为 BAcossin)(2根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得 01 )(32a sink),32 1( 0sinkaA xanAxsi(由归一化条件1)2d得 sin02axA8由 mnab axdnxm2sisinxaxAsin2)(2mEk可见 E 是量子化的。),321( 2nan对应于 的归一化的定态波函数为axxetxtEin n , ,0 ,si),(#2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是 A1证： axanAn ,0 ),(si（2.6-14 ）由归一化，得aAaxndxxan
13、AdAdxaaan22222)(sico)(s1)(i归一化常数 #12.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。解：212)(xex22311 4)(xxee22 )(321 xdx令 ，得0 9xx 1 0由 的表达式可知， 时， 。显然不是最)(1 0， 0)(1x大几率的位置。22)51(4 6(2 423 3232 x xex ed而01 )321dx可见 是所求几率最大的位置。 #x2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称： ，)(xU证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。证：在一维势场中运动的粒子的定态 S-方程为)()()(2xExUdx将式中的 代换，得以)()()(
14、2xxdx 利用 ，得)(U)()()(2xExUdx比较、式可知， 都是描写在同一势场作用下的和粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此之间只能相差一个常数 。方程、可相互进行空间)(x和c反演 而得其对方，由经 反演，可得，x)( x由再经 反演，可得，反演步骤与上完全相同，即是完全x等价的。)() xc乘 ，得)x()( 2可见， 12c当 时， ， 具有偶宇称，)x( )(当 时， ， 具有奇宇称，当势场满足 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。) Ux#2.7 一粒子在一维势阱中axx ,0 )(运动，求束缚态( )的能级所满足的方程。UE10解法一：粒子所满足的 S-方程
15、为)()()(2xExUdx按势能 的形式分区域的具体形式为)(： )()(11012ax： )()(22xEd： )()(U)(x33032a整理后，得： )(1201E：. 2： 0)(3203U令 221 EkEk则： 012：. ： 0123k各方程的解为xkxk3222xx11111FeEcosDsinCBA由波函数的有限性，有0 )(31EA有 限有 限因此xk311FeB由波函数的连续性，有 )13( FekasinDkacosCk),a( 2 in asincoe, )0(asi)a()( a122232 222ak121 1 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合
16、并成方程组，得 0FekasinkaCcosk0in iBesi a12222ak1 解此方程即可得出 B、 C、D 、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须110Bekasinakcos0ciniekossi a122a1 22 ak2cosak2sin)k(e inicoei acsase koiksinknecoasiasi 0kckne sii112a 212k2a1 ak 222a21 kk ak122a1 a122ak1 111111 0 0222 即 为所求束缚态能级所满足的方程。#)(11tg解法二：接（13）式 aksinDakcosCakcosDasinC21
17、2122 aksinDakcosCakcosDasinC2121222 02cosk 2sin)( 1 0cosincossicosi 0)in)(i( cossisico)in)(i( 0cossisico122 221221221 22122212122 212 aak akakakakk akkakakkak#解法三：(11)-(13) )(si122 FBeDak(10)+(12) aco12)a( katg)12(0312(11)+(13) ikeBFC1)(cos(12)-(10) aik21in令 则， ak22 )d( ctg c 、 fU)(20212合并 ：b)a、利用21
18、2ktgaktg12at#解法四：（最简方法-平移坐标轴法）： （0）1012EU： （02 ）22 a： （2 ）33030)(20)(2303101EU束缚态 (3) 0kE2k )U( 1321 20110E0UxkxkxkxFeDCBA111132221cossin0 )(3EB有 限有 限因此xkFeA131 由波函数的连续性，有 （b）kactgkk )10()12( )13()11( 122 13)7( Feak2cosDasinC),a2()( 6 ink 5 A,0 )4( )( ak2232 ak212112 1 (7)代入(6)DCk 2121222 sinscssi 利
19、用(4)、(5)，得 0ak2cosak2sin)k(i)0A0ak2cosasin)k( akiAi112 2212212 21221 、# 2.8 分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为， ， ， ,0 , )(1xbaUx求束缚态的能级所满足的方程。解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。定态 S-方程为)()()(2xExdx对各区域的具体形式为： )0( )(11 U： 220 axE： )( 313 b： 0244 x对于区域， ，粒子不可能到达此区域，故)(xU1而 . 02202E )( 313140244E对于束缚态来说，有 U 21k 2021)( EUk032123
20、)( 42k24/Ek各方程的解分别为xkxkxkxkFeEDCBA331142232cossin由波函数的有限性，得0 )(有 限 ， xk34由波函数及其一阶导数的连续，得AB)(021 )33xkxkeakDkCaxk 22cossin(3ak133 in)(33 bkFeDbkCb 32243 cossin)( bk3由、，得 (11)akekak 2221 cossinc1由 、得DbkCbDbCb )()()si()cos( 23322 0sinc232 kk (12)令 ，则式变为211eak0)sinco()cossin( 222 DakC联立(12)、(13)得，要此方程组有
21、非零解，必须)sic()cssi( ii 222233akbbk15)()1()( 0)1(cossin 0ico )cosinsinsi iic 0)ossin( )cossin()sic(ico 32322 3222 232322232 2222322 kabtgkkabkabkabk kabkbk akbkka即把 代入即得)()1()( 1111 23322 akakeeabtgk 此即为所要求的束缚态能级所满足的方程。 #附：从方程之后也可以直接用行列式求解。见附页。） ）（ ）（ bkaekbakebkeee kbbkaak ebkbke eakkeabb aaka aak kaa
22、k akak 2223231 22232 3221 3223222 22 sinsincocos cocos)( ii csinoin0css)( icoisins)(0 0cisicos)(in331 331111111 0 )(sin)()(cos)( coi )(i)()( 31 311 31 2312232 2123 bkak bkaka eakabee160)( )()()( 0 )(231 2312312231 2312 11 3k ekabtgkeet aa bk此即为所求方程。 #补充练习题一1、设 ，求 A = ？)()(21为 常 数xAe解：由归一化条件，有)x (de1
23、 d222x2 利用ye12dye2 #A2、求基态微观线性谐振子在经典界限外被发现的几率。解：基态能量为 210E设基态的经典界限的位置为 ，则有a20 0a1a在界限外发现振子的几率为)t21y dte212yde2)x (de) 22/t1y1a)ax2220202 、式中 为正态分布函数/tet xtde2/)(当 。查表得 9.0)(时 的 值x 92.0 16)2(在经典极限外发现振子的几率为 0.16。 #)( 220220 220xaxax edxedxe 173、试证明 是线性谐振子的波函)x32(e3)x(x1数，并求此波函数对应的能量。证：线性谐振子的 S-方程为)()(
24、21)(22xExdx把 代入上式，有)()3x92(e3 e6()x )x3e3d2451 x2122x21 )(edx)( 245122 )x18(e)3x92(3 35x21245x12 )x(7( )(e324 3x21把 代入式左边，得)(2xd)(27 )(21)(1)( )(2 )(21)()(7 122 2422422xExxx xxx右 边 ）（左 边 当 时，左边 = 右边。 n = 3，是线性谐振子的波)2(3)(1xedxx函数，其对应的能量为 。7第三章 量子力学中的力学量183.1 一维谐振子处在基态 ，求：tixex2)(1)势能的平均值 ；21U(2)动能的平均
25、值 ； pT(3)动量的几率分布函数。解：(1) dxex2221 2222 411410 122)(53andxean (2) dxppT)(2*eexx22121dx)(222eexx223441或 12UET(3) dxpcp)()(*121dxePixix2 2depix22)(1 1xipp222)(1 212pe 2pe动量几率分布函数为21)(2pepc19#3.2.氢原子处在基态 ，求：0/31),(arer(1)r 的平均值；(2)势能 的平均值；re2(3)最可几半径；(4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。解：(1) drreadr a sin1),(022/32
26、0/2004d01!naxnde04032a 020320/2/3022/3214 sin si1)()(0 0aeaedrdreae rrUarrar (3)电子出现在 r+dr 球壳内出现的几率为 022 sin),()( drrdrear2/3004 2/3004)(rear0/)ad令 0321 , , 0)( rrr 、当 为几率最小位置)( ,210/20302 )484areradr2008)(2320eadr 是最可几半径。0ar(4) 221pT 0 2/2/30 sin)(100 dreaarr2 /2/ i0drre0/0302 )(140eaar224(5) drpcp
27、),)(* 200cos02/32/3 in10 dereaprir0cos0/232/ )( )(dpriar0 0cos/232/ 0)(priaree0/32/ )()(0drereipapiria01!naxnde)1()1()2( 202030/ piapiai 22030)(41ipa403)(2420/)(pa动量几率分布函数420253)(8(pac#3.3 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是0erJ2sin m证：电子的电流密度为 2si1)(i121)(2*mnmneiJ在球极坐标中为si11rerr式中 为单位矢量er、)sin11( 2* *mnr
28、mnr reeiJ )sin1sin1()1 ()(2 * mnmnmnn nnnr rreei 中的 和 部分是实数。 eiirieJ mnmne )(s222remn2si可见， 0erJ2simne#3.4 由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为 )( 2 CGScmeIMz原子磁矩与角动量之比为 )( 2 SceILz这个比值称为回转磁比率。解：(1) 一圆周电流的磁矩为AdJidMe（ 为圆周电流， 为圆周所围面积）i22)sin(sinrSrmdenrrm22si)(rdS(2)氢原子的磁矩为22 02 sindr
29、medMn 2rdemn02 si2)(SI在 单位制中 CGSceM原子磁矩与角动量之比为)( 2SILzz#)( 2SceLz3.5 一刚性转子转动惯量为 I，它的能量的经典表示式是 ，ILH2L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数：(1)转子绕一固定轴转动：(2)转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿 Z 轴方向，则有2ZL哈米顿算符 1dIIH其本征方程为 ( 无关，属定态问题 )tH、)(2)( 2IEdI令 ，则2IEm0)()( 2md取其解为 ( 可正可负可为零 )iAe)(由波函数的单值性，应有imie)2()2即 1mim= 0 ，1，2， 转
30、子的定态能量为 (m= 0，1， 2，)IE2可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。 定态波函数为 imAeA 为归一化常数，由归一化条件212 2020*Ad 转子的归一化波函数为23ime21综上所述，除 m=0 外，能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为21LIH无关，属定态问题，其本征方程为t与),(),(2EYI(式中 设为 的本征函数， 为其本征值),Y,(L令 ，则有2IE),),2Y此即为角动量 的本征方程，其本征值为) ,210( 1(2 其波函数为球谐函数 immmePNcos), 转子的定态能量为2)(IE可见，能量是分立的，且是 重简并的。)
31、12(#3.6 设 t=0 时，粒子的状态为cossin)(21kxAx求此时粒子的平均动量和平均动能。解： cos)(csi)( 2121 kxkx cs)()(2121 ikxikxikxi ee 22121210 ikxikxikxixieA可见，动量 的可能值为npk 动能 的可能值为22 2 02k对应的几率 应为 n)16 16 4(222 AAA2)8 821( 上述的 A 为归一化常数，可由归一化条件，得)164(1222AAn24 /1A 动量 的平均值为p02162162162160 AkkkkpnnpT22818102kk52# 3.7 一维运动粒子的状态是0 ,0 )(
32、xAex当当其中 ，求：(1)粒子动量的几率分布函数；(2)粒子的平均动量。解：(1)先求归一化常数，由022)(1dxeAdx34 2/3Axex)()0(0x dxedpc ikikx )(2)1()21)( )(/3/ dxeikeikikxi )(0)(2/13)( 22/1322/13 )()( pi动量几率分布函数为2232232 )(1)(1)( pppc (2) dxexidx(43* dei 23)1(4x)4(23i025#3.8.在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 ，如果粒子的状a态由波函数 )()(xaA描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的平均值。解
33、：由波函数 的形式可知一维无限深势阱的分布如图示。x粒子能量的本征函数和本征值为axanx ,0 ,0 ,si2)(2En) 321(，动量的几率分布函数为 )nCan dxdxC0* )(si(先把 归一化，由归一化条件，)(x aaAAd0222022 )()(1dx43()5235252 0aA an dxanC05)(si32sin1023xaxnaxna xa032 22323 cossi coico5)1(543 262)(4)( nnCE ,40 5319， ，adxpdxH02)()()(a0 25 3)3()(52 adx2625a3.9.设氢原子处于状态),()23),()
34、21),( 110 YrRYrRr求氢原子能量、角动量平方及角动量 Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解：在此能量中，氢原子能量有确定值2228ssenE)2(n角动量平方有确定值为)1(L1角动量 Z 分量的可能值为012其相应的几率分别为， 43其平均值为01ZL3.10 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为arrU ,0;)(求粒子的能级和定态函数。解：据题意，在 的区域， ，所以粒子不可能运ar)(rU动到这一区域，即在这区域粒子的波函数( )0a由于在 的区域内， 。只求角动量为零的情况，即r)，这时在各个方向发现粒子的几率是相同的。即粒子的几率分布0与角度
35、无关，是各向同性的，因此，粒子的波函数只与 有关，、 r而与 无关。设为 ，则粒子的能量的本征方程为、 )(rEd122令 ，得2 ,)(krEU02ud其通解为krBrArsinco)(波函数的有限性条件知， 有限，则)0(A = 0 rrsi由波函数的连续性条件，有0in 0)(kaBa B),21(k27ank 2EnraBrsi)(其中 B 为归一化，由归一化条件得2020 sin4sin)(1aBrddrdaa 归一化的波函数ranrsi 21)(#3.11. 求第 3.6 题中粒子位置和动量的测不准关系 ?)(2px解： 0p2245 kT0cos1sin2 dxxAx dxkxA
36、x222 cos1sin )()()( pp3.12 粒子处于状态4ex21202/ ix式中 为常量。当粒子的动量平均值，并计算测不准关系?)(2px解：先把 归一化，由归一化条件，得)(x)2(211)( 2 xdedex/12)( / 12 是归一化的2exp)(0xi 动量平均值为 dxexpieidxip pixpi 2020 0 )()(* 28dxepii 2 0) (idxe22 0 ?)(2pdxedxx2 * （奇被积函数） dxee 222 2 111 dxeedxp pixpi * 2020 222 pi xx )( 222002 )(1)()( 02 p22x202
37、)()( pp2241)(px# 3.13 利用测不准关系估计氢原子的基态能量。解：设氢原子基态的最概然半径为 R，则原子半径的不确定范围可近似取为 r由测不准关系4)(22p得 2R对于氢原子，基态波函数为偶宇称，而动量算符 为奇宇称，所以p0p又有 22)(所以 4R可近似取 2p能量平均值为 rePEs2作为数量级估算可近似取 Rs2则有 es229基态能量应取 的极小值，由E023ReEs得 2seR代入 ，得到基态能量为 E24minsE补充练习题二1试以基态氢原子为例证明： 的本征函数，而是UT或不 是的本征函数。UT) 1( 2)1(420/3010 0 sar eae解 ：10
38、 1020/02/32 /22/0102102 22 )()() )( sin1)(sin1)(1 00 常 数 raerarrTeUrrars 的 本 征 函 数不 是 T10210reUs可见， 的 本 征 函 数不 是 102 1021022 2/3010 )()( 0arareaT sar而可见， 是 的本征函数。10)(UT302证明： 的氢原子中的电子，在L，6的方向上被发现的几率最大。135 4和解： dYWmm2),( 的电子，其L，61 ,iieY cosin815),(i,12 2sin315, 22mW当 时35 4和为最大值。即在 方向发现电子21 4，的几率最大。在其
39、它方向发现电子的几率密度均在 之间。032153试证明：处于 1s，2p 和 3d 态的氢原子的电子在离原子核的距离分别为 的球壳内被发现的几率最大( 为第一玻尔轨道半径 )。0094a和、 0a证：对 1s 态， 0/2/301)( , ,1areRn 00/20301 /32100 )(4)( arrerarWR令 0 0321 , ,ar易见 ，当 不是最大值。,021时 ，为最大值，所以处于 1s 态的电子在 处被发0104)(ea 0 r现的几率最大。对 2p 态的电子 02/2/3021)( , ,2areaRn00/35021 /2421)(4)(ararerarW令 21 03214 , ,ar易见 ，当 为最小值。,2r时 ，0/205021 )8(4arear038)163(164440 eaWar
